variable aleatoria compleja

En teoría de la probabilidad y estadística , las variables aleatorias complejas son una generalización de las variables aleatorias de valor real a números complejos ; es decir, los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria compleja son números complejos. ^{[ 1 ]} Las variables aleatorias complejas siempre pueden considerarse como pares de variables aleatorias reales: sus partes real e imaginaria. Por lo tanto, la distribución de una variable aleatoria compleja puede interpretarse como la distribución conjunta de dos variables aleatorias reales.

Algunos conceptos propios de las variables aleatorias reales se generalizan fácilmente a las variables aleatorias complejas; por ejemplo, la definición de la media de una variable aleatoria compleja. Otros conceptos son exclusivos de las variables aleatorias complejas.

Las aplicaciones de variables aleatorias complejas se encuentran en el procesamiento de señales digitales , ^{[ 2 ]} la modulación de amplitud en cuadratura y la teoría de la información .

Una variable aleatoria compleja${\displaystyle Z}$en el espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$es una función${\displaystyle Z\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$de tal manera que su parte real${\displaystyle \Re {(Z)}}$y su parte imaginaria${\displaystyle \Im {(Z)}}$son variables aleatorias reales en${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$.

La generalización de la función de distribución acumulativa de variables aleatorias reales a complejas no es obvia porque las expresiones de la forma${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$no tienen sentido. Sin embargo, expresiones de la forma${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$tiene sentido. Por lo tanto, definimos la distribución acumulativa.${\displaystyle F_{Z}:\mathbb {C} \a [0,1]}$de variables aleatorias complejas a través de la distribución conjunta de sus partes real e imaginaria:

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria compleja se define como${\displaystyle f_{Z}(z)=f_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})}$, es decir, el valor de la función de densidad en un punto${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$se define como igual al valor de la densidad conjunta de las partes real e imaginaria de la variable aleatoria evaluada en el punto${\displaystyle (\Re {(z)},\Estoy {(z)})}$.

Una definición equivalente viene dada por${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}P(\Re {(Z)}\leq x,\Im {(Z)}\leq y)}$dónde${\displaystyle x=\Re {(z)}}$y${\displaystyle y=\Im {(z)}}$.

Al igual que en el caso real, la función de densidad puede no existir.

La esperanza de una variable aleatoria compleja se define a partir de la definición de la esperanza de una variable aleatoria real: ^{[ 3 ] : p. 112}

Tenga en cuenta que la esperanza de una variable aleatoria compleja no existe si${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}]}$o${\displaystyle \operatorname {E} [\Soy {(Z)}]}$No existe.

Si la variable aleatoria compleja${\displaystyle Z}$tiene una función de densidad de probabilidad${\displaystyle f_{Z}(z)}$, entonces la esperanza viene dada por${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\iint _{\mathbb {C} }z\cdot f_{Z}(z)\,dx\,dy}$.

Si la variable aleatoria compleja${\displaystyle Z}$tiene una función de masa de probabilidad${\displaystyle p_{Z}}$compatible con${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$, entonces la esperanza viene dada por${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\sum _{z\in D}z\cdot p_{Z}(z)}$.

Propiedades

Siempre que exista la esperanza de una variable aleatoria compleja, tomar la esperanza y la conjugación compleja conmutan:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {E} [Z]}}=\operatorname {E} [{\overline {Z}}].}$

El operador de valor esperado ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$es lineal en el sentido de que

${\displaystyle \operatorname {E} [aZ+bW]=a\operatorname {E} [Z]+b\operatorname {E} [W]}$

para cualquier coeficiente complejo${\displaystyle a,b}$incluso si${\displaystyle Z}$y${\displaystyle W}$no son independientes .

La varianza se define en términos de cuadrados absolutos como: ^{[ 3 ] : 117}

Propiedades

La varianza es siempre un número real no negativo. Es igual a la suma de las varianzas de la parte real e imaginaria de la variable aleatoria compleja:

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}].}$

La varianza de una combinación lineal de variables aleatorias complejas se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[\sum _{k=1}^{N}a_{k}Z_{k}\right]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}{\overline {a_{j}}}\operatorname {Cov} [Z_{i},Z_{j}].}$

Para una variable aleatoria compleja general, el par${\displaystyle (\Re {(Z)},\Estoy {(Z)})}$tiene una matriz de covarianza de la forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]&\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]\\\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\end{bmatrix}}}$

La matriz es simétrica, por lo tanto${\displaystyle \operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]}$

Sus elementos son iguales:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}+\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}-\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{ZZ})\\\end{aligned}}}$

En cambio:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\\&\operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]-\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]+i2\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]\end{aligned}}}$

La covarianza entre dos variables aleatorias complejas${\displaystyle Z,W}$se define como ^{[ 3 ] : 119}

Nótese la conjugación compleja del segundo factor en la definición.

