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Cepstrum

En el análisis de Fourier , el cepstrum ( / ˈ k ɛ p s t r ʌ m , ˈ s ɛ p -, - s t r ə m / ; plural cepstra , adjetivo cepstral ) es el resultado de calcular la transformada inver...

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En el análisis de Fourier , el cepstrum ( / ˈ k ɛ p s t r ʌ m , ˈ s ɛ p -, - s t r ə m / ; plural cepstra , adjetivo cepstral ) es el resultado de calcular la transformada inversa de Fourier (TIF) del logaritmo del espectro de la señal estimada . El método es una herramienta para investigar estructuras periódicas en espectros de frecuencia . El cepstrum de potencia tiene aplicaciones en el análisis del habla humana .

El término cepstrum se derivó invirtiendo las primeras cuatro letras de spectrum . Las operaciones sobre cepstras se denominan análisis de quefrencia (o alanismo de quefrencia ), [ 1 ] elevación o análisis cepstral . Puede pronunciarse de las dos maneras indicadas; la segunda tiene la ventaja de evitar confusiones con kepstrum .

Pasos en la formación del cepstrum a lo largo de la historia

Origen

El concepto de cepstrum fue introducido en 1963 por BP Bogert, MJ Healy y JW Tukey . [ 1 ] Sirve como herramienta para investigar estructuras periódicas en espectros de frecuencia. [ 2 ] Dichos efectos están relacionados con ecos o reflexiones perceptibles en la señal, o con la aparición de frecuencias armónicas ( parciales , sobretonos ). Matemáticamente, aborda el problema de la deconvolución de señales en el espacio de frecuencias. [ 3 ]

Las referencias al artículo de Bogert en la bibliografía suelen estar mal editadas. Los términos quefrency , alanysis , cepstrum y saphe fueron inventados por los autores mediante la reorganización de las letras de frequency , analysis , spectrum y phase , respectivamente. Estos términos inventados se definen por analogía con los términos originales.

Definición general

El cepstrum es el resultado de la siguiente secuencia de operaciones matemáticas:

  • Transformación de Fourier de una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia ;
  • cálculo del logaritmo de la amplitud espectral de la transformada de Fourier; y
  • Transformación inversa de Fourier al dominio del tiempo, donde la variable independiente final, la quefrencia , tiene una escala de tiempo. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Tipos

El cepstrum se utiliza en muchas variantes. Las más importantes son:

  • cepstrum de potencia: El logaritmo se obtiene del "espectro de potencia".
  • Cepstrum complejo: El logaritmo se obtiene del espectro, que se calcula mediante análisis de Fourier.

Las siguientes abreviaturas se utilizan en las fórmulas para explicar el cepstrum:

cepstrum de potencia

El "cepstrum" se definió originalmente como cepstrum de potencia mediante la siguiente relación: [ 1 ] [ 3 ]dopag=|F−1{registro⁡(|F{F(t)}|2)}|2{\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}}

El cepstrum de potencia tiene aplicaciones principales en el análisis de señales de sonido y vibración. Es una herramienta complementaria al análisis espectral. [ 2 ]

A veces también se define como: [ 2 ]dopag=|F{registro⁡(|F{F(t)}|2)}|2{\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}} Debido a esta fórmula, el cepstrum también se denomina a veces espectro de un espectro . Se puede demostrar que ambas fórmulas son consistentes entre sí, ya que la distribución espectral de frecuencia permanece igual; la única diferencia radica en un factor de escala [ 2 ] que se puede aplicar posteriormente. Algunos artículos prefieren la segunda fórmula. [ 2 ] [ 4 ]

Son posibles otras notaciones debido a que el logaritmo del espectro de potencia es igual al logaritmo del espectro si se aplica un factor de escala 2: [ 5 ]registro⁡|F|2=2registro⁡|F|{\displaystyle \log |{\mathcal {F}}|^{2}=2\log |{\mathcal {F}}|} y por lo tanto: dopag=|F−1{2registro⁡|F|}|2, odopag=4⋅|F−1{registro⁡|F|}|2,{\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{2\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},{\text{ o}}\\C_{p}&=4\cdot \left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},\end{aligned}}} que establece una relación con el cepstrum real {{véase §  Cepstrum real , más abajo}}.

