Teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern

La demostración es constructiva: muestra cómo la función deseada${\displaystyle u}$se puede construir. Aquí describimos el proceso de construcción para el caso en que el número de resultados seguros es finito. ^{[ 6 ] : 132–134}

Supongamos que hay n resultados seguros,${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$Cabe señalar que cada resultado seguro puede considerarse una lotería: se trata de una lotería degenerada en la que el resultado se selecciona con probabilidad 1. Por lo tanto, según los axiomas de Completitud y Transitividad, es posible ordenar los resultados de peor a mejor:

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

Suponemos que al menos una de las desigualdades es estricta (de lo contrario, la función de utilidad es trivial, una constante). Por lo tanto,${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$Utilizamos estos dos resultados extremos —el peor y el mejor— como unidad de escala de nuestra función de utilidad, y definimos:

${\displaystyle u(A_{1})=0}$y${\displaystyle u(A_{n})=1}$

Para cada probabilidad${\displaystyle p\in [0,1]}$, definir una lotería que seleccione el mejor resultado con probabilidad${\displaystyle p}$y el peor resultado posible en caso contrario:

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$y${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$.

Por el axioma de continuidad, para cada resultado seguro${\displaystyle A_{i}}$, existe una probabilidad${\displaystyle q_{i}}$de tal manera que:

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$.

Entonces

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$.

Por cada${\displaystyle i}$, la función de utilidad para el resultado${\displaystyle A_{i}}$se define como

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

por lo tanto la utilidad de cada lotería${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$es la expectativa de u :

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

Para ver por qué esta función de utilidad es consistente con las preferencias dadas, consideremos una lotería.${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$, que selecciona el resultado${\displaystyle A_{i}}$con probabilidad${\displaystyle p_{i}}$Pero, según nuestra suposición, quien toma la decisión es indiferente entre el resultado seguro.${\displaystyle A_{i}}$y la lotería${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$. Por lo tanto, según el axioma de reducción, le es indiferente entre la lotería${\displaystyle M}$y la siguiente lotería:

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_{i})\right)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

La lotería${\displaystyle M'}$En efecto, es una lotería en la que se gana el mejor resultado con probabilidad${\displaystyle u(M)}$y el peor resultado posible en caso contrario.

Por lo tanto, si${\displaystyle u(M)>u(L)}$Un tomador de decisiones racional preferiría la lotería.${\displaystyle M}$sobre la lotería${\displaystyle L}$, porque le da una mayor probabilidad de obtener el mejor resultado.

Por eso:

${\displaystyle L\prec M\;}$si y solo si${\displaystyle E(u(L))<E(u(M)).}$

Von Neumann y Morgenstern anticiparon sorpresa ante la contundencia de su conclusión. Pero, según ellos, la razón por la que su función de utilidad funciona es que está construida precisamente para desempeñar el papel de algo cuya expectativa se maximiza:

«Muchos economistas opinarán que estamos asumiendo demasiado... ¿Acaso no hemos demostrado demasiado?... Hasta donde podemos ver, nuestros postulados son plausibles... Prácticamente hemos definido la utilidad numérica como aquello para lo cual el cálculo de las expectativas matemáticas es legítimo.»  – VNM 1953, §  3.1.1 p.16 y §  3.7.1 p. 28 ^{[ 1 ]}

Por lo tanto, el contenido del teorema es que la construcción de u es posible, y afirman poco sobre su naturaleza.

A menudo sucede que una persona, al enfrentarse a apuestas reales con dinero, no actúa para maximizar el valor esperado de sus activos en dólares. Por ejemplo, una persona que solo posee $1000 en ahorros puede ser reacia a arriesgarlo todo por una probabilidad del 20% de ganar $10,000, aunque

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

Sin embargo, si la persona es racional según VNM, tales hechos se tienen en cuenta automáticamente en su función de utilidad u . En este ejemplo, podríamos concluir que

${\displaystyle 20\%u(\$10\,000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

donde las cantidades en dólares representan resultados (cf. " valor "), las tres situaciones posibles que el individuo podría enfrentar. En particular, u puede exhibir propiedades como u ($1)+ u ($1) ≠ u ($2) sin contradecir en absoluto la racionalidad VNM. Esto conduce a una teoría cuantitativa de la aversión al riesgo monetario.

