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Análisis formal de conceptos

En ciencias de la información , el análisis formal de conceptos ( AFC ) es un método sistemático para derivar una jerarquía de conceptos u ontología formal a partir de un conjun...

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En ciencias de la información , el análisis formal de conceptos ( AFC ) es un método sistemático para derivar una jerarquía de conceptos u ontología formal a partir de un conjunto de objetos y sus propiedades . Cada concepto en la jerarquía representa los objetos que comparten un conjunto de propiedades; y cada subconcepto representa un subconjunto de los objetos (así como un superconjunto de las propiedades) de los conceptos superiores. El término fue introducido por Rudolf Wille en 1981 y se basa en la teoría matemática de retículos y conjuntos ordenados desarrollada por Garrett Birkhoff y otros en la década de 1930.

El análisis formal de conceptos encuentra aplicación práctica en campos como la minería de datos , la minería de textos , el aprendizaje automático , la gestión del conocimiento , la web semántica , el desarrollo de software , la química y la biología .

Resumen e historia

La motivación original del análisis de conceptos formales fue la búsqueda del significado en el mundo real de la teoría del orden matemático . Una posibilidad de naturaleza muy general es que las tablas de datos se pueden transformar en estructuras algebraicas llamadas retículos completos , y que estas se pueden utilizar para la visualización e interpretación de datos. Una tabla de datos que representa una relación heterogénea entre objetos y atributos, tabulando pares de la forma "el objeto g tiene el atributo m ", se considera un tipo de dato básico. Se denomina contexto formal . En esta teoría, un concepto formal se define como un par ( A , B ), donde A es un conjunto de objetos (llamado extensión ) y B es un conjunto de atributos (la intención ) tal que

  • La extensión A consiste en todos los objetos que comparten los atributos en B y, dualmente ,
  • La intención B consiste en todos los atributos compartidos por los objetos en A.

De esta forma, el análisis formal de conceptos formaliza las nociones semánticas de extensión e intensión .

Los conceptos formales de cualquier contexto formal pueden —como se explica más adelante— ordenarse en una jerarquía denominada, de forma más formal, «retícula conceptual» del contexto. Esta retícula puede visualizarse gráficamente como un diagrama lineal, lo que puede resultar útil para comprender los datos. Sin embargo, a menudo estas retículas son demasiado extensas para su visualización. En tales casos, la teoría matemática del análisis formal de conceptos puede ser útil, por ejemplo, para descomponer la retícula en partes más pequeñas sin pérdida de información, o para integrarla en otra estructura más fácil de interpretar.

La teoría, en su forma actual, se remonta a principios de la década de 1980 y a un grupo de investigación liderado por Rudolf Wille , Bernhard Ganter y Peter Burmeister en la Universidad Técnica de Darmstadt . Sin embargo, sus definiciones matemáticas básicas ya fueron introducidas en la década de 1930 por Garrett Birkhoff como parte de la teoría general de retículos. Otros enfoques previos sobre la misma idea surgieron de diversos grupos de investigación franceses, pero el grupo de Darmstadt estandarizó el campo y desarrolló sistemáticamente tanto su teoría matemática como sus fundamentos filosóficos. Estos últimos se refieren en particular a Charles S. Peirce , pero también a la lógica de Port-Royal .

Motivación y trasfondo filosófico

En su artículo "Reestructurando la teoría de retículos" (1982), [ 1 ] que inicia el análisis formal de conceptos como una disciplina matemática, Wille parte de un descontento con la teoría de retículos actual y las matemáticas puras en general: la producción de resultados teóricos, a menudo logrados mediante "elaboradas acrobacias mentales", eran impresionantes, pero las conexiones entre dominios vecinos, incluso partes de una teoría, se estaban debilitando.

La reestructuración de la teoría de retículos es un intento de revitalizar las conexiones con nuestra cultura general mediante la interpretación de la teoría de la manera más concreta posible, y de esta forma promover una mejor comunicación entre los teóricos de retículos y los potenciales usuarios de la teoría de retículos.

