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Álgebra de eventos condicionales

En teoría de la probabilidad , un álgebra de eventos condicionales ( CEA ) es una alternativa a un álgebra booleana estándar de eventos posibles (un conjunto de eventos posibles...

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En teoría de la probabilidad , un álgebra de eventos condicionales ( CEA ) es una alternativa a un álgebra booleana estándar de eventos posibles (un conjunto de eventos posibles relacionados entre sí por las operaciones familiares " y ", "o " y " no ") que contiene no solo eventos ordinarios sino también eventos condicionales que tienen la forma "si A , entonces B ". La motivación habitual para un CEA es fundamentar la definición de una función de probabilidad para eventos, P , que satisface la ecuación P (si A , entonces B ) = P ( A y B ) / P ( A ).

Motivación

En la teoría de probabilidad estándar, la ocurrencia de un evento corresponde a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los cuales es un resultado que corresponde a la ocurrencia del evento. P ( A ), la probabilidad del evento A , es la suma de las probabilidades de todos los resultados que corresponden al evento A ; P ( B ) es la suma de las probabilidades de todos los resultados que corresponden al evento B ; y P ( A y B ) es la suma de las probabilidades de todos los resultados que corresponden tanto a A como a B. En otras palabras, y , representado habitualmente por el símbolo lógico ∧, se interpreta como intersección de conjuntos: P ( A ∧ B ) = P ( A ∩ B ). De la misma forma, o , ∨, se convierte en unión de conjuntos, ∪, y no , ¬, se convierte en complementación de conjuntos, ′. Cualquier combinación de eventos utilizando las operaciones y , o , y no también es un evento, y asignar probabilidades a todos los resultados genera una probabilidad para cada evento. En términos técnicos, esto significa que el conjunto de eventos y las tres operaciones juntas constituyen un álgebra booleana de conjuntos, con una función de probabilidad asociada .

En la práctica estándar, P (si A , entonces B ) no se interpreta como P ( A ' ∪ B ), siguiendo la regla de implicación material , sino más bien como la probabilidad condicional de B dado A , P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ). Esto plantea una pregunta: ¿qué pasa con una probabilidad como P (si A , entonces B , y si C , entonces D )? Para esto, no hay una respuesta estándar. Lo que se necesitaría, para consistencia, es un tratamiento de if-then como una operación binaria , →, de tal manera que para eventos condicionales A → B y C → D , P ( A → B ) = P ( B | A ), P ( C → D ) = P ( D | C ), y P (( A → B ) ∧ ( C → D )) estén bien definidos y sean razonables. Filósofos como Robert Stalnaker argumentaron que, idealmente, un álgebra de eventos condicionales, o CEA, debería admitir una función de probabilidad que cumpla tres condiciones:

1. La función de probabilidad satisface los axiomas habituales .
2. Para cualesquiera dos eventos ordinarios A y B , si P ( A ) > 0, entonces P ( A → B ) = P ( B | A ) = P ( A ∧ B ) / P ( A ).
3. Para un evento ordinario A y una función de probabilidad aceptable P , si P ( A ) > 0, entonces PA = P ( ⋅| A ), la función producida al condicionar sobre A , también es una función de probabilidad aceptable.

Sin embargo, David Lewis demostró en 1976 un hecho ahora conocido como el resultado de trivialidad de Lewis : estas condiciones solo pueden cumplirse con enfoques casi estándar en ejemplos triviales. En particular, esas condiciones solo pueden cumplirse cuando hay solo dos resultados posibles, como en el caso de un lanzamiento de moneda. Con tres o más resultados posibles, la construcción de una función de probabilidad requiere elegir cuál de las tres condiciones anteriores violar. Interpretar A → B como A ′ ∪ B produce un álgebra booleana ordinaria que viola la condición 2. Con los CEA, la elección está entre 1 y 3. [ 1 ]

Tipos de álgebra de eventos condicionales

Análisis de costo-efectividad de triple evento

Los CEA de tri-evento se inspiran en la lógica trivalente , donde la identificación de la conjunción , disyunción y negación lógicas con operaciones de conjuntos simples ya no se aplica. Para los eventos ordinarios A y B , el tri-evento A → B ocurre cuando A y B ocurren, no ocurre cuando A ocurre pero B no, y es indeciso cuando A no ocurre. (El término “tri-evento” proviene de de Finetti (1935): triévénement ). Los eventos ordinarios, que nunca son indecisos, se incorporan al álgebra como tri-eventos condicionales a Ω, el evento vacío representado por todo el espacio muestral de resultados; por lo tanto, A se convierte en Ω → A.

