Distribución inversa compleja de Wishart

La distribución de Wishart inversa compleja es una distribución de probabilidad matricial definida sobre matrices definidas positivas de valores complejos y es el análogo complejo de la distribución de Wishart inversa real . La distribución de Wishart compleja fue investigada exhaustivamente por Goodman ^{[ 1 ],} mientras que la derivación de la inversa fue mostrada por Shaman ^{[ 2 ]} y otros. Su mayor aplicación se encuentra en la teoría de optimización por mínimos cuadrados aplicada a muestras de datos de valores complejos en sistemas de radiocomunicaciones digitales, a menudo relacionada con el filtrado complejo en el dominio de Fourier.

Alquiler${\displaystyle \mathbf {S} _{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}}$sea ​​la covarianza muestral de p- vectores complejos independientes${\displaystyle G_{j}}$cuya covarianza hermitiana tiene una distribución de Wishart compleja${\displaystyle \mathbf {S} \sim {\mathcal {CW}}(\mathbf {\Sigma } ,\nu ,p)}$con valor medio${\displaystyle \mathbf {\Sigma } {\text{ y }}\nu }$grados de libertad, luego el pdf de${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {S^{-1}} }$sigue la distribución inversa compleja de Wishart.

Si ${\displaystyle \mathbf {S} _{p\times p}}$es una muestra de la distribución compleja de Wishart${\displaystyle {\mathcal {CW}}({\mathbf {\Sigma } },\nu ,p)}$de tal manera que, en el caso más simple,${\displaystyle \nu \geq p{\text{ y }}\left|\mathbf {S} \right|>0}$entonces${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {S} ^{-1}}$se muestrea a partir de la distribución compleja inversa de Wishart${\displaystyle {\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p){\text{ donde }}\mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}}$.

La función de densidad de${\displaystyle \mathbf {X} }$ es

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} )={\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _ {p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _ {p}(\nu)}$es la función Gamma multivariada compleja

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _ {p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _ {j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)}$

Las varianzas y covarianzas de los elementos de la distribución inversa compleja de Wishart se muestran en el artículo de Shaman mencionado anteriormente, mientras que Maiwald y Kraus ^{[ 3 ]} determinan los momentos del 1.º al 4.º.

El chamán encuentra el primer momento para ser

${\displaystyle \mathbf {E} [{\mathcal {C}}\mathbf {W^{-1}} ]={\frac {1}{n-p}}\mathbf {\Psi ^{-1}} ,\;n>p}$

y, en el caso más simple${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{p\times p}}$, dado ${\displaystyle d={\frac {1}{n-p}}}$, entonces

${\displaystyle \mathbf {\mathbf {E} \left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}d&0&0&0&d&0&0&0&d\\\end{bmatrix}}}$

La covarianza vectorizada es

${\displaystyle \mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{p}^{-1})\right]} =b\left(\mathbf {I} _{p}\otimes I_{p}\right)+c\,\mathbf {vecI_{p}} \left(\mathbf {vecI_{p}} \right)^{T}+(a-b-c)\mathbf {J} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {J} }$es un${\displaystyle p^{2}\times p^{2}}$matriz identidad con unos en las posiciones diagonales ${\displaystyle 1+(p+1)j,\;j=0,1,\dots p-1}$y${\displaystyle a,b,c}$son constantes reales tales que para${\displaystyle n>p+1}$

${\displaystyle a={\frac {1}{(n-p)^{2}(n-p-1)}}}$, varianzas diagonales marginales

${\displaystyle b={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)(n-p-1)}}}$, varianzas fuera de la diagonal.

${\displaystyle c={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)^{2}(n-p-1)}}}$covarianzas intradiagonales

Para${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{3}}$, obtenemos la matriz dispersa :

${\displaystyle \mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}a&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &a&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &a\\\end{bmatrix}}}$

La distribución conjunta de los autovalores reales de la matriz Wishart inversa compleja (y real) se encuentra en el artículo de Edelman ^{[ 4 ],} quien hace referencia a un artículo anterior de James ^{[ 5 ]} . En el caso no singular, los autovalores de la matriz Wishart inversa son simplemente los valores invertidos de la matriz Wishart. Edelman también caracteriza las distribuciones marginales de los autovalores mínimo y máximo de las matrices Wishart complejas y reales.