Función convexa

En matemáticas , una función de valor real se denomina convexa si el segmento de recta que une dos puntos distintos cualesquiera de su gráfica se encuentra por encima o sobre la gráfica entre dichos puntos. De forma equivalente, una función es convexa si su epígrafe (el conjunto de puntos sobre o por encima de su gráfica) es un conjunto convexo . En términos sencillos, la gráfica de una función convexa tiene forma de copa.${\displaystyle \cup }$(o una línea recta como una función lineal), mientras que la gráfica de una función cóncava tiene forma de tapa.${\displaystyle \cap }$.

Una función dos veces diferenciable de una sola variable es convexa si y solo si su segunda derivada es no negativa en todo su dominio . ^{[ 1 ]} Ejemplos bien conocidos de funciones convexas de una sola variable incluyen una función lineal.${\displaystyle f(x)=cx}$(dónde${\displaystyle c}$es un número real ), una función cuadrática${\displaystyle cx^{2}}$(${\displaystyle c}$como un número real no negativo) y una función exponencial${\displaystyle ce^{x}}$(${\displaystyle c}$como un número real no negativo).

Las funciones convexas desempeñan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas. Son especialmente importantes en el estudio de problemas de optimización , donde se distinguen por una serie de propiedades convenientes. Por ejemplo, una función estrictamente convexa en un conjunto abierto no tiene más de un mínimo . Incluso en espacios de dimensión infinita, bajo hipótesis adicionales adecuadas, las funciones convexas siguen satisfaciendo dichas propiedades y, como resultado, son los funcionales mejor comprendidos en el cálculo de variaciones . En teoría de la probabilidad , una función convexa aplicada al valor esperado de una variable aleatoria siempre está acotada superiormente por el valor esperado de la función convexa de la variable aleatoria. Este resultado, conocido como desigualdad de Jensen , puede utilizarse para deducir desigualdades como la desigualdad de la media aritmético - geométrica y la desigualdad de Hölder .

Dejar${\displaystyle X}$Sea un subconjunto convexo de un espacio vectorial real y sea${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ser una función.

Entonces${\displaystyle f}$Se dice que una figura es convexa si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. A pesar de${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$y todo${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$: $${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$ El lado derecho representa la línea recta entre${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$y${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$en el gráfico de${\displaystyle f}$como función de${\displaystyle t;}$creciente${\displaystyle t}$de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle 1}$o decreciente${\displaystyle t}$de${\displaystyle 1}$a${\displaystyle 0}$barre esta línea. De manera similar, el argumento de la función${\displaystyle f}$en el lado izquierdo representa la línea recta entre${\displaystyle x_{1}}$y${\displaystyle x_{2}}$en${\displaystyle X}$o el${\displaystyle x}$eje del gráfico de${\displaystyle f.}$Por lo tanto, esta condición requiere que la línea recta entre cualquier par de puntos en la curva de${\displaystyle f}$estar por encima o justo al mismo nivel que la gráfica. ^{[ 2 ]}
2. A pesar de${\displaystyle 0<t<1}$y todo${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$de tal manera que${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$: $${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$ La diferencia de esta segunda condición con respecto a la primera condición anterior es que esta condición no incluye los puntos de intersección (por ejemplo,${\displaystyle \left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)}$y${\displaystyle \left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)}$) entre la línea recta que pasa por un par de puntos en la curva de${\displaystyle f}$(la línea recta está representada por el lado derecho de esta condición) y la curva de${\displaystyle f;}$La primera condición incluye los puntos de intersección a medida que se convierte en${\displaystyle f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)}$o${\displaystyle f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)}$en${\displaystyle t=0}$o${\displaystyle 1,}$o${\displaystyle x_{1}=x_{2}.}$De hecho, los puntos de intersección no necesitan ser considerados en una condición de convexidad usando$${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$porque${\displaystyle f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)}$y${\displaystyle f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)}$son siempre verdaderas (por lo que no es útil que formen parte de una condición).