— Rudolf Wille, [ 1 ]

Este objetivo se remonta al pedagogo Hartmut von Hentig, quien en 1972 abogó por la reestructuración de las ciencias con miras a una mejor enseñanza y para que las ciencias fueran accesibles para todos y, en general (es decir, incluso sin conocimientos especializados), criticables. [ 2 ] Por lo tanto, desde sus orígenes, el análisis formal de conceptos apunta a la interdisciplinariedad y al control democrático de la investigación. [ 3 ]

Corrige el punto de partida de la teoría de retículos durante el desarrollo de la lógica formal en el siglo XIX. En aquel entonces —y posteriormente en la teoría de modelos— un concepto como predicado unario se había reducido a su alcance. Ahora, nuevamente, la filosofía de los conceptos debe volverse menos abstracta al considerar la intención. Por lo tanto, el análisis formal de conceptos se orienta hacia la extensión de categorías y la intensión de la lingüística y la lógica conceptual clásica. [ 4 ]

El análisis formal de conceptos busca la claridad de los conceptos según la máxima pragmática de Charles S. Peirce , al revelar propiedades elementales y observables de los objetos subsumidos . [ 3 ] En su filosofía tardía, Peirce asumió que el pensamiento lógico busca percibir la realidad mediante la tríada concepto, juicio y conclusión . Las matemáticas son una abstracción de la lógica, desarrollan patrones de realidades posibles y, por lo tanto, pueden sustentar la comunicación racional . Sobre este trasfondo, Wille define:

El objetivo y el significado del Análisis Formal de Conceptos, como teoría matemática de los conceptos y las jerarquías conceptuales, es apoyar la comunicación racional de los seres humanos mediante el desarrollo matemático de estructuras conceptuales apropiadas que puedan activarse lógicamente.

— Rudolf Wille, [ 5 ]

Ejemplo

Diagrama de líneas correspondiente al contexto formal de cuerpos de agua que se muestra en la tabla de ejemplo.

Los datos del ejemplo se han tomado de un estudio de campo semántico, donde diferentes tipos de cuerpos de agua se clasificaron sistemáticamente según sus atributos. [ 6 ] Para los fines de este estudio, se han simplificado.

La tabla de datos representa un contexto formal ; el diagrama lineal que aparece junto a ella muestra su entramado conceptual . A continuación se presentan las definiciones formales.

El diagrama lineal anterior consta de círculos, segmentos de línea que los conectan y etiquetas. Los círculos representan conceptos formales . Las líneas permiten visualizar la jerarquía entre subconceptos y superconceptos. Cada nombre de objeto y atributo se utiliza como etiqueta una sola vez en el diagrama, con los objetos debajo de los círculos conceptuales y los atributos encima. Esto se realiza de manera que se pueda acceder a un atributo desde un objeto mediante una ruta ascendente solo si el objeto posee dicho atributo.

En el diagrama mostrado, por ejemplo, el depósito de objetos tiene los atributos estancado y constante , pero no los atributos temporal, corriente, natural y marítimo . En consecuencia, el charco tiene exactamente las características temporal, estancado y natural .

El contexto formal original se puede reconstruir a partir del diagrama etiquetado, así como de los conceptos formales. La extensión de un concepto consiste en aquellos objetos desde los cuales un camino ascendente conduce al círculo que representa el concepto. La intención consiste en aquellos atributos a los que hay un camino ascendente desde ese círculo conceptual (en el diagrama). En este diagrama, el concepto inmediatamente a la izquierda de la etiqueta depósito tiene la intención estancado y natural y la extensión charco, maar, lago, estanque, laguna, charca, laguna y mar .

