Prisma compuesto

Un prisma compuesto es un conjunto de múltiples elementos prismáticos triangulares colocados en contacto y, a menudo, cementados entre sí para formar un conjunto sólido. ^{[ 1 ]} El uso de múltiples elementos ofrece varias ventajas a un diseñador óptico: ^{[ 2 ]}

• Se puede lograr la dispersión espectral sin causar la desviación del haz en la longitud de onda de diseño. Por lo tanto, la luz en la longitud de onda de diseño que entra en un ángulo${\displaystyle \theta _{0}}$Con respecto al eje óptico , sale del prisma con el mismo ángulo con respecto al mismo eje. Este tipo de efecto se suele denominar "dispersión de visión directa" o "dispersión no desviada". ^{[ 3 ]}
• Se puede lograr la desviación del haz incidente y, al mismo tiempo, reducir considerablemente la dispersión introducida en el haz: un prisma deflector acromático . Este efecto se utiliza en la dirección del haz . ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• Se puede ajustar la dispersión del prisma para lograr una mayor linealidad de la dispersión o para conseguir efectos de dispersión de orden superior.

El prisma compuesto más simple es un doblete, que consta de dos elementos en contacto, como se muestra en la figura de la derecha. Un rayo de luz que pasa a través del prisma se refracta en la primera interfaz aire-vidrio, de nuevo en la interfaz entre los dos vidrios y, por última vez, en la interfaz vidrio-aire de salida. El ángulo de desviación${\displaystyle \delta }$La magnitud del rayo viene dada por la diferencia en el ángulo del rayo entre el rayo incidente y el rayo saliente:${\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{4}}$. Si bien se puede producir dispersión de visión directa a partir de prismas dobletes, normalmente hay un desplazamiento significativo del haz (mostrado como una separación entre las dos líneas horizontales discontinuas en la dirección y ). Matemáticamente, se puede calcular${\displaystyle \delta }$mediante la concatenación de las ecuaciones de la ley de Snell en cada interfaz, ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}-\beta _{1}&\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta '_{3}&=\arcsin(n_{2}\,\sin \theta _{3})\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta _{4}&=\theta '_{3}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})\end{aligned}}}$

de modo que el ángulo de desviación sea una función no lineal de los índices de refracción del vidrio.${\ Displaystyle n_ {1} (\ lambda)}$y${\ Displaystyle n_ {2} (\ lambda)}$los ángulos de los vértices de los elementos del prisma${\displaystyle \alpha _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{2}}$y el ángulo de incidencia${\displaystyle \theta _{0}}$del rayo. Nótese que${\displaystyle \alpha _{i}}$indica que el prisma está invertido (el vértice apunta hacia abajo).

Si el ángulo de incidencia${\displaystyle \theta _{0}}$y ángulo del vértice del prisma${\displaystyle \alpha }$ambos son pequeños, entonces${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$y${\displaystyle {\text{arcsin}}(x)\approx x}$, de modo que la ecuación no lineal en el ángulo de desviación${\displaystyle \delta }$puede aproximarse mediante la forma lineal

${\displaystyle \delta (\lambda )={\big [}n_{1}(\lambda )-1{\big ]}\alpha _{1}+{\big [}n_{2}(\lambda )-1{\big ]}\alpha _{2}\ .}$

(Véase también desviación del prisma y dispersión ). Si además suponemos que la dependencia de la longitud de onda con respecto al índice de refracción es aproximadamente lineal, entonces la dispersión se puede escribir como

${\displaystyle \Delta ={\frac {\delta _{1}({\bar {\lambda }})}{V_{1}}}+{\frac {\delta _{2}({\bar {\lambda }})}{V_{2}}}\ ,}$

dónde${\displaystyle \delta _{i}}$y${\displaystyle V_{i}}$son la dispersión y el número de Abbe del elemento${\displaystyle i}$dentro del prisma compuesto,${\displaystyle V_{i}=({\bar {n}}-1)/(n_{F}-n_{C})}$. La longitud de onda central del espectro se denota${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$.