La segunda afirmación caracteriza las funciones convexas cuyos valores se encuentran en la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$También es la afirmación que se utiliza para definir funciones convexas cuyos valores se encuentran en la recta real extendida.${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$donde tal función${\displaystyle f}$está permitido tomar${\displaystyle \pm \infty }$como un valor. La primera instrucción no se utiliza porque permite${\displaystyle t}$tomar${\displaystyle 0}$o${\displaystyle 1}$como valor, en cuyo caso, si${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=\pm \infty }$o${\displaystyle f\left(x_{2}\right)=\pm \infty ,}$respectivamente, entonces${\displaystyle tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$sería indefinido (porque las multiplicaciones${\displaystyle 0\cdot \infty }$y${\displaystyle 0\cdot (-\infty )}$son indefinidos). La suma${\displaystyle -\infty +\infty }$también es indefinido, por lo que una función convexa extendida de valor real normalmente solo puede tomar exactamente uno de los valores.${\displaystyle -\infty }$y${\displaystyle +\infty }$como valor.

La segunda afirmación también puede modificarse para obtener la definición de convexidad estricta , donde esta última se obtiene reemplazando${\displaystyle \,\leq \,}$con la estricta desigualdad${\displaystyle \,<.}$ Explícitamente, el mapa${\displaystyle f}$Se denomina estrictamente convexa si y solo si para todo real${\displaystyle 0<t<1}$y todo${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$de tal manera que${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$: $${\displaystyle f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$

Una función estrictamente convexa${\displaystyle f}$es una función tal que la línea recta entre cualquier par de puntos en la curva${\displaystyle f}$está por encima de la curva${\displaystyle f}$excepto en los puntos de intersección entre la línea recta y la curva. Un ejemplo de una función que es convexa pero no estrictamente convexa es${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y}$Esta función no es estrictamente convexa porque dos puntos cualesquiera que compartan una coordenada x tendrán una línea recta entre ellos, mientras que dos puntos cualesquiera que NO compartan una coordenada x tendrán un valor mayor de la función que los puntos intermedios.

La función${\displaystyle f}$Se dice que es cóncava (o estrictamente cóncava ) si${\displaystyle -f}$(${\displaystyle f}$multiplicado por −1) es convexo (resp. estrictamente convexo).

El término convexo se suele denominar convexo hacia abajo o cóncavo hacia arriba , y el término cóncavo se suele denominar cóncavo hacia abajo o convexo hacia arriba . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Si el término "convexo" se utiliza sin la palabra clave "arriba" o "abajo", entonces se refiere estrictamente a un gráfico con forma de copa.${\displaystyle \cup }$. Como ejemplo, la desigualdad de Jensen se refiere a una desigualdad que involucra una función convexa o convexa-(hacia abajo). ^{[ 6 ]}

Muchas propiedades de las funciones convexas tienen la misma formulación sencilla tanto para funciones de varias variables como para funciones de una sola variable. A continuación se muestran las propiedades para el caso de varias variables, ya que algunas no aparecen en la lista para funciones de una sola variable.