Contextos y conceptos formales

Un contexto formal es una tripleta K = ( G , M , I ) , donde G es un conjunto de objetos , M es un conjunto de atributos e I ⊆ G × M es una relación binaria llamada incidencia que expresa qué objetos tienen qué atributos. [ 4 ] Para subconjuntos A ⊆ G de objetos y subconjuntos B ⊆ M de atributos, se definen dos operadores de derivación como sigue:

A ′ = { m ∈ M | ∀ g ∈ A . ( g,m ) ∈ I } , es decir, un conjunto de todos los atributos compartidos por todos los objetos de A, y dualmente
B ′ = { g ∈ G | ∀ m ∈ B . ( g,m ) ∈ I } , es decir, un conjunto de todos los objetos que comparten todos los atributos de B.

Aplicar uno de los operadores de derivación y luego el otro constituye dos operadores de cierre :

A ↦ A ′ ′ = ( A ′ ) ′ para A ⊆ G (cierre de extensión), y
B ↦ B ′ ′ = ( B ′ ) ′ para B ⊆ M (cierre de intención).

Los operadores de derivación definen una conexión de Galois entre conjuntos de objetos y de atributos. Por eso, en francés, a un retículo conceptual se le llama a veces treillis de Galois (retículo de Galois).

Con estos operadores de derivación, Wille dio una definición elegante de un concepto formal: un par ( A , B ) es un concepto formal de un contexto ( G , M , I ) siempre que:

A ⊆ G , B ⊆ M , A ′ = B , y B ′ = A .

De forma equivalente y más intuitiva, ( A , B ) es un concepto formal precisamente cuando:

  • cada objeto en A tiene cada atributo en B ,
  • Para cada objeto en G que no está en A , hay algún atributo en B que el objeto no tiene,
  • Por cada atributo en M que no está en B , hay algún objeto en A que no tiene ese atributo.

Para fines computacionales, un contexto formal puede representarse naturalmente como una matriz (0,1) K en la que las filas corresponden a los objetos, las columnas a los atributos, y cada entrada k i , j es igual a 1 si "el objeto i tiene el atributo j ". En esta representación matricial, cada concepto formal corresponde a una submatriz máxima (no necesariamente contigua) cuyos elementos son todos iguales a 1. Sin embargo, es engañoso considerar un contexto formal como booleano , porque la incidencia negativa ("el objeto g no tiene el atributo m ") no forma conceptos de la misma manera que se definió anteriormente. Por esta razón, los valores 1 y 0 o VERDADERO y FALSO generalmente se evitan al representar contextos formales, y se usa un símbolo como × para expresar incidencia.

Retículo conceptual de un contexto formal

Los conceptos ( A i , B i ) de un contexto K pueden ordenarse (parcialmente) mediante la inclusión de extensiones o, equivalentemente, mediante la inclusión dual de intenciones. Un orden ≤ en los conceptos se define de la siguiente manera: para cualesquiera dos conceptos ( A 1 , B 1 ) y ( A 2 , B 2 ) de K , decimos que ( A 1 , B 1 ) ≤ ( A 2 , B 2 ) precisamente cuando A 1 ⊆ A 2 . Equivalentemente, ( A 1 , B 1 ) ≤ ( A 2 , B 2 ) siempre que B 1 ⊇ B 2 .

En este orden, cada conjunto de conceptos formales tiene un subconcepto común máximo , o punto de encuentro. Su extensión consiste en aquellos objetos que son comunes a todas las extensiones del conjunto. De manera similar , cada conjunto de conceptos formales tiene un superconcepto común mínimo , cuya intención comprende todos los atributos que poseen todos los objetos de ese conjunto de conceptos.

Estas operaciones de encuentro y unión satisfacen los axiomas que definen un retículo , de hecho, un retículo completo . A la inversa, se puede demostrar que todo retículo completo es el retículo de conceptos de algún contexto formal (salvo isomorfismo).

Valores de atributos y negación

Los datos del mundo real suelen presentarse en forma de tabla de objetos y atributos, donde los atributos tienen "valores". El análisis formal de conceptos procesa estos datos transformándolos en el tipo básico de un contexto formal ("univaluado"). Este método se denomina escalamiento conceptual .