En 1738, Daniel Bernoulli publicó un tratado ^{[ 7 ]} en el que postula que el comportamiento racional puede describirse como la maximización de la esperanza de una función u , que en particular no necesita tener un valor monetario, lo que explica la aversión al riesgo. Esta es la hipótesis de la utilidad esperada . Como se mencionó, la hipótesis puede parecer una afirmación audaz. El objetivo del teorema de la utilidad esperada es proporcionar "condiciones modestas" (es decir, axiomas) que describan cuándo se cumple la hipótesis de la utilidad esperada, las cuales pueden evaluarse de forma directa e intuitiva:

«Los axiomas no deben ser demasiado numerosos, su sistema debe ser lo más simple y transparente posible, y cada axioma debe tener un significado intuitivo inmediato que permita juzgar directamente su pertinencia. En una situación como la nuestra, este último requisito es particularmente vital, a pesar de su vaguedad: queremos que un concepto intuitivo sea susceptible de tratamiento matemático y ver con la mayor claridad posible qué hipótesis requiere esto.»  – VNM 1953 §  3.5.2, p. 25 ^{[ 1 ]}

Por lo tanto, las afirmaciones de que la hipótesis de la utilidad esperada no caracteriza la racionalidad deben rechazar uno de los axiomas del modelo VNM. Han surgido diversas teorías generalizadas de la utilidad esperada , la mayoría de las cuales omiten o flexibilizan el axioma de independencia.

Dado que el teorema no presupone nada sobre la naturaleza de los posibles resultados de las apuestas, estos podrían ser eventos moralmente significativos, por ejemplo, que involucren la vida, la muerte, la enfermedad o la salud de otros. Al construir o definir una función de utilidad adecuada, un agente racional de von Neumann-Morgenstern es capaz de tener en cuenta dichos resultados, sacrificando riqueza o bienestar personal en beneficio del colectivo. En otras palabras, tanto lo que se percibe naturalmente como "ganancia personal" como lo que se percibe naturalmente como "altruismo" pueden incluirse en la función de utilidad VNM de un individuo racional VNM. Por lo tanto, es posible toda la gama de comportamientos, desde los centrados en el agente hasta los neutrales, con diversas funciones de utilidad VNM.

Si la utilidad de${\displaystyle N}$es lo mismo que el de${\displaystyle pM}$, un agente racional de von Neumann-Morgenstern debe ser indiferente entre${\displaystyle 1N}$y${\displaystyle pM+(1-p)0}$Por lo tanto, un agente racional von Neumann-Morgenstern centrado en el agente no puede favorecer distribuciones de utilidad más equitativas o "justas" entre sus posibles yoes futuros.

Algunas teorías morales utilitaristas se ocupan de cantidades denominadas "utilidad total" y "utilidad media" de los colectivos, y caracterizan la moralidad en términos de favorecer la utilidad o la felicidad de los demás sin tener en cuenta la propia. Estas nociones pueden estar relacionadas con la utilidad VNM, pero son distintas de ella.

• 1) La utilidad VNM es una utilidad de decisión : ^{[ 2 ]} es aquello según lo cual uno decide y, por lo tanto, por definición, no puede ser algo que uno ignore.
• 2) La utilidad VNM no es canónicamente aditiva entre múltiples individuos (ver Limitaciones), por lo que la "utilidad VNM total" y la "utilidad VNM promedio" no tienen un significado inmediato (se requiere algún tipo de suposición de normalización).

El término E-utilidad para "utilidad de la experiencia" se ha acuñado ^{[ 2 ]} para referirse a los tipos de utilidad "hedonista" como el principio de mayor felicidad de Bentham . Dado que la moralidad afecta las decisiones, la moral de un agente racional VNM afectará la definición de su propia función de utilidad (véase más arriba). Por lo tanto, la moralidad de un agente racional VNM puede caracterizarse por la correlación de la utilidad VNM del agente con la utilidad VNM, la E-utilidad o la "felicidad" de los demás, entre otros medios, pero no por el desprecio de la propia utilidad VNM del agente, una contradicción en los términos.

Dado que si L y M son loterías, entonces pL  +  (1  − p ) M simplemente se "extiende" y se considera una lotería en sí misma, el formalismo VNM ignora lo que puede experimentarse como "juego anidado". Esto está relacionado con el problema de Ellsberg, donde las personas eligen evitar la percepción de riesgos sobre los riesgos . Von Neumann y Morgenstern reconocieron esta limitación: 

«...conceptos como la utilidad específica del juego no pueden formularse sin contradicciones a este nivel. Esto puede parecer una afirmación paradójica. Pero cualquiera que haya intentado seriamente axiomatizar ese concepto esquivo, probablemente estará de acuerdo con ella.»  – VNM 1953 §  3.7.1, p. 28. ^{[ 1 ]}

Dado que para cualesquiera dos agentes VNM X e Y , sus funciones de utilidad VNM u _X y u _Y solo están determinadas salvo constantes aditivas y escalares positivos multiplicativos, el teorema no proporciona una forma canónica de compararlas. Por lo tanto, expresiones como u _X ( L ) + u _Y ( L ) y u _X ( L )  − u _Y ( L ) no están definidas canónicamente, ni tampoco comparaciones como u _X ( L ) < u _Y ( L ) son canónicamente verdaderas o falsas. En particular, la mencionada "utilidad VNM total" y la "utilidad VNM promedio" de una población no tienen un significado canónico sin supuestos de normalización.   

Se ha demostrado que la hipótesis de la utilidad esperada tiene una precisión predictiva imperfecta en una serie de experimentos empíricos de laboratorio, como la paradoja de Allais .