Función cóncava

En matemáticas , una función cóncava es aquella cuyo valor en cualquier combinación convexa de elementos del dominio es mayor o igual que el de dicha combinación. De forma equivalente, una función cóncava es cualquier función cuyo hipógrafo es convexo. La clase de funciones cóncavas es , en cierto sentido , la opuesta a la clase de funciones convexas . También se la conoce como función cóncava hacia abajo , convexa hacia arriba o convexa superior .

Definición

Una función de valor real $f$ en un intervalo (o, más generalmente, un conjunto convexo en el espacio vectorial ) se dice que es cóncavo si, para cualquier $x$ y $y$ en el intervalo y para cualquier $\alpha \in [0,1]$ , ^{[ 1 ]}

f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)

Una función se denomina estrictamente cóncava si

f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)

para cualquier $\alpha \in (0,1)$ y $x\neq y$ .

Para una función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , esta segunda definición simplemente establece que para cada $z$ estrictamente entre $x$ y $y$ , el punto $(z,f(z))$ en el gráfico de $f$ está por encima de la línea recta que une los puntos $(x,f(x))$ y $(y,f(y))$ .

Una función $f$ es cuasicóncava si el contorno superior establece la función $S(a)=\{x:f(x)\geq a\}$ son conjuntos convexos. ^{[ 2 ]}

Propiedades

Funciones de una sola variable

Una función diferenciable $f$ es (estrictamente) cóncava en un intervalo si y solo si su función derivada $f'$ es (estrictamente) monótonamente decreciente en ese intervalo, es decir, una función cóncava tiene una pendiente no creciente (decreciente) . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
Los puntos donde cambia la concavidad (entre cóncava y convexa ) son puntos de inflexión . ^{[ 5 ]}
Si $f$ es dos veces diferenciable , entonces $f$ es cóncava si y solo si $f''$ es no positivo (o, informalmente, si la " aceleración " es no positiva). Si $f''$ es negativo , entonces $f$ es estrictamente cóncava, pero lo contrario no es cierto, como lo demuestra $f (x) = - x 4$ .
Si $f$ es cóncava y diferenciable, entonces está acotada superiormente por su aproximación de Taylor de primer orden : ^{[ 2 ]} $f(y)\leq f(x)+f'(x)[yx]$
Una función medible de Lebesgue en un intervalo $C$ es cóncava si y solo si es cóncava en el punto medio, es decir, para cualesquiera $x$ e $y$ en $C.$ $f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$
Si una función f es cóncava y f (0) ≥ 0 , entonces f es subaditiva en $[0,\infty )$ $[0,\infty )$ . Prueba:
- Dado que $f$ es cóncava y $1 \geq t \geq 0$ , haciendo $y = 0$ tenemos $f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).$
- Para $a,b\in [0,\infty )$ : $f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$

Funciones de n variables

Una función $f$ es cóncava sobre un conjunto convexo si y solo si la función $-f$ es una función convexa sobre el conjunto.
La suma de dos funciones cóncavas es también cóncava, y lo mismo ocurre con el mínimo puntual de dos funciones cóncavas; es decir, el conjunto de funciones cóncavas en un dominio dado forma un semicampo .
Cerca de un máximo local estricto en el interior del dominio de una función, la función debe ser cóncava; como recíproco parcial, si la derivada de una función estrictamente cóncava es cero en algún punto, entonces ese punto es un máximo local.
Cualquier máximo local de una función cóncava es también un máximo global . Una función estrictamente cóncava tendrá como máximo un máximo global.