La negación de un atributo m es un atributo ¬ m , cuya extensión es simplemente el complemento de la extensión de m , es decir, con (¬ m ) ′ = G  \ m ′ . En general, no se asume que los atributos negados estén disponibles para la formación de conceptos. Sin embargo, los pares de atributos que son negaciones entre sí suelen aparecer de forma natural, por ejemplo, en contextos derivados de la escala conceptual. 

Para posibles negaciones de conceptos formales, consulte la sección de álgebras conceptuales a continuación.

Trascendencia

Una implicación A → B relaciona dos conjuntos A y B de atributos y expresa que todo objeto que posee cada atributo de A también posee cada atributo de B. Cuando ( G , M , I ) es un contexto formal y A y B son subconjuntos del conjunto M de atributos (es decir, A, B ⊆ M ), entonces la implicación A → B es válida si A ′ ⊆ B ′ . Para cada contexto formal finito, el conjunto de todas las implicaciones válidas tiene una base canónica , [ 7 ] un conjunto irredundante de implicaciones del cual todas las implicaciones válidas pueden derivarse mediante la inferencia natural ( reglas de Armstrong ). Esto se utiliza en la exploración de atributos , un método de adquisición de conocimiento basado en implicaciones. [ 8 ]

Relaciones de flecha

El análisis formal de conceptos tiene fundamentos matemáticos elaborados, [ 4 ] lo que hace que el campo sea versátil. Como ejemplo básico mencionamos las relaciones de flecha , que son simples y fáciles de calcular, pero muy útiles. Se definen de la siguiente manera: Para g ∈ G y m ∈ M sea

g ↗ m ⇔ ( g, m ) ∉ I y si m ′ ⊆ n ′ y m ′ ≠ n ′ , entonces ( g, n ) ∈ I ,

y de forma dual

g ↙ m ⇔ ( g, m ) ∉ I y si g ′ ⊆ h ′ y g ′ ≠ h ′ , entonces ( h, m ) ∈ I .

Dado que solo se pueden relacionar pares objeto-atributo no incidentes, estas relaciones se pueden registrar fácilmente en la tabla que representa un contexto formal. Muchas propiedades de la red se pueden deducir de las relaciones de flecha, incluyendo la distributividad y varias de sus generalizaciones. También revelan información estructural y se pueden usar para determinar, por ejemplo, las relaciones de congruencia de la red.

Extensiones de la teoría

  • El análisis conceptual triádico reemplaza la relación de incidencia binaria entre objetos y atributos por una relación ternaria entre objetos, atributos y condiciones. Una incidencia(gramo,metro,do){\displaystyle (g,m,c)}Luego expresa que el objeto g tiene el atributo m bajo la condición c . Aunque los conceptos triádicos pueden definirse por analogía con los conceptos formales anteriores, la teoría de las trilatces formadas por ellos está mucho menos desarrollada que la de las retículas de conceptos y parece ser difícil. [ 9 ] Voutsadakis ha estudiado el caso n -ario. [ 10 ]
  • Análisis de conceptos difusos : Se ha realizado un extenso trabajo sobre una versión difusa del análisis formal de conceptos. [ 11 ]
  • Álgebras de conceptos : Modelar la negación de conceptos formales es algo problemático porque el complemento ( G \ A , M \ B ) de un concepto formal ( A , B ) en general no es un concepto. Sin embargo, dado que el retículo de conceptos es completo, se puede considerar la unión ( A , B ) Δ de todos los conceptos ( C , D ) que satisfacen C ⊆ G \ A ; o dualmente el encuentro ( A , B ) 𝛁 de todos los conceptos que satisfacen D ⊆ M \ B . Estas dos operaciones se conocen como negación débil y oposición débil , respectivamente. Esto se puede expresar en términos de los operadores de derivación . La negación débil se puede escribir como ( A , B ) Δ = (( G \ A ) ″ , ( G \ A )') , y la oposición débil se puede escribir como ( A , B ) 𝛁 = (( M \ B )', ( M \ B ) ″ ) . El retículo de conceptos equipado con las dos operaciones adicionales Δ y 𝛁 se conoce como el álgebra de conceptos de un contexto. Las álgebras de conceptos generalizan los conjuntos potencia . La negación débil en un retículo de conceptos L es una complementación débil , es decir, unaaplicación de inversión de orden Δ: L → L que satisface los axiomas x ΔΔ ≤ x y ( x ⋀ y ) ⋁ ( x ⋀ y Δ ) = x . La oposición débil es una complementación débil dual. Un retículo (acotado) como un álgebra de conceptos, que está equipado con una complementación débil y una complementación débil dual, se llama retículo débilmente dicomplementado . Los retículos débilmente dicomplementados generalizan los retículos ortocomplementados distributivos , es decir, las álgebras booleanas . [ 12 ] [ 13 ]

