Distribución de probabilidad condicional

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de probabilidad condicional es una distribución de probabilidad que describe la probabilidad de un resultado dado que ocurre un evento particular. Dadas dos variables aleatorias con distribución conjunta y , la distribución de probabilidad condicional de dado es la distribución de probabilidad de cuando se sabe que es un valor particular; en algunos casos, las probabilidades condicionales pueden expresarse como funciones que contienen el valor no especificado de como parámetro. Cuando tanto como son variables categóricas , se suele utilizar una tabla de probabilidad condicional para representar la probabilidad condicional. La distribución condicional contrasta con la distribución marginal de una variable aleatoria, que es su distribución sin referencia al valor de la otra variable. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Si la distribución condicional de dada es una distribución continua , entonces su función de densidad de probabilidad se conoce como función de densidad condicional . ^{[ 1 ]} Las propiedades de una distribución condicional, como los momentos , a menudo se denominan con nombres correspondientes como media condicional y varianza condicional . ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

En términos más generales, se puede hablar de la distribución condicional de un subconjunto de un conjunto de más de dos variables; esta distribución condicional depende de los valores de todas las variables restantes, y si se incluye más de una variable en el subconjunto, entonces esta distribución condicional es la distribución conjunta condicional de las variables incluidas.

Para variables aleatorias discretas , la función de probabilidad condicional de dada se puede escribir de acuerdo con su definición como: ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=x}$

Debido a la presencia de en el denominador, esto se define solo para valores distintos de cero (por lo tanto, estrictamente positivos).${\displaystyle P(X=x)}$${\displaystyle P(X=x).}$

La relación con la distribución de probabilidad de dado es: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

Consideremos el lanzamiento de un dado justo y sea si el número es par (es decir, 2, 4 o 6) y en caso contrario. Además, sea si el número es primo (es decir, 2, 3 o 5) y en caso contrario. ${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle Y=1}$${\displaystyle Y=0}$

Entonces, la probabilidad incondicional de que sea 3/6 = 1/2 (ya que hay seis posibles tiradas del dado, de las cuales tres son pares), mientras que la probabilidad de que sea condicionalmente es 1/3 (ya que hay tres posibles tiradas de números primos —2, 3 y 5— de las cuales una es par). ${\displaystyle X=1}$${\displaystyle X=1}$${\displaystyle Y=1}$

De manera similar, para variables aleatorias continuas , la función de densidad de probabilidad condicional de dada la ocurrencia del valor de se puede escribir como ^{[ 2 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

donde da la densidad conjunta de y , mientras que da la densidad marginal para . También en este caso es necesario que . ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

La relación con la distribución de probabilidad de dado viene dada por: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

El concepto de distribución condicional de una variable aleatoria continua no es tan intuitivo como podría parecer: la paradoja de Borel demuestra que las funciones de densidad de probabilidad condicionales no tienen por qué ser invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

El gráfico muestra una densidad conjunta normal bivariada para las variables aleatorias y . Para ver la distribución de condicionada a , se puede visualizar primero la línea en el plano , y luego visualizar el plano que contiene esa línea y perpendicular al plano . La intersección de ese plano con la densidad conjunta normal, una vez reescalada para dar un área unitaria bajo la intersección, es la densidad condicional relevante de . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X=70}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{Y}+{\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho (70-\mu _{X}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{Y}^{2}\right).}$

Las variables aleatorias son independientes si y solo si la distribución condicional de dado es, para todas las realizaciones posibles de , igual a la distribución incondicional de . Para variables aleatorias discretas, esto significa para todos los posibles y con . Para variables aleatorias continuas y , que tienen una función de densidad conjunta , significa para todos los posibles y con . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X=x)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

Vista como una función de para dado , es una función de masa de probabilidad y por lo tanto la suma sobre todos (o integral si es una densidad de probabilidad condicional) es 1. Vista como una función de para dado , es una función de verosimilitud , por lo que la suma (o integral) sobre todos no tiene por qué ser 1. ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Además, una distribución marginal de una distribución conjunta puede expresarse como la esperanza de la distribución condicional correspondiente. Por ejemplo, . ${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(x\ |\ Y)]}$

Sea un espacio de probabilidad , un -campo en . Dado , el teorema de Radon-Nikodym implica que existe ^{[ 3 ]} una variable aleatoria -medible , llamada probabilidad condicional , tal que para todo , y dicha variable aleatoria está definida de forma única salvo conjuntos de probabilidad cero. Una probabilidad condicional se llama regular si es una medida de probabilidad en para todo ae ${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )}$${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Casos especiales:

• Para el álgebra sigma trivial , la probabilidad condicional es la función constante.${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\emptyset,\Omega \}}$${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).}$
• Si , entonces , la función indicadora (definida a continuación ).${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}}$

Sea una variable aleatoria con valores en . Para cada , definimos Para cualquier , la función se llama distribución de probabilidad condicional de dado . Si es una medida de probabilidad en , entonces se llama regular . ${\displaystyle X:\Omega \to E}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$$${\displaystyle \mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}}).}$$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Para una variable aleatoria de valor real (con respecto al campo de Borel en ), toda distribución de probabilidad condicional es regular. ^{[ 4 ]} En este caso, casi con seguridad . ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu _{X\mid {\mathcal {G}}}(dx,\cdot )}$

Para cualquier evento , defina la función indicadora : ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

que es una variable aleatoria. Nótese que la esperanza de esta variable aleatoria es igual a la probabilidad de A misma:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A).\;}$

Dado un campo , la probabilidad condicional es una versión de la esperanza condicional de la función indicadora para : ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {G}})\;}$

La esperanza de una variable aleatoria con respecto a una probabilidad condicional regular es igual a su esperanza condicional.

Consideremos el espacio de probabilidad y un campo sub-sigma . El campo sub-sigma puede interpretarse libremente como un subconjunto de la información en . Por ejemplo, podríamos pensar en como la probabilidad del evento dada la información en . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (B|{\mathcal {A}})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

También recordemos que un evento es independiente de un campo subsigma si para todo . Es incorrecto concluir en general que la información en no nos dice nada sobre la probabilidad de que ocurra el evento. Esto se puede demostrar con un contraejemplo: ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=\mathbb {P} (B)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle B}$

Consideremos un espacio de probabilidad en el intervalo unitario , . Sea el sigma-cuerpo de todos los conjuntos numerables y conjuntos cuyo complemento es numerable. Por lo tanto, cada conjunto en tiene medida o y, por consiguiente, es independiente de cada evento en . Sin embargo, observemos que también contiene todos los eventos unitarios en (aquellos conjuntos que contienen solo un único ). Por lo tanto, saber cuál de los eventos en ocurrió es equivalente a saber exactamente cuál ocurrió. Así pues, en cierto sentido, no contiene información sobre (es independiente de él), y en otro sentido contiene toda la información en . ^{[ 5 ]}${\displaystyle \Omega =[0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Condicionamiento (probabilidad)
• Probabilidad condicional
• Probabilidad condicional regular
• Teorema de Bayes