campo vectorial lamelar complejo

En cálculo vectorial , un campo vectorial lamelar complejo es un campo vectorial ortogonal a una familia de superficies. En el contexto más amplio de la geometría diferencial , los campos vectoriales lamelares complejos se denominan con mayor frecuencia campos vectoriales ortogonales a hipersuperficies. Se pueden caracterizar de diversas maneras, muchas de las cuales involucran el rotacional . Un campo vectorial lamelar es un caso especial dado por campos vectoriales con rotacional cero.

El adjetivo «lamelar» deriva del sustantivo «lamela», que significa capa delgada. Las lamelas a las que se refiere «campo vectorial lamelar» son las superficies de potencial constante o, en el caso complejo, las superficies ortogonales al campo vectorial. ^{[ 1 ]}

En cálculo vectorial , un campo vectorial lamelar complejo es un campo vectorial en tres dimensiones que es ortogonal a su propio rotacional . ^{[ 2 ]} Es decir,

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

El término campo vectorial lamelar se utiliza a veces como sinónimo del caso especial de un campo vectorial irrotacional , lo que significa que ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$

Los campos vectoriales lamelares complejos son precisamente aquellos que son normales a una familia de superficies. Un campo vectorial irrotacional es localmente el gradiente de una función y, por lo tanto, es ortogonal a la familia de superficies de nivel (las superficies equipotenciales ). ^{[ 4 ]} Cualquier campo vectorial puede descomponerse como la suma de un campo vectorial irrotacional y un campo lamelar complejo. ^{[ 5 ]}

En términos más generales, se dice que un campo vectorial F en una variedad pseudoriemanniana es ortogonal a la hipersuperficie si, a través de un punto arbitrario, existe una hipersuperficie suavemente incrustada que, en todos sus puntos, es ortogonal al campo vectorial. Según el teorema de Frobenius, esto equivale a exigir que el corchete de Lie de cualquier campo vectorial suave ortogonal a F siga siendo ortogonal a F. ^{[ 6 ]}

La condición de ortogonalidad de la hipersuperficie puede reformularse en términos de la 1-forma diferencial ω, que es dual a F. La condición del corchete de Lie dada anteriormente puede reelaborarse para requerir que la derivada exterior d ω , cuando se evalúa sobre cualesquiera dos vectores tangentes ortogonales a F , sea cero. ^{[ 6 ]} Esto también puede expresarse como el requisito de que exista una 1-forma suave cuyo producto exterior con ω sea igual a d ω . ^{[ 7 ]}

Alternativamente, esto puede escribirse como la condición de que la 3-forma diferencial ω ∧ d ω sea cero. Esto también puede expresarse, en términos de la conexión de Levi-Civita definida por la métrica, como la exigencia de que la parte totalmente antisimétrica del campo 3-tensorial ω _i ∇ _j ω _k sea cero. ^{[ 8 ]} Usando una formulación diferente del teorema de Frobenius, también es equivalente a exigir que ω sea localmente expresable como λ d u para algunas funciones λ y u . ^{[ 9 ]}

En el caso especial de campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional , la condición de ortogonalidad de la hipersuperficie es equivalente a la condición lamelar compleja, como se ve al reescribir ω ∧ d ω en términos del operador estrella de Hodge como ∗⟨ ω , ∗d ω ⟩ , donde ∗d ω es la 1-forma dual al campo vectorial rotacional. ^{[ 10 ]}

Los campos vectoriales ortogonales a la hipersuperficie son particularmente importantes en la relatividad general , donde (entre otras razones) la existencia de un campo vectorial de Killing ortogonal a la hipersuperficie es uno de los requisitos de un espaciotiempo estático . ^{[ 11 ]} En este contexto, la ortogonalidad a la hipersuperficie se denomina a veces irrotacionalidad , aunque esto entra en conflicto con el uso estándar en tres dimensiones. ^{[ 12 ]} Otro nombre es ausencia de rotación . ^{[ 13 ]}

An even more general notion, in the language of Pfaffian systems, is that of a completely integrable 1-formω, which amounts to the condition ω ∧ dω = 0 as given above.^[14] In this context, there is no metric and so there is no notion of "orthogonality".

• Beltrami vector field
• Conservative vector field