• ${\displaystyle -f}$es cóncava si y solo si${\displaystyle f}$es convexo.
• Si${\displaystyle r}$es cualquier número real entonces${\displaystyle r+f}$es convexa si y solo si${\displaystyle f}$es convexo.
• Sumas ponderadas no negativas:
  • si${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}\geq 0}$y${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$son todos convexos, entonces también lo es${\displaystyle w_{1}f_{1}+\cdots +w_{n}f_{n}.}$En particular, la suma de dos funciones convexas es convexa.
  • Esta propiedad se extiende también a sumas infinitas, integrales y valores esperados (siempre que existan).
• Máximo elemento a elemento: sea${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$Sea una colección de funciones convexas. Entonces${\displaystyle g(x)=\sup \nolimits _{i\in I}f_{i}(x)}$es convexo. El dominio de${\displaystyle g(x)}$es el conjunto de puntos donde la expresión es finita. Casos especiales importantes:
  • Si${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$son funciones convexas entonces también lo es${\displaystyle g(x)=\max \left\{f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)\right\}.}$
  • Teorema de Danskin : Si${\displaystyle f(x,y)}$es convexo en${\displaystyle x}$entonces${\displaystyle g(x)=\sup \nolimits _{y\in C}f(x,y)}$es convexo en${\displaystyle x}$incluso si${\displaystyle C}$no es un conjunto convexo.
• Composición:
  • Si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son funciones convexas y${\displaystyle g}$es no decreciente en un dominio univariado, entonces${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$es convexa. Por ejemplo, si${\displaystyle f}$es convexo, entonces también lo es${\displaystyle e^{f(x)}}$porque${\displaystyle e^{x}}$es convexa y monótonamente creciente.
  • Si${\displaystyle f}$es cóncavo y${\displaystyle g}$es convexa y no creciente sobre un dominio univariado, entonces${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$es convexo.
  • La convexidad es invariante bajo aplicaciones afines: es decir, si${\displaystyle f}$es convexo con dominio${\displaystyle D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}}$, entonces también lo es${\displaystyle g(x)=f(Ax+b)}$, dónde${\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}}$con dominio${\displaystyle D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}.}$
• Minimización: Si${\displaystyle f(x,y)}$es convexo en${\displaystyle (x,y)}$entonces${\displaystyle g(x)=\inf \nolimits _{y\in C}f(x,y)}$es convexo en${\displaystyle x,}$siempre que${\displaystyle C}$es un conjunto convexo y que${\displaystyle g(x)\neq -\infty .}$
• Si${\displaystyle f}$es convexo, entonces su perspectiva${\displaystyle g(x,t)=tf\left({\tfrac {x}{t}}\right)}$con dominio${\displaystyle \left\{(x,t):{\tfrac {x}{t}}\in \operatorname {Dom} (f),t>0\right\}}$es convexo.
• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio vectorial.${\displaystyle f:X\to \mathbf {R} }$es convexa y satisface${\displaystyle f(0)\leq 0}$si y solo si${\displaystyle f(ax+by)\leq af(x)+bf(y)}$para cualquier${\displaystyle x,y\in X}$y cualquier número real no negativo${\displaystyle a,b}$que satisfacen${\displaystyle a+b\leq 1.}$

El concepto de convexidad fuerte extiende y parametriza la noción de convexidad estricta. Intuitivamente, una función fuertemente convexa es una función que crece tan rápido como una función cuadrática. ^{[ 11 ]} Una función fuertemente convexa también es estrictamente convexa, pero no al revés. Si una función unidimensional${\displaystyle f}$Si es dos veces continuamente diferenciable y su dominio es la recta real, podemos caracterizarla de la siguiente manera:

• ${\displaystyle f}$convexa si y solo si${\displaystyle f''(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x.}$
• ${\displaystyle f}$estrictamente convexo si${\displaystyle f''(x)>0}$a pesar de${\displaystyle x}$(nota: esto es suficiente, pero no necesario).
• ${\displaystyle f}$fuertemente convexo si y solo si${\displaystyle f''(x)\geq m>0}$a pesar de${\displaystyle x.}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f}$sea ​​estrictamente convexa, y supongamos que hay una sucesión de puntos${\displaystyle (x_{n})}$de tal manera que${\displaystyle f''(x_{n})={\tfrac {1}{n}}}$. A pesar de${\displaystyle f''(x_{n})>0}$, la función no es fuertemente convexa porque${\displaystyle f''(x)}$se volverá arbitrariamente pequeño.

De forma más general, una función diferenciable${\displaystyle f}$se denomina fuertemente convexa con parámetro${\displaystyle m>0}$Si la siguiente desigualdad se cumple para todos los puntos${\displaystyle x,y}$en su dominio: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle (\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}}$$ o, más generalmente, $${\displaystyle \langle \nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle \geq m\|x-y\|^{2}}$$ dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es cualquier producto interno , y${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma correspondiente . Algunos autores, como ^{[ 13 ],} se refieren a las funciones que satisfacen esta desigualdad como funciones elípticas .