Análisis del concepto temporal

El análisis conceptual temporal (ACT) es una extensión del análisis conceptual formal (ACF) que busca una descripción conceptual de fenómenos temporales. Proporciona animaciones en retículos conceptuales obtenidos a partir de datos sobre objetos cambiantes. Ofrece una forma general de comprender el cambio de objetos concretos o abstractos en el espacio y el tiempo continuos, discretos o híbridos. El ACT aplica el escalamiento conceptual a bases de datos temporales. [ 14 ]

En el caso más simple, TCA considera los objetos que cambian en el tiempo como una partícula en física, que, en cada instante, se encuentra exactamente en un lugar. Esto ocurre en aquellos datos temporales donde los atributos "objeto temporal" y "tiempo" forman conjuntamente una clave de la base de datos. Entonces, el estado (de un objeto temporal en un instante dado en una vista) se formaliza como un concepto de objeto determinado del contexto formal que describe la vista elegida. En este caso simple, una visualización típica de un sistema temporal es un diagrama de líneas de la red de conceptos de la vista en la que se insertan las trayectorias de los objetos temporales. [ 15 ]

TCA generaliza el caso mencionado anteriormente al considerar bases de datos temporales con una clave arbitraria. Esto conduce a la noción de objetos distribuidos que, en un momento dado, pueden encontrarse en múltiples lugares, como por ejemplo, una zona de alta presión en un mapa meteorológico. Las nociones de «objetos temporales», «tiempo» y «lugar» se representan como conceptos formales en escalas. Un estado se formaliza como un conjunto de conceptos de objetos. Esto da lugar a una interpretación conceptual de las ideas de partículas y ondas en física. [ 16 ]

Algoritmos y herramientas

Existen varios algoritmos sencillos y rápidos para generar conceptos formales y para construir y navegar por retículos conceptuales. Para una revisión, véase Kuznetsov y Obiedkov [ 17 ] o el libro de Ganter y Obiedkov [ 8 ] , donde también se puede encontrar pseudocódigo. Dado que el número de conceptos formales puede ser exponencial con respecto al tamaño del contexto formal, la complejidad de los algoritmos suele expresarse en función del tamaño de la salida. Los retículos conceptuales con unos pocos millones de elementos pueden manejarse sin problemas.

Actualmente existen numerosas aplicaciones de software FCA. [ 18 ] El propósito principal de estas herramientas varía desde la creación de contextos formales hasta la minería de conceptos formales y la generación de la red de conceptos de un contexto formal dado, así como las implicaciones y reglas de asociación correspondientes . La mayoría de estas herramientas son aplicaciones académicas de código abierto, tales como:

Bicicletas

Un contexto formal puede interpretarse naturalmente como un grafo bipartito . Los conceptos formales corresponden entonces a las bicliques maximales en ese grafo. Los resultados matemáticos y algorítmicos del análisis de conceptos formales pueden utilizarse, por lo tanto, para la teoría de las bicliques maximales. La noción de dimensión bipartita (del grafo bipartito complementado) se traduce [ 4 ] a la de dimensión de Ferrers (del contexto formal) y a la de dimensión de orden (de la red de conceptos) y tiene aplicaciones, por ejemplo, para la factorización de matrices booleanas. [ 25 ]

