Plano proyectivo complejo

En matemáticas , el plano proyectivo complejo , usualmente denotado ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$ o ⁠ ⁠,${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2},}$ es el espacio proyectivo complejo bidimensional . Es una variedad compleja de dimensión compleja 2, descrita por tres coordenadas complejas.

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)}$

donde, sin embargo, se identifican las ternas que difieren por un reescalamiento general:

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

Es decir, se trata de coordenadas homogéneas en el sentido tradicional de la geometría proyectiva .

Los números de Betti del plano proyectivo complejo son

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

La dimensión media 2 se explica por la clase de homología de la línea proyectiva compleja, o esfera de Riemann , que se encuentra en el plano. Los grupos de homotopía no triviales del plano proyectivo complejo son . El grupo fundamental es trivial y todos los demás grupos de homotopía superiores son los de la 5-esfera, es decir, torsión.${\displaystyle \pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z} }$

En geometría birracional , una superficie racional compleja es cualquier superficie algebraica birracionalmente equivalente al plano proyectivo complejo. Se sabe que cualquier variedad racional no singular se obtiene del plano mediante una secuencia de transformaciones de explosión y sus inversas ('explosión') de curvas, que deben ser de un tipo muy particular. Como caso especial, una cuádrica compleja no singular en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ se obtiene del plano mediante la explosión de dos puntos en curvas, y luego la explosión de la línea que pasa por estos dos puntos; la inversa de esta transformación se puede ver tomando un punto P en la cuádrica Q , explotándolo y proyectándolo sobre un plano general en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ trazando líneas que pasen por P.

El grupo de automorfismos birracionales del plano proyectivo complejo es el grupo de Cremona .

Como variedad riemanniana , el plano proyectivo complejo es una variedad de 4 dimensiones cuya curvatura seccional está reducida a un cuarto, pero no estrictamente. Es decir, alcanza ambos límites y, por lo tanto, evita ser una esfera, como lo exigiría el teorema de la esfera . Las normalizaciones alternativas son: que la curvatura esté reducida entre 1/4 y 1; alternativamente, entre 1 y 4. Con respecto a la primera normalización, la superficie incrustada definida por la línea proyectiva compleja tiene curvatura gaussiana 1. Con respecto a la segunda normalización, el plano proyectivo real incrustado tiene curvatura gaussiana 1.

En la subsección n =2 del artículo sobre la métrica de Fubini-Study se ofrece una demostración explícita de los tensores de Riemann y Ricci .

• Puntos circulares en el infinito
• superficie del Pezzo
• Geometría tórica
• Plano proyectivo falso

• CE Springer (1964) Geometría y análisis de espacios proyectivos , páginas 140–3, WH Freeman and Company .