conjugado complejo

En matemáticas , el conjugado complejo de un número complejo es el número con una parte real igual y una parte imaginaria de igual magnitud pero signo opuesto . Es decir, si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números reales, entonces el conjugado complejo de${\displaystyle a+bi}$es​${\displaystyle a-bi}$⁠ . El conjugado complejo de${\displaystyle z}$a menudo se denota como${\displaystyle {\overline {z}}}$o​${\displaystyle z^{*}}$.​

En forma polar , si${\displaystyle r}$y${\displaystyle \varphi }$son números reales entonces el conjugado de${\displaystyle re^{i\varphi }}$es​${\displaystyle re^{-i\varphi }}$Esto se puede demostrar utilizando la fórmula de Euler .

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real:${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (o ${\displaystyle r^{2}}$en coordenadas polares ).

Si una raíz de un polinomio univariado con coeficientes reales es compleja, entonces su conjugado complejo también es una raíz .

El conjugado complejo de un número complejo${\displaystyle z}$se escribe como${\displaystyle {\overline {z}}}$o​${\displaystyle z^{*}}$La primera notación, un vínculo , evita la confusión con la notación para la transpuesta conjugada de una matriz , que puede considerarse una generalización del conjugado complejo. La segunda se prefiere en física , donde se usa la daga ( † ) para la transpuesta conjugada, así como en ingeniería eléctrica e informática , donde la notación de barra puede confundirse con el símbolo de negación lógica ("NO") del álgebra booleana , mientras que la notación de barra es más común en matemáticas puras .

Si un número complejo se representa como un${\displaystyle 2\times 2}$matriz , las notaciones son idénticas, y el conjugado complejo corresponde a la transpuesta de la matriz , que es un giro a lo largo de la diagonal. ^{[ 1 ]}

Las siguientes propiedades se aplican a todos los números complejos.${\displaystyle z}$y​${\displaystyle w}$⁠ , a menos que se indique lo contrario, y puede probarse por escrito.${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$en la forma${\displaystyle a+bi}$.​

Para cualesquiera dos números complejos, la conjugación es distributiva sobre la suma, la resta, la multiplicación y la división: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{y}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{si }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

Un número complejo es igual a su conjugado complejo si su parte imaginaria es cero, es decir, si el número es real. En otras palabras, los números reales son los únicos puntos fijos de conjugación.

La conjugación no cambia el módulo de un número complejo:${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

La conjugación es una involución , es decir, el conjugado del conjugado de un número complejo.${\displaystyle z}$es​${\displaystyle z}$⁠ . En símbolos, ⁠${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$⁠ . ^{[ 2 ]}

El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo del número:$${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$Esto permite calcular fácilmente el inverso multiplicativo de un número complejo dado en coordenadas rectangulares:$${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ para todo }}z\neq 0.}$$

La conjugación es conmutativa bajo composición con exponenciación a potencias enteras, con la función exponencial y con el logaritmo natural para argumentos distintos de cero: $${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ para todo }}n\in \mathbb {Z} }$$^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$$${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ si }}z{\text{ no es cero ni un número real negativo }}}$$

Si${\displaystyle p}$es un polinomio con coeficientes reales y${\displaystyle p(z)=0,}$entonces${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$Asimismo, las raíces no reales de polinomios reales aparecen en pares conjugados complejos ( véase el teorema de la raíz conjugada compleja ).

En general, si${\displaystyle \varphi }$es una función holomorfa cuya restricción a los números reales es de valor real, y${\displaystyle \varphi (z)}$y${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$se definen, entonces $${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

El mapa${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$de${\displaystyle \mathbb {C} }$a${\displaystyle \mathbb {C} }$es un homeomorfismo (donde la topología en${\displaystyle \mathbb {C} }$se considera que es la topología estándar) y antilineal , si se considera${\displaystyle \mathbb {C} }$como un espacio vectorial complejo sobre sí mismo. Aunque parece ser una función bien comportada , no es holomorfa ; invierte la orientación, mientras que las funciones holomorfas la preservan localmente. Es biyectiva y compatible con las operaciones aritméticas, y por lo tanto es un automorfismo de cuerpo . Como mantiene fijos los números reales, es un elemento del grupo de Galois de la extensión de cuerpo .${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$Este grupo de Galois tiene solo dos elementos:${\displaystyle \sigma }$y la identidad en${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ . Por lo tanto, los únicos dos automorfismos de campo de${\displaystyle \mathbb {C} }$Las que dejan fijos los números reales son la aplicación identidad y la conjugación compleja.