Además, cabe señalar que la operación final de elevación al cuadrado en la fórmula para el cepstrum de potenciadopag{\displaystyle C_{p}}A veces se le llama innecesario [ 3 ] y por lo tanto a veces se omite. [ 4 ] [ 2 ]

cepstrum real

El cepstrum real está directamente relacionado con el cepstrum de potencia: dopag=4⋅dor2{\displaystyle C_{p}=4\cdot C_{r}^{2}}

Se deriva del cepstrum complejo descartando la información de fase (contenida en la parte imaginaria del logaritmo complejo ). [ 4 ] Se centra en los efectos periódicos en las amplitudes del espectro: [ 6 ]dor=F−1{registro⁡(|F{F(t)}|)}{\displaystyle C_{r}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {|{\mathcal {F}}\{f(t)\}|}})\right\}}

cepstrum complejo

El cepstrum complejo fue definido por Oppenheim en su desarrollo de la teoría de sistemas homomórficos. [ 7 ] [ 8 ] La fórmula también se proporciona en otras publicaciones. [ 2 ]

dodo=F−1{registro⁡(F{F(t)})}{\displaystyle C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {F}}\{f(t)\})\right\}}

ComoF{\displaystyle {\mathcal {F}}}es complejo el término logarítmico también se puede escribir conF{\displaystyle {\mathcal {F}}}como producto de magnitud y fase, y posteriormente como suma. Una mayor simplificación es obvia, si log es un logaritmo natural con base e (es decir , ln=registromi{\displaystyle \ln =\log _{e}}:​ registro⁡(F)=registro⁡(|F|⋅miiφ)ln⁡(F)=ln⁡(|F|)+ln⁡(miiφ)=ln⁡(|F|)+iφ{\displaystyle {\begin{aligned}\log({\mathcal {F}})&=\log({\mathcal {|F|\cdot e^{i\varphi }}})\\\ln({\mathcal {F}})&=\ln({\mathcal {|F|}})+\ln(e^{i\varphi })\\&=\ln({\mathcal {|F|}})+i\varphi \end{aligned}}}

Por lo tanto: El cepstrum complejo también se puede escribir como: [ 9 ]dodo=F−1{ln⁡(|F|)+iφ}{\displaystyle C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\ln({\mathcal {|F|}})+i\varphi \right\}}

El cepstrum complejo conserva la información sobre la fase. Por lo tanto, siempre es posible regresar del dominio de la quefrecuencia al dominio del tiempo mediante la operación inversa: [ 2 ] [ 3 ]F(t)=F−1{b(F{dodo})},{\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{b^{\left({\mathcal {F}}\{C_{c}\}\right)}\right\},} donde b es la base del logaritmo utilizado.

La principal aplicación es la modificación de la señal en el dominio de la quefrecuencia (liftering) como una operación analógica al filtrado en el dominio de la frecuencia espectral. [ 2 ] [ 3 ] Un ejemplo es la supresión de efectos de eco mediante la supresión de ciertas quefrecuencias. [ 2 ]

El cepstrum de fase (después del espectro de fase ) está relacionado con el cepstrum complejo, definido como el cuadrado de la diferencia entre el cepstrum complejo y el cepstrum complejo invertido en el tiempo: doφ(norte)=(dodo(norte)−dodo(−norte))2.{\displaystyle C_{\varphi }(n)=\left(C_{c}(n)-C_{c}(-n)\right)^{2}.}

La variable independiente de un gráfico cepstral se llama quefrencia . [ 10 ] La quefrencia es una medida de tiempo, aunque no en el sentido de una señal en el dominio del tiempo . Por ejemplo, si la frecuencia de muestreo de una señal de audio es44 100  Hz y hay un gran pico en el cepstrum cuya quefrecuencia es 100  muestras, el pico indica la presencia de una frecuencia fundamental que es 44100/100 =441  Hz . Este pico se produce en el cepstrum porque los armónicos del espectro son periódicos y el período corresponde a la frecuencia fundamental, ya que los armónicos son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. [ 11 ]

El kepstrum , que significa "respuesta temporal de la serie de potencias de la ecuación de Kolmogorov", es similar al cepstrum y guarda con él la misma relación que el valor esperado con la media estadística; es decir, el cepstrum es una magnitud medida empíricamente, mientras que el kepstrum es una magnitud teórica. Se utilizaba antes que el cepstrum. [ 12 ]

El autocepstrum se define como el cepstrum de la autocorrelación . El autocepstrum es más preciso que el cepstrum en el análisis de datos con ecos.