Ejemplos

Las funciones $f(x)=-x^{2}$ y $g(x)={\sqrt {x}}$ son cóncavas en sus dominios, al igual que sus segundas derivadas. $f''(x)=-2$ y ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ siempre son negativos.
La función logaritmo $f(x)=\log {x}$ es cóncavo en su dominio $(0,\infty )$ , como su derivado ${\frac {1}{x}}$ es una función estrictamente decreciente.
Cualquier función afín $f(x)=ax+b$ es cóncava y convexa a la vez, pero no estrictamente cóncava ni estrictamente convexa.
La función seno es cóncava en el intervalo $[0,\pi ]$ .
La función $f(B)=\log |B|$ , dónde $|B|$ es el determinante de una matriz semidefinida positiva B , es cóncavo. ^{[ 6 ]}

Aplicaciones

La desviación de los rayos en el cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera implica funciones cóncavas.
En la teoría de la utilidad esperada para la elección en condiciones de incertidumbre , las funciones de utilidad cardinales de los tomadores de decisiones reacios al riesgo son cóncavas.
En la teoría microeconómica , se suele suponer que las funciones de producción son cóncavas en algunos o en todos sus dominios, lo que da lugar a rendimientos decrecientes de los factores de producción. ^{[ 7 ]}
En termodinámica y teoría de la información , la entropía es una función cóncava. En el caso de la entropía termodinámica, sin transición de fase, la entropía como función de variables extensivas es estrictamente cóncava. Si el sistema puede experimentar una transición de fase y se le permite dividirse en dos subsistemas de fase diferente ( separación de fases , por ejemplo, ebullición), los parámetros de máxima entropía de los subsistemas darán como resultado una entropía combinada precisamente sobre la línea recta entre las dos fases. Esto significa que la "entropía efectiva" de un sistema con transición de fase es la envolvente convexa de la entropía sin separación de fases; por lo tanto, la entropía de un sistema que incluye separación de fases no será estrictamente cóncava. ^{[ 8 ]}

Véase también

Referencias

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1 2 Varian, Hal R. (1992). Análisis microeconómico (3.ª ed.). Nueva York: Norton. pág. 489. ISBN 0-393-95735-7OCLC 24847759
↑ Rudin, Walter (1976). Análisis . pág. 101.
↑ Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM; Hays, DF (1976-07-01). "Tabla de integrales, series y productos" . Journal of Lubrication Technology . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN 0022-2305 .
↑ Hass, Joel (13 de marzo de 2017). Cálculo de Thomas . Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D., Thomas, George B. Jr. (George Brinton), 1914-2006. (Decimocuarta ed.). [Estados Unidos]. pág. 203. ISBN 978-0-13-443898-6OCLC 965446428 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
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↑ Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Matemáticas para economistas: Un libro de texto introductorio . Oxford University Press. pp. 363–364 . ISBN 978-1-78499-148-7.
↑ Callen, Herbert B. (1985). «8.1: Estabilidad intrínseca de los sistemas termodinámicos». Termodinámica e introducción a la termoestadística (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 203–206 . ISBN 978-0-471-86256-7.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )

Referencias adicionales

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[1] Lenhart, S.; Workman, JT (2007). Control óptimo aplicado a modelos biológicos . Serie de biología matemática y computacional. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.

[:0-2] 1 2 Varian, Hal R. (1992). Análisis microeconómico (3.ª ed.). Nueva York: Norton. pág. 489. ISBN 0-393-95735-7OCLC 24847759

[3] Rudin, Walter (1976). Análisis . pág. 101.

[4] Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM; Hays, DF (1976-07-01). "Tabla de integrales, series y productos" . Journal of Lubrication Technology . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN 0022-2305 .

[5] Hass, Joel (13 de marzo de 2017). Cálculo de Thomas . Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D., Thomas, George B. Jr. (George Brinton), 1914-2006. (Decimocuarta ed.). [Estados Unidos]. pág. 203. ISBN 978-0-13-443898-6OCLC 965446428 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[Cover_1988-6] Cover, Thomas M. ; Thomas, JA (1988). "Desigualdades determinantes mediante la teoría de la información". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 9 (3): 384– 392. doi : 10.1137/0609033 . S2CID 5491763 .

[7] Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Matemáticas para economistas: Un libro de texto introductorio . Oxford University Press. pp. 363–364 . ISBN 978-1-78499-148-7.

[8] Callen, Herbert B. (1985). «8.1: Estabilidad intrínseca de los sistemas termodinámicos». Termodinámica e introducción a la termoestadística (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 203–206 . ISBN 978-0-471-86256-7.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace )

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