A diferencia de las variables aleatorias reales, también definimos una pseudocovarianza (también llamada varianza complementaria ):

Las estadísticas de segundo orden se caracterizan completamente por la covarianza y la pseudocovarianza.

Propiedades

La covarianza tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W]={\overline {\operatorname {Cov} [W,Z]}}}$(Simetría conjugada)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\alpha Z,W]=\alpha \operatorname {Cov} [Z,W]}$(Sesquilinealidad)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,\alpha W]={\overline {\alpha }}\operatorname {Cov} [Z,W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z_{1}+Z_{2},W]=\operatorname {Cov} [Z_{1},W]+\operatorname {Cov} [Z_{2},W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W_{1}+W_{2}]=\operatorname {Cov} [Z,W_{1}]+\operatorname {Cov} [Z,W_{2}]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,Z]={\operatorname {Var} [Z]}}$
• Falta de correlación: dos variables aleatorias complejas${\displaystyle Z}$y${\displaystyle W}$se denominan no correlacionados si${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {J} _{ZW}=0}$(véase también: falta de correlación (teoría de la probabilidad) ).
• Ortogonalidad: dos variables aleatorias complejas${\displaystyle Z}$y${\displaystyle W}$se denominan ortogonales si${\displaystyle \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=0}$.

La simetría circular de las variables aleatorias complejas es una suposición común en el campo de las comunicaciones inalámbricas. Un ejemplo típico de variable aleatoria compleja con simetría circular es la variable aleatoria gaussiana compleja con media cero y matriz de pseudocovarianza cero.

Una variable aleatoria compleja${\displaystyle Z}$es circularmente si, para cualquier determinista${\displaystyle \phi \in [-\pi ,\pi ]}$, la distribución de${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$es igual a la distribución de${\displaystyle Z}$.

Propiedades

Por definición, una variable aleatoria compleja con simetría circular tiene $${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {i} \phi }\operatorname {E} [Z]}$$para cualquier${\displaystyle \phi }$.

Por lo tanto, la esperanza de una variable aleatoria compleja con simetría circular solo puede ser cero o indefinida.

Además, $${\displaystyle \operatorname {E} [ZZ]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Ze^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {2} i\phi }\operatorname {E} [ZZ]}$$para cualquier${\displaystyle \phi }$.

Por lo tanto, la pseudovarianza de una variable aleatoria compleja con simetría circular solo puede ser cero.

Si${\displaystyle Z}$y${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$tienen la misma distribución, la fase de${\displaystyle Z}$debe estar distribuido uniformemente sobre${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$y independiente de la amplitud de${\displaystyle Z}$. ^{[ 4 ]}

El concepto de variables aleatorias propias es exclusivo de las variables aleatorias complejas y no tiene un concepto correspondiente con las variables aleatorias reales.

Una variable aleatoria compleja${\displaystyle Z}$Se considera propia si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]<\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=0}$

Esta definición es equivalente a las siguientes condiciones. Esto significa que una variable aleatoria compleja es propia si y solo si:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}^{2}]=\operatorname {E} [\Im {(Z)}^{2}]\neq \infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}\Im {(Z)}]=0}$

Para una variable aleatoria compleja adecuada, la matriz de covarianza del par${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$tiene la siguiente forma simple:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]&0\\0&{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\end{bmatrix}}}$.

Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]=\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=0\\\end{aligned}}}$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz para variables aleatorias complejas, que se puede derivar utilizando la desigualdad triangular y la desigualdad de Hölder , es

${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]\right|^{2}\leq \left|\operatorname {E} \left[\left|Z{\overline {W}}\right|\right]\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|Z|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|W|^{2}\right]}$.

La función característica de una variable aleatoria compleja es una función${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$definido por

${\displaystyle \varphi _{Z}(\omega )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {({\overline {\omega }}Z)}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega )}\Re {(Z)}+\Im {(\omega )}\Im {(Z)})}\right].}$

• Momento central
• vector aleatorio complejo