Agrupamiento bidimensional y agrupamiento multidimensional

Dada una tabla de datos numéricos de atributos de objetos, el objetivo del biclustering es agrupar algunos objetos que tengan valores similares en ciertos atributos. Por ejemplo, en los datos de expresión génica, se sabe que los genes (objetos) pueden compartir un comportamiento común solo para un subconjunto de situaciones biológicas (atributos): en consecuencia, se deben generar patrones locales para caracterizar los procesos biológicos, los cuales posiblemente se superpongan, ya que un gen puede estar involucrado en varios procesos. La misma observación se aplica a los sistemas de recomendación, donde interesan los patrones locales que caracterizan a grupos de usuarios que comparten gustos muy similares por un subconjunto de elementos. [ 26 ]

Un bicluster en una tabla de datos de objetos y atributos binarios es un par (A,B) que consta de un conjunto de inclusión máxima de objetos A y un conjunto de inclusión máxima de atributos B, de tal manera que casi todos los objetos de A tienen casi todos los atributos de B y viceversa.

Por supuesto, los conceptos formales pueden considerarse como biclústeres "rígidos" donde todos los objetos tienen todos los atributos y viceversa. Por lo tanto, no es sorprendente que algunas definiciones de biclúster provenientes de la práctica [ 27 ] sean simplemente definiciones de un concepto formal. [ 28 ] Las versiones relajadas basadas en FCA de biclusterización y triclusterización incluyen OA-biclústerización [ 29 ] y OAC-triclústerización [ 30 ] (donde O representa objeto, A atributo, C condición); para generar patrones, estos métodos utilizan operadores primos que se aplican solo una vez a una sola entidad (p. ej. objeto) o a un par de entidades (p. ej. atributo-condición), respectivamente.

Un bicluster de valores similares en una tabla de datos de atributos de objetos numéricos se define habitualmente [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] como un par formado por un conjunto de inclusión máxima de objetos y un conjunto de inclusión máxima de atributos con valores similares para los objetos. Dicho par puede representarse como un rectángulo de inclusión máxima en la tabla numérica, módulo permutaciones de filas y columnas. En [ 28 ] se demostró que los biclusters de valores similares corresponden a triconceptos de un contexto triádico donde la tercera dimensión está dada por una escala que representa los valores de los atributos numéricos mediante atributos binarios.

Este hecho puede generalizarse al caso n -dimensional, donde los clústeres n -dimensionales de valores similares en datos n- dimensionales se representan mediante conceptos n+1- dimensionales. Esta reducción permite utilizar definiciones y algoritmos estándar del análisis de conceptos multidimensionales [ 33 ] [ 10 ] para calcular clústeres multidimensionales.

Espacios de conocimiento

En la teoría de los espacios de conocimiento, se asume que en cualquier espacio de conocimiento la familia de estados de conocimiento es cerrada por unión. Por lo tanto, los complementos de los estados de conocimiento forman un sistema de cierre y pueden representarse como extensiones de algún contexto formal.

Experiencia práctica con el análisis formal de conceptos.

El análisis formal de conceptos puede utilizarse como método cualitativo para el análisis de datos. Desde los inicios del FCA a principios de la década de 1980, el grupo de investigación de FCA en la TU Darmstadt ha adquirido experiencia en más de 200 proyectos que utilizan el FCA (hasta 2005). [ 34 ] Incluyendo los campos de: medicina y biología celular , [ 35 ] [ 36 ] genética , [ 37 ] [ 38 ] ecología , [ 39 ] ingeniería de software , [ 40 ] ontología , [ 41 ] ciencias de la información y bibliotecología , [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] administración de oficinas , [ 45 ] derecho , [ 46 ] [ 47 ] lingüística , [ 48 ] ciencia política . [ 49 ]

