Semiplano superior

En matemáticas , el semiplano superior ,${\displaystyle {\mathcal {H}},}$es el conjunto de puntos${\displaystyle (x,y)}$en el plano cartesiano con${\displaystyle y>0.}$El semiplano inferior es el conjunto depuntos .${\displaystyle (x,y)}$con​​${\displaystyle y<0}$En cambio, se pueden obtener semiplanos orientados arbitrariamente mediante una rotación planar . Los semiplanos son un ejemplo de semiespacio bidimensional. Un semiplano se puede dividir en dos cuadrantes .

Las transformaciones afines del semiplano superior incluyen:

1. turnos${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+c,y)}$,${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, y
2. dilataciones${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$,${\displaystyle \lambda >0.}$

Proposición: Sea ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ sean semicírculos en el semiplano superior con centros en el límite. Entonces hay una aplicación afín que toma ${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$.

Prueba: Primero, desplaza el centro de ⁠${\displaystyle A}$a​​${\displaystyle (0,0).}$Luego toma${\displaystyle \lambda =({\text{diámetro de}}\ B)/({\text{diámetro de}}\ A)}$

y dilatar . Luego desplazar${\displaystyle (0,0)}$al centro de${\displaystyle B.}$⁠

Definición:${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\left\{\left(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta \right)\mid 0<\theta <\pi \right\}}$.

⁠${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$⁠ puede reconocerse como el círculo de radio ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$centrado en​${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},0{\bigr )},}$y como el diagrama polar de ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

Proposición :${\displaystyle (0,0),}$⁠ ⁠${\displaystyle \rho (\theta )}$en​​${\displaystyle {\mathcal {Z}},}$y​​${\displaystyle (1,\tan \theta )}$son puntos colineales.

De hecho,${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$es la inversión de la línea${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$en el círculo unitario . De hecho, la diagonal desde${\displaystyle (0,0)}$a​​${\displaystyle (1,\tan \theta )}$tiene longitud al cuadrado${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$, de modo que${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$ es el recíproco de esa longitud.

La distancia entre dos puntos cualesquiera${\displaystyle p}$y​​${\displaystyle q}$⁠ en el semiplano superior se puede definir de forma consistente como sigue: La mediatriz del segmento desde ⁠${\displaystyle p}$a​​${\displaystyle q}$o bien interseca el límite o es paralela a él. En este último caso${\displaystyle p}$y​​${\displaystyle q}$⁠ se encuentran en un rayo perpendicular al límite yse puede utilizar una medida logarítmica para definir una distancia que sea invariante bajo dilatación. En el primer caso ⁠${\displaystyle p}$y​​${\displaystyle q}$⁠ se encuentran en un círculo centrado en la intersección de su mediatriz y el límite. Por la proposición anterior, este círculo puede moverse mediante movimiento afín hasta${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$Distancias en​${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$⁠ se puede definir utilizando la correspondencia con puntos en${\displaystyle {\bigl \{}(1,y)\mid y>0{\bigr \}}}$y medida logarítmica en este rayo. En consecuencia, el semiplano superior se convierte en un espacio métrico . El nombre genérico de este espacio métrico es el plano hiperbólico . En términos de los modelos de geometría hiperbólica , este modelo se denomina frecuentemente modelo del semiplano de Poincaré .

Los matemáticos a veces identifican el plano cartesiano con el plano complejo , y entonces el semiplano superior corresponde al conjunto de números complejos con parte imaginaria positiva :

${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{x+iy\mid y>0;\ x,y\in \mathbb {R} \}.}$

El término surge de una visualización común del número complejo.${\displaystyle x+iy}$como el punto${\displaystyle (x,y)}$en el plano dotado de coordenadas cartesianas . Cuando el${\displaystyle y}$El eje está orientado verticalmente, el " semiplano superior " corresponde a la región por encima del${\displaystyle x}$eje y por lo tanto números complejos para los cuales${\displaystyle y>0}$.

Es el dominio de muchas funciones de interés en el análisis complejo , especialmente las formas modulares . El semiplano inferior, definido por${\displaystyle y<0}$⁠ es igualmente bueno, pero menos utilizado por convención. El disco de unidad abierta ⁠${\displaystyle {\mathcal {D}}}$⁠ (el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno) es equivalente mediante una aplicación conforme a ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$⁠ (véase " métrica de Poincaré "), lo que significa que normalmente es posible pasar entre ⁠${\displaystyle {\mathcal {H}}}$y​​${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$⁠

También desempeña un papel importante en la geometría hiperbólica , donde el modelo del semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar los movimientos hiperbólicos . La métrica de Poincaré proporciona una métrica hiperbólica en el espacio.

El teorema de uniformización para superficies establece que el semiplano superior es el espacio de recubrimiento universal de superficies con curvatura gaussiana negativa constante .

El semiplano superior cerrado es la unión del semiplano superior con el eje real. Es el cierre del semiplano superior.

Una generalización natural en geometría diferencial es la hiperbólica.${\displaystyle n}$-espacio​${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n},}$⁠ el sistema máximamente simétrico y simplemente conexo , ⁠${\displaystyle n}$Variedad riemanniana de -dimensionescon curvatura seccional constante${\displaystyle -1}$En esta terminología, el semiplano superior es${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ya que tiene dimensión real${\displaystyle 2.}$⁠

En teoría de números , la teoría de las formas modulares de Hilbert se ocupa del estudio de ciertas funciones en el producto directo .${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n}}$de​​${\displaystyle n}$copias del semiplano superior. Otro espacio interesante para los teóricos de números es el semiplano superior de Siegel .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n},}$que es el dominio de las formas modulares de Siegel .

• Barrio de Cusp
• Semiplano superior complejo extendido
• grupo fucsia
• Dominio fundamental
• Medio espacio
• grupo kleiniano
• Grupo modular
• Módulos apilados de curvas elípticas
• superficie de Riemann
• Teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick

• Weisstein, Eric W. "Semiplano superior" . MathWorld .