Una vez un número complejo${\displaystyle z=x+yi}$o${\displaystyle z=re^{i\theta }}$Se da, su conjugado es suficiente para reproducir las partes de la${\displaystyle z}$-variable:

• Parte real:${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Parte imaginaria:${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Módulo (o valor absoluto) :${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Argumento :${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$entonces${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Además,${\displaystyle {\overline {z}}}$se puede utilizar para especificar líneas en el plano: el conjunto $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$ es una línea que pasa por el origen y es perpendicular a${\displaystyle {r},}$ya que la parte real de${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$es cero solo cuando el coseno del ángulo entre${\displaystyle z}$y${\displaystyle {r}}$es cero. De manera similar, para una unidad compleja fija${\displaystyle u=e^{ib},}$la ecuación $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ determina la línea que pasa${\displaystyle z_{0}}$paralela a la línea que pasa por 0 y${\displaystyle u}$.​

Estos usos del conjugado de${\displaystyle z}$El concepto de variable se ilustra en el libro Geometría inversiva (1933) de Frank Morley , escrito junto con su hijo Frank Vigor Morley.

Las demás álgebras unitarias reales planas, los números duales y los números complejos divididos también se analizan utilizando la conjugación compleja.

Para matrices de números complejos,${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$dónde${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$representa la conjugación elemento por elemento de${\displaystyle \mathbf {A} .}$^{[ 3 ]} Compárese esto con la propiedad${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$dónde${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$representa la transpuesta conjugada de${\textstyle \mathbf {A} .}$

La transpuesta conjugada (o adjunta) de matrices complejas generaliza la conjugación compleja. Aún más general es el concepto de operador adjunto para operadores en espacios de Hilbert complejos (posiblemente de dimensión infinita) . Todo esto se engloba dentro de las operaciones * de las C*-álgebras .

También se puede definir una conjugación para cuaterniones y cuaterniones divididos : el conjugado de${\textstyle a+bi+cj+dk}$es​${\displaystyle a-bi-cj-dk}$.​

Todas estas generalizaciones son multiplicativas solo si se invierten los factores: $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

Dado que la multiplicación de álgebras reales planas es conmutativa , esta inversión no es necesaria en ese caso.

También existe una noción abstracta de conjugación para espacios vectoriales.${\textstyle V}$sobre los números complejos . En este contexto, cualquier aplicación antilineal${\textstyle \varphi :V\to V}$que satisface

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$dónde${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$y${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$es el mapa de identidad en${\displaystyle V}$⁠ ,
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$a pesar de${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$y
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$a pesar de${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

se denomina conjugación compleja o estructura real . A medida que la involución${\displaystyle \varphi }$es antilineal , no puede ser la aplicación identidad en${\displaystyle V}$.​

Por supuesto,${\textstyle \varphi }$es un${\textstyle \mathbb {R} }$-transformación lineal de${\textstyle V,}$si uno observa que cada espacio complejo${\displaystyle V}$tiene una forma real obtenida al tomar los mismos vectores que en el espacio original y restringir los escalares a ser reales. Las propiedades anteriores definen en realidad una estructura real en el espacio vectorial complejo .${\displaystyle V}$⁠ . ^{[ 4 ]}

Un ejemplo de esta noción es la operación de transposición conjugada de matrices complejas definida anteriormente. Sin embargo, en espacios vectoriales complejos genéricos, no existe una noción canónica de conjugación compleja.

• Cuadrado absoluto : producto de un número por sí mismo. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Línea conjugada compleja : Operación en geometría compleja 
• Representación conjugada compleja
• Espacio vectorial conjugado complejo – Concepto matemático Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 
• Álgebra compositiva – Tipo de álgebras, posiblemente no asociativas 
• Conjugado (raíces cuadradas) – Cambio de signo de una raíz cuadrada 
• Función hermitiana – Tipo de función compleja 
• Derivadas de Wirtinger : un concepto en análisis complejo. 

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3(Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3).