Muchos más ejemplos se describen, por ejemplo, en: Análisis formal de conceptos. Fundamentos y aplicaciones , [ 34 ] artículos de conferencias en congresos regulares como: Conferencia internacional sobre análisis formal de conceptos (ICFCA), [ 50 ] Retículos conceptuales y sus aplicaciones (CLA), [ 51 ] o Conferencia internacional sobre estructuras conceptuales (ICCS). [ 52 ]

Véase también

Notas

  1. 1 2 Wille, Rudolf (1982). "Reestructuración de la teoría de retículos: Un enfoque basado en jerarquías de conceptos" . En Rival, Ivan (ed.). Conjuntos ordenados. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN celebrado en Banff, Canadá, del 28 de agosto al 12 de septiembre de 1981. Serie Científica de la OTAN C. Vol.  83. Springer. págs. 445–470 . doi : 10.1007/978-94-009-7798-3 . ISBN  978-94-009-7800-3., reimpreso en Ferré, Sébastien; Rudolph, Sebastian, eds. (12 de mayo de 2009). Formal Concept Analysis: 7th International Conference, ICFCA 2009 Darmstadt, Alemania, 21–24 de mayo de 2009 Actas . Springer. pág. 314. ISBN  978-364201814-5.
  2. ↑ Hentig, von, Hartmut (1972). ¿Magier o Magister? Über die Einheit der Wissenschaft im Verständigungsprozeß . Klett (1972), Suhrkamp (1974). ISBN 978-3518067079.
  3. 1 2 Wollbold, Johannes (2011). Exploración de atributos de procesos de regulación génica (PDF) (PhD). Universidad de Jena. p. 9. arXiv : 1204.1995 . urn:nbn:de:gbv:27-20120103-132627-0 . 
  4. 1 2 3 4 Ganter, Bernhard; Wille, Rudolf (1999). Análisis formal de conceptos: Fundamentos matemáticos . Springer. ISBN 3-540-62771-5.
  5. ↑ Wille, Rudolf. "Análisis formal de conceptos como teoría matemática de conceptos y jerarquías de conceptos". Ganter, Stumme y Wille 2005 .
  6. ↑ Lutzeier, Peter Rolf (1981), Wort und Feld: wortsemantische Fragestellungen mit besonderer Berücksichtigung des Wortfeldbegriffes: Dissertation , Linguistische Arbeiten 103 (en alemán), Tübingen: Niemeyer, doi : 10.1515/9783111678726.fm , OCLC 8205166 
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  16. ↑ Wolff, Karl Erich (2004), "«Partículas y ondas según la comprensión del análisis de conceptos temporales», en Wolff, Karl Erich; Pfeiffer, Heather D.; Delugach, Harry S. (eds.), Estructuras conceptuales en acción. 12.ª Conferencia Internacional sobre Estructuras Conceptuales, ICCS 2004. Huntsville, AL, EE. UU., julio de 2004, LNAI 3127. Actas , Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol.  3127, Springer, pp. 126–141 , doi : 10.1007/978-3-540-27769-9_8 , ISBN  978-3-540-22392-4.
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  18. ↑ Se puede encontrar una lista no exhaustiva de herramientas de FCA en el sitio web del software de FCA: "Software y aplicaciones de análisis formal de conceptos" . Archivado del original el 16 de abril de 2010. Consultado el 10 de junio de 2010 .
  19. ↑ "The Concept Explorer" . Conexp.sourceforge.net . Consultado el 27 de diciembre de 2018 .
  20. ↑ "ToscanaJ: Bienvenido" . Toscanaj.sourceforge.net . Consultado el 27 de diciembre de 2018 .
  21. ↑ Boumedjout Lahcen y Leonard Kwuida. «Lattice Miner: Una herramienta para la construcción y exploración de retículos conceptuales». En: Actas complementarias de la Conferencia Internacional sobre Análisis Formal de Conceptos (ICFCA'10), 2010.
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