Siguiendo con el tema de los anagramas, un filtro que actúa sobre un cepstrum podría denominarse elevador . Un elevador de paso bajo es similar a un filtro de paso bajo en el dominio de la frecuencia . Se puede implementar multiplicando por una ventana en el dominio de la quefrecuencia y luego convirtiendo de nuevo al dominio de la frecuencia, lo que da como resultado una señal modificada, es decir, con una reducción del eco de la señal.

Interpretación

El cepstrum puede considerarse como información sobre la tasa de cambio en las diferentes bandas del espectro. Originalmente se inventó para caracterizar los ecos sísmicos resultantes de terremotos y explosiones de bombas . También se ha utilizado para determinar la frecuencia fundamental del habla humana y para analizar las señales de radar . La determinación del tono mediante el cepstrum es particularmente eficaz porque los efectos de la excitación vocal (tono) y del tracto vocal (formantes) son aditivos en el logaritmo del espectro de potencia y, por lo tanto, se distinguen claramente. [ 13 ]

El cepstrum es una representación utilizada en el procesamiento de señales homomórficas para convertir señales combinadas por convolución (como una fuente y un filtro) en sumas de sus cepstras, para su separación lineal. En particular, el cepstrum de potencia se usa frecuentemente como vector de características para representar la voz humana y las señales musicales. Para estas aplicaciones, el espectro generalmente se transforma primero usando la escala Mel . El resultado se llama cepstrum de frecuencia Mel o MFC (sus coeficientes se llaman coeficientes cepstrales de frecuencia Mel o MFCC). Se utiliza para la identificación de voz, la detección de tono y mucho más. El cepstrum es útil en estas aplicaciones porque la excitación periódica de baja frecuencia de las cuerdas vocales y el filtrado de formantes del tracto vocal , que convolucionan en el dominio del tiempo y se multiplican en el dominio de la frecuencia , son aditivos y se encuentran en diferentes regiones del dominio de la quefrecuencia.

Cabe señalar que una onda sinusoidal pura no puede utilizarse para determinar el tono del cepstrum a partir de la quefrecuencia, ya que no contiene armónicos ni genera picos de quefrecuencia. En su lugar, debe utilizarse una señal de prueba que contenga armónicos (como la suma de al menos dos ondas sinusoidales, donde la segunda sea un armónico (múltiplo) de la primera, o mejor aún, una señal con forma de onda cuadrada o triangular, dado que dichas señales proporcionan numerosos sobretonos en el espectro).

Una propiedad importante del dominio cepstral es que la convolución de dos señales puede expresarse como la suma de sus cepstras complejos: incógnita1∗incógnita2↦incógnita1′+incógnita2′.{\displaystyle x_{1}*x_{2}\mapsto x'_{1}+x'_{2}.}

Aplicaciones

El concepto del cepstrum ha dado lugar a numerosas aplicaciones: [ 2 ] [ 3 ]

  • Trabajo con inferencia de reflexión (radar, aplicaciones de sonar, sismología terrestre)
  • Estimación de la frecuencia fundamental (tono) del altavoz.
  • análisis y reconocimiento del habla
  • aplicaciones médicas en el análisis de electroencefalogramas (EEG) y ondas cerebrales
  • Análisis de vibraciones de máquinas basado en patrones armónicos (fallas de la caja de engranajes, fallas de las palas de la turbina, ...) [ 2 ] [ 4 ] [ 5 ]

Recientemente, se utilizó la deconvolución basada en cepstrum en señales de electromiografía de superficie para eliminar el efecto del tren de impulsos estocásticos, que origina una señal sEMG , del espectro de potencia de la propia señal sEMG. De esta manera, solo se conservó información sobre la forma y la amplitud del potencial de acción de la unidad motora (MUAP), que luego se utilizó para estimar los parámetros de un modelo en el dominio del tiempo del propio MUAP. [ 14 ]

En la década de 1960, Schroeder y Noll propusieron un análisis de cepstrum de corto tiempo para su aplicación a la determinación del tono del habla humana. [ 15 ] [ 16 ] [ 13 ]