Una condición equivalente es la siguiente: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {m}{2}}\|y-x\|_{2}^{2}}$$

No es necesario que una función sea diferenciable para ser fuertemente convexa. Una tercera definición ^{[ 14 ]} para una función fuertemente convexa, con parámetro${\displaystyle m,}$es que, para todos${\displaystyle x,y}$en el dominio y${\displaystyle t\in [0,1],}$$${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {1}{2}}mt(1-t)\|x-y\|_{2}^{2}}$$

Nótese que esta definición se aproxima a la definición de convexidad estricta como${\displaystyle m\to 0,}$y es idéntica a la definición de una función convexa cuando${\displaystyle m=0.}$A pesar de esto, existen funciones que son estrictamente convexas pero no son fuertemente convexas para ningún caso.${\displaystyle m>0}$(Ver ejemplo a continuación).

Si la función${\displaystyle f}$Si es dos veces continuamente diferenciable, entonces es fuertemente convexa con parámetro${\displaystyle m}$si y solo si${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)\succeq mI}$a pesar de${\displaystyle x}$en el dominio, donde${\displaystyle I}$es la identidad y${\displaystyle \nabla ^{2}f}$es la matriz hessiana y la desigualdad${\displaystyle \succeq }$significa que${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)-mI}$es semidefinida positiva . Esto es equivalente a exigir que el valor propio mínimo de${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$ser al menos${\displaystyle m}$a pesar de${\displaystyle x.}$Si el dominio es simplemente la línea real, entonces${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$es simplemente la segunda derivada${\displaystyle f''(x),}$por lo que la condición se convierte en${\displaystyle f''(x)\geq m}$. Si${\displaystyle m=0}$entonces esto significa que el hessiano es semidefinido positivo (o si el dominio es la recta real, significa que${\displaystyle f''(x)\geq 0}$), lo que implica que la función es convexa, y tal vez estrictamente convexa, pero no fuertemente convexa.

Suponiendo aún que la función es dos veces continuamente diferenciable, se puede demostrar que la cota inferior de${\displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$implica que es fuertemente convexa. Usando el teorema de Taylor existe $${\displaystyle z\in \{tx+(1-t)y:t\in [0,1]\}}$$ de tal manera que $${\displaystyle f(y)=f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {1}{2}}(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)}$$ Entonces $${\displaystyle (y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)\geq m(y-x)^{T}(y-x)}$$ mediante la suposición sobre los valores propios, y por lo tanto recuperamos la segunda ecuación de convexidad fuerte anterior.

Una función${\displaystyle f}$es fuertemente convexa con parámetro m si y solo si la función $${\displaystyle x\mapsto f(x)-{\frac {m}{2}}\|x\|^{2}}$$ es convexo.

Una función dos veces continuamente diferenciable${\displaystyle f}$en un dominio compacto${\displaystyle X}$que satisface${\displaystyle f''(x)>0}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$es fuertemente convexa. La demostración de esta afirmación se deduce del teorema del valor extremo , que establece que una función continua en un conjunto compacto tiene un máximo y un mínimo.

En general, las funciones fuertemente convexas son más fáciles de manejar que las funciones convexas o estrictamente convexas, ya que constituyen una clase más pequeña. Al igual que las funciones estrictamente convexas, las funciones fuertemente convexas tienen mínimos únicos en conjuntos compactos.

Una función uniformemente convexa, ^{[ 16 ] [ 17 ]} con módulo${\displaystyle \phi }$, es una función${\displaystyle f}$eso, para todos${\displaystyle x,y}$en el dominio y${\displaystyle t\in [0,1],}$Satisface $${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-t(1-t)\phi (\|x-y\|)}$$ dónde${\displaystyle \phi }$es una función no negativa que se anula solo en  0. Esta es una generalización del concepto de función fuertemente convexa; al tomar${\displaystyle \phi (\alpha )={\tfrac {m}{2}}\alpha ^{2}}$Recuperamos la definición de convexidad fuerte.

Cabe destacar que algunos autores requieren el módulo${\displaystyle \phi }$ser una función creciente, ^{[ 17 ]} pero esta condición no es requerida por todos los autores. ^{[ 16 ]}

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