Laminado compuesto

En ciencia de los materiales , un laminado compuesto es un conjunto de capas de materiales compuestos fibrosos que se pueden unir para proporcionar las propiedades de ingeniería requeridas , incluyendo rigidez en el plano, rigidez a la flexión , resistencia y coeficiente de expansión térmica .

Las capas individuales están compuestas de fibras de alto módulo y alta resistencia en una matriz polimérica , metálica o cerámica . Las fibras típicas utilizadas incluyen celulosa , grafito , vidrio , boro y carburo de silicio , y algunos materiales de matriz son epoxis , poliimidas , aluminio , titanio y alúmina .

Se pueden utilizar capas de diferentes materiales, dando como resultado un laminado híbrido. Las capas individuales suelen ser ortotrópicas (es decir, con propiedades principales en direcciones ortogonales) o transversalmente isótropas (con propiedades isótropas en el plano transversal), con lo que el laminado presenta propiedades anisotrópicas (con dirección variable de las propiedades principales), ortotrópicas o cuasi-isotrópicas. Los laminados cuasi-isotrópicos presentan una respuesta isótropa (es decir, independiente de la dirección) en el plano, pero no se limitan a una respuesta isótropa fuera del plano (flexión). Dependiendo de la secuencia de apilamiento de las capas individuales, el laminado puede presentar acoplamiento entre la respuesta en el plano y fuera del plano. Un ejemplo de acoplamiento flexión-estiramiento es la presencia de curvatura que se desarrolla como resultado de la carga en el plano.

La teoría clásica de laminados modela la deformación de un laminado en respuesta a fuerzas y momentos externos bajo un conjunto de supuestos. Los supuestos clave son:

• El laminado consta de una pila de capas ortotrópicas .
• El grosor total es pequeño en comparación con las demás dimensiones y es constante.
• Los desplazamientos del laminado son pequeños en comparación con su espesor total.
• Las deformaciones en el plano son pequeñas en comparación con la unidad.
• Las deformaciones transversales normales y las deformaciones por cizallamiento pueden despreciarse.
• Los desplazamientos y las deformaciones en el plano son funciones lineales de la coordenada que atraviesa el espesor.
• Cada capa obedece la ley de Hooke y, por lo tanto, todas sus tensiones y deformaciones pueden relacionarse mediante un sistema de ecuaciones lineales . Esto se cumple para una amplia gama de materiales laminares.
• Las tensiones de corte transversales son cero en las superficies del laminado, donde${\displaystyle z=\pm t/2}$.

La deformación del laminado se puede representar mediante las tres deformaciones ortogonales del plano medio/superficie,${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}}$y tres cambios en la curvatura,${\displaystyle {\underline {\kappa }}}$:

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}^{0}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{x}^{0}\\\varepsilon _{y}^{0}\\\tau _{xy}^{0}\end{bmatrix}}}$y${\displaystyle {\underline {\kappa }}={\begin{bmatrix}\kappa _{x}\\\kappa _{y}\\\kappa _{xy}\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$definir un sistema de coordenadas global. Debido a la suposición de que las deformaciones resultantes de la curvatura varían linealmente a lo largo de la${\displaystyle z}$eje (en la dirección del espesor), las deformaciones totales en el plano para cada capa son una suma de las derivadas de las cargas de membrana y las cargas de flexión expresadas como

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}={\underline {\varepsilon }}^{0}+z{\underline {\kappa }}}$

Las capas individuales tienen ejes de coordenadas locales alineados con las direcciones características del material, como las direcciones principales de su tensor de elasticidad. Por ejemplo, las capas unidireccionales siempre tienen su primer eje alineado con la dirección del refuerzo. Un laminado es un apilamiento de n capas individuales con un conjunto de orientaciones de capa.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta _{1},&\theta _{2},&\dots &\theta _{n}\end{bmatrix}}}$

que tienen una fuerte influencia tanto en la rigidez como en la resistencia del laminado en su conjunto. La rotación de un material anisotrópico produce una variación de su tensor de elasticidad . En las coordenadas locales de cada capa, se supone que se comporta de acuerdo con la ley de tensión-deformación.