Los prismas dobletes se utilizan a menudo para la dispersión de la visión directa. Para diseñar un prisma de este tipo, dejamos...${\displaystyle {\bar {\delta }}=0}$y resolviendo simultáneamente ecuaciones${\displaystyle \delta }$y${\displaystyle \Delta }$da

${\displaystyle \delta _{1}({\bar {\lambda }})=-\delta _{2}({\bar {\lambda }})=-\Delta {\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ ,}$

a partir de los cuales se pueden obtener los ángulos del vértice del elemento${\displaystyle \alpha _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{2}}$a partir de los índices de refracción promedio de los vidrios elegidos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{1}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{1}}}-{\frac {1}{V_{2}}}{\Big )}^{-1}\ ,\\\alpha _{2}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{2}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ .\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que esta fórmula solo es precisa bajo la aproximación de ángulo pequeño.

Si bien el prisma doblete es el tipo de prisma compuesto más simple, el prisma doble Amici es mucho más común. Este prisma es un sistema de tres elementos (un triplete), en el que el primer y el tercer elemento comparten el mismo vidrio y los mismos ángulos de vértice. Por lo tanto, el diseño es simétrico con respecto al plano que pasa por el centro de su segundo elemento. Debido a su simetría, las ecuaciones de diseño lineal (bajo la aproximación de ángulo pequeño) para el prisma doble Amici difieren de las del prisma doblete solo por un factor de 2 delante del primer término en cada ecuación: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta ({\bar {\lambda }})&=2\delta _{1}({\bar {\lambda }})+\delta _{2}({\bar {\lambda }})=2{\big (}{\bar {n}}_{1}-1)\alpha _{1}+{\big (}{\bar {n}}_{2}-1)\alpha _{2}\ ,\\\Delta &=2{\frac {\delta _{1}({\bar {\lambda }})}{V_{1}}}+{\frac {\delta _{2}({\bar {\lambda }})}{V_{2}}}\ .\end{aligned}}}$

Así, podemos derivar las expresiones para los ángulos del prisma usando estas ecuaciones lineales, obteniendo

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\Delta }{2({\bar {n}}_{1}-1)}}{\Big (}{\frac {1}{V_{1}}}-{\frac {1}{V_{2}}}{\Big )}^{-1}\ ,\\\alpha _{2}&={\frac {\Delta }{{\bar {n}}_{2}-1}}{\Big (}{\frac {1}{V_{2}}}-{\frac {1}{V_{1}}}{\Big )}^{-1}\ .\end{aligned}}}$

La ecuación no lineal exacta para el ángulo de desviación${\displaystyle \delta }$se obtiene concatenando las ecuaciones de refracción obtenidas en cada interfaz:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}+\alpha _{1}-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}&\theta '_{3}&=\arcsin({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\,\sin \theta _{3})\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta _{4}&=\theta '_{3}-\alpha _{1}\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta '_{4}&=\arcsin(n_{1}\,\sin \theta _{4})\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})&\theta _{5}&=\theta '_{4}+\alpha _{1}-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\end{aligned}}}$

El ángulo de desviación del rayo viene dado por${\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{5}}$.

El prisma doble-Amici es una forma simétrica del prisma triplete más general, en el que los ángulos de los vértices y los vidrios de los dos elementos exteriores pueden diferir (véase la figura de la derecha). Aunque los prismas tripletes rara vez se encuentran en sistemas ópticos, sus grados de libertad adicionales con respecto al diseño doble-Amici permiten una mejor linealidad de la dispersión. El ángulo de desviación del prisma triplete se obtiene concatenando las ecuaciones de refracción en cada interfaz: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&=\theta _{0}+\alpha _{1}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}&\theta '_{3}&=\arcsin({\tfrac {n_{2}}{n_{3}}}\,\sin \theta _{3})\\\theta '_{1}&=\arcsin({\tfrac {1}{n_{1}}}\,\sin \theta _{1})\quad &\theta _{4}&=\theta '_{3}-\alpha _{3}\\\theta _{2}&=\theta '_{1}-\alpha _{1}&\theta '_{4}&=\arcsin(n_{3}\,\sin \theta _{4})\\\theta '_{2}&=\arcsin({\tfrac {n_{1}}{n_{2}}}\,\sin \theta _{2})&\theta _{5}&=\theta '_{4}+\alpha _{3}+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{2}\\\theta _{3}&=\theta '_{2}-\alpha _{2}\end{aligned}}}$

Aquí, el ángulo de desviación del rayo viene dado por${\displaystyle \delta =\theta _{0}-\theta _{5}}$.

• Prisma dispersivo