Componente (teoría de grupos)

En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un componente de un grupo finito es un subgrupo subnormal cuasisimple . Dos componentes cualesquiera conmutan . El producto de todos los componentes es la capa del grupo.

Para grupos abelianos (o nilpotentes ) finitos, el término p -componente se utiliza en un sentido diferente para referirse al subgrupo p de Sylow , de modo que el grupo abeliano es el producto de sus p -componentes para números primos p . Estos no son componentes en el sentido anterior, ya que los grupos abelianos no son cuasisimplíes.

Un subgrupo cuasisimple de un grupo finito se denomina componente estándar si su centralizador tiene orden par, es normal en el centralizador de toda involución que lo centraliza y no conmuta con ninguno de sus conjugados . Este concepto se utiliza en la clasificación de grupos simples finitos , por ejemplo, demostrando que, bajo restricciones leves sobre la componente estándar, siempre se cumple una de las siguientes condiciones:

• un componente estándar es normal (por lo tanto, un componente como el anterior),
• todo el grupo tiene un subgrupo normal resoluble no trivial,
• el subgrupo generado por los conjugados del componente estándar está en una lista corta,
• o el componente estándar es un grupo cuasisimple previamente desconocido ( Aschbacher y Seitz 1976 ) .

• Aschbacher, Michael (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
• Aschbacher, Michael ; Seitz, Gary M. ( 1976), "Sobre grupos con un componente estándar de tipo conocido", Osaka J. Math. , 13 (3): 439–482