${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\mathbf {Q} {\underline {\varepsilon }}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {Q} }$es la matriz de rigidez para una capa individual. La transformación de las coordenadas locales a las coordenadas xy globales requiere una rotación en el plano por ángulo${\displaystyle \theta }$, lo cual se puede realizar utilizando la matriz de rotación${\displaystyle \mathbf {T} }$Esto da como resultado la matriz de rigidez transformada.${\displaystyle \mathbf {\bar {Q}} }$con términos de elasticidad modificados: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\bar {Q}} &=\mathbf {T} ^{-1}\mathbf {Q} \mathbf {T} ^{\mathsf {-T}}\\{\bar {Q}}_{11}&=Q_{11}\cos ^{4}\theta +2(Q_{12}+2Q_{66})\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +Q_{22}\sin ^{4}\theta \\{\bar {Q}}_{22}&=Q_{11}\sin ^{4}\theta +2(Q_{12}+2Q_{66})\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +Q_{22}\cos ^{4}\theta \\{\bar {Q}}_{12}&=(Q_{11}+Q_{22}-4Q_{66})\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +Q_{12}(\sin ^{4}\theta +\cos ^{4}\theta )\\{\bar {Q}}_{66}&=(Q_{11}+Q_{22}-2Q_{12}-2Q_{66})\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +Q_{66}(\sin ^{4}\theta +\cos ^{4}\theta )\\{\bar {Q}}_{16}&=(Q_{11}-Q_{12}-2Q_{66})\cos ^{3}\theta \sin \theta -(Q_{22}-Q_{12}-2Q_{66})\cos \theta \sin ^{3}\theta \\{\bar {Q}}_{26}&=(Q_{11}-Q_{12}-2Q_{66})\cos \theta \sin ^{3}\theta -(Q_{22}-Q_{12}-2Q_{66})\cos ^{3}\theta \sin \theta \end{aligned}}}$

Por lo tanto, en el sistema de coordenadas global:

${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\mathbf {\bar {Q}} {\underline {\varepsilon }}}$

La carga externa se puede resumir mediante seis resultantes de tensión: tres fuerzas de membrana (fuerzas por unidad de longitud) dadas por${\displaystyle N}$para definir la carga en el plano y tres momentos flectores por unidad de longitud dados por${\displaystyle M}$para definir la carga fuera del plano. Estas pueden calcularse las tensiones,${\displaystyle {\underline {\sigma }}}$, de la siguiente manera:

${\displaystyle N=\int _{-t/2}^{t/2}{\underline {\sigma }}\,dz=\sum _{k=1}^{n}\left(\int _{-z_{k}}^{z_{k-1}}{\underline {\sigma }}_{k}\,dz\right)\quad }$son las tres fuerzas de membrana por unidad de longitud y

${\displaystyle M=\int _{-t/2}^{t/2}{\underline {\sigma }}z\,dz=\sum _{k=1}^{n}\left(\int _{-z_{k}}^{z_{k-1}}{\underline {\sigma }}_{k}z\,dz\right)\quad }$son los tres momentos flectores por unidad de longitud.

Las propiedades de rigidez de los laminados compuestos se pueden encontrar mediante la integración de la tensión en el plano a lo largo de la${\displaystyle z}$eje, normal a la superficie del laminado. Una vez que forma parte de un laminado, la elasticidad transformada se trata como una función por partes a lo largo del${\displaystyle z}$eje (en la dirección del espesor), por lo tanto, la operación de integración puede tratarse como la suma de una serie de n capas, dando ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {B} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\underline {\varepsilon }}^{0}\\{\underline {\kappa }}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle A_{ij}=\sum _{k=1}^{n}({\bar {Q}}_{ij})_{k}\left(z_{k}-z_{k-1}\right)\quad }$son las rigideces extensionales del laminado,

${\displaystyle B_{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}({\bar {Q}}_{ij})_{k}\left(z_{k}^{2}-z_{k-1}^{2}\right)\quad }$son las rigideces de acoplamiento del laminado y

${\displaystyle D_{ij}={\frac {1}{3}}\sum _{k=1}^{n}({\bar {Q}}_{ij})_{k}\left(z_{k}^{3}-z_{k-1}^{3}\right)\quad }$son las rigideces a la flexión del laminado.

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