Referencias

  1. 1 2 3 4 Bogert, BP; Healy, MJR; Tukey, JW (1963). "Análisis de quefrencia de series temporales para ecos: cepstrum, pseudo autocovarianza, cepstrum cruzado y agrietamiento de saphe". En Rosenblatt, M. (ed.). Actas del Simposio sobre Análisis de Series Temporales . Nueva York: Wiley. págs. 209–243 . 
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Norton, Michael Peter; Karczub, Denis (17 de noviembre de 2003). Fundamentos del análisis de ruido y vibraciones para ingenieros . Cambridge University Press. ISBN 0-521-49913-5.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 Childers, DG; Skinner, DP; Kemerait, RC (octubre de 1977). "El cepstrum: una guía para el procesamiento" . Actas del IEEE . 65 (10): 1428–1443 .
  4. 1 2 3 4 Randall, RB Análisis de cepstrum y diagnóstico de fallas en cajas de cambios (PDF) (Nota de aplicación) (2.ª ed.). Brüel & Kjaer. 233-80. 
  5. 1 2 "TF3600 TC3 Monitoreo de condición: Monitoreo de la caja de cambios" . Sistema de información Beckhoff . 4 de abril de 2020.
  6. ↑ "rceps – Reconstrucción de cepstrum real y fase mínima" . Documentación de MATLAB .
  7. ↑ Oppenheim, AV (1965). Superposición en una clase de sistemas no lineales (tesis doctoral). , Laboratorio de Investigación de Electrónica , MIT .
  8. ↑ Oppenheim, AV; Schafer, RW (1975). Procesamiento digital de señales . Prentice Hall.
  9. ↑ Randall, RB (diciembre de 2017). "Historia del análisis cepstral y su aplicación a problemas mecánicos" (PDF) . Mechanical Systems and Signal Processing . 97. Elsevier.
  10. ↑ Steinbuch, Karl W .; Weber, Wolfgang; Heinemann, Traute, eds. (1974) [1967]. Anwendungen und spezielle Systeme der Nachrichtenverarbeitung [ Aplicaciones y sistemas especiales de procesamiento de mensajes ] . Taschenbuch der Nachrichtenverarbeitung (en alemán). vol. 3 (3 ed.). Berlín, Alemania: Springer Verlag . págs. 272-274 . ISBN    3-540-06242-4. LCCN 73-80607 . 
  11. ↑ "Introducción - Cepstrum discreto" . Support.ircam.fr. 1 de enero de 1990. Consultado el 16 de septiembre de 2022 .
  12. ↑
  13. 1 2 Noll, A. Michael (1967). "Determinación del tono del cepstrum". Journal of the Acoustical Society of America . 41 (2): 293– 309.
  14. ↑ Biagetti, G.; Crippa, P.; Orcioni, S.; Turchetti, C. (marzo de 2017). "Deconvolución homomórfica para la estimación de MUAP a partir de señales EMG de superficie". IEEE Journal of Biomedical and Health Informatics . 21 (2): 328– 338.
  15. ↑ Noll, A. Michael; Schroeder, Manfred R. "Detección de tono 'Cepstrum' de corta duración". Journal of the Acoustical Society of America (Resumen). 36 (5): 1030.
  16. ↑ Noll, A. Michael (1964). "Técnicas de espectro y cepstrum de tiempo corto para la detección del tono vocal". Journal of the Acoustical Society of America . 36 (2): 296– 302.

Lecturas adicionales

  • Childers, DG; Skinner, DP; Kemerait, RC (1977). "El cepstrum: una guía para el procesamiento". Actas del IEEE . 65 (10). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 1428– 1443. Bibcode : 1977IEEEP..65.1428C . doi : 10.1109/proc.1977.10747 . ISSN 0018-9219 . S2CID 6108941 .  
  • Oppenheim, AV; Schafer, RW (2004). "Historia del DSP: de la frecuencia a la quefrencia: una historia del cepstrum". IEEE Signal Processing Magazine . 21 (5). Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE): 95– 106. Bibcode : 2004ISPM...21...95O . doi : 10.1109/msp.2004.1328092 . ISSN 1053-5888 . S2CID 1162306 .  
  • " Análisis de señales de voz "
  • " Análisis del habla: Análisis cepstral vs. LPC ", www.advsolned.com
  • " Un tutorial sobre Cepstrum y LPCC "
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