Dado que existen muchas lógicas trivalentes, existen muchas álgebras tri-evento posibles. Sin embargo, dos tipos han atraído más interés que los demás. En un tipo, A ∧ B y A ∨ B son indecisas solo cuando tanto A como B son indecisas; cuando solo una de ellas lo es, la conjunción o disyunción sigue a la otra conjunción o disyunción. Cuando la negación se maneja de la manera obvia, con ¬ A indecisa solo si A lo es, este tipo de álgebra tri-evento corresponde a una lógica trivalente propuesta por Sobociński (1920) y favorecida por Belnap (1973), e implícita también en la “cuasi-conjunción” de Adams (1975) para condicionales. Schay (1968) fue el primero en proponer un tratamiento algebraico, que Calabrese (1987) desarrolló de manera más apropiada. [ 2 ]

El otro tipo de álgebra de eventos triples trata la negación de la misma manera que la primera, pero considera la conjunción y la disyunción como funciones de mínimo y máximo, respectivamente, con la ocurrencia como valor máximo, el fallo como valor mínimo y la indecisión en un punto intermedio. Este tipo de álgebra de eventos triples corresponde a una lógica trivalente propuesta por Łukasiewicz (1920) y también favorecida por de Finetti (1935). Goodman, Nguyen y Walker (1991) proporcionaron finalmente la formulación algebraica.

La probabilidad de cualquier tri-evento se define como la probabilidad de que ocurra dividida por la probabilidad de que ocurra o no ocurra. [ 3 ] Con esta convención, las condiciones 2 y 3 anteriores se satisfacen en los dos tipos CEA de tri-evento principales. Sin embargo, la condición 1 falla. En un álgebra de tipo Sobociński, ∧ no se distribuye sobre ∨, por lo que P ( A ∧ ( B ∨ C )) y P (( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )) no tienen por qué ser iguales. [ 4 ] En un álgebra de tipo Łukasiewicz, ∧ se distribuye sobre ∨ pero no sobre la disyunción exclusiva ,⊕{\displaystyle \oplus }( A⊕{\displaystyle \oplus }B = ( A ∧ ¬ B ) ∨ (¬ A ∧ B )). [ 5 ] Además, los CEA de tres eventos no son retículos complementados , solo pseudocomplementados , porque en general, ( A → B ) ∧ ¬( A → B ) no puede ocurrir pero puede ser indeciso y, por lo tanto, no es idéntico a Ω → ∅, el elemento inferior del retículo. Esto significa que P ( C ) y P ( C⊕{\displaystyle \oplus }(( A → B ) ∧ ¬( A → B ))) pueden diferir, cuando clásicamente no lo harían.

CEAs del espacio de productos

Si se piensa en P (si A , entonces B ) como la probabilidad de que A y B ocurran antes que A y no B en una serie de ensayos, esto se puede calcular como una suma infinita de probabilidades simples: la probabilidad de A y B en el primer ensayo, más la probabilidad de no A (y B o no B ) en el primer ensayo y A y B en el segundo, más la probabilidad de no A en los dos primeros ensayos y A y B en el tercero, y así sucesivamente, es decir, P ( A ∧ B ) + P (¬ A ) P ( A ∧ B ) + P (¬ A ) 2 P ( A ∧ B ) + ..., o, en forma factorizada, P ( A ∧ B )[1 + P (¬ A ) + P (¬ A ) 2 + ...]. Dado que el segundo factor es la expansión en serie de Maclaurin de 1 / [1 – P ( ¬A )] = 1 / P ( A ), la suma infinita es igual a P ( A ∧ B ) / P ( A ) = P ( B | A ).

La suma infinita es en sí misma una probabilidad simple, pero con el espacio muestral que ahora contiene no resultados ordinarios de ensayos individuales, sino secuencias infinitas de resultados ordinarios. Así, la probabilidad condicional P ( B | A ) se convierte en una probabilidad simple P ( B → A ) al reemplazar Ω, el espacio muestral de todos los resultados ordinarios, con Ω*, el espacio muestral de todas las secuencias de resultados ordinarios, e identificando el evento condicional A → B con el conjunto de secuencias donde el primer resultado ( A ∧ B ) precede al primer resultado ( A ∧ ¬ B ). En notación de producto cartesiano , Ω* = Ω × Ω × Ω × ..., y A → B es la unión infinita [( A ∩ B ) × Ω × Ω × ...] ∪ [ A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × ...] ∪ [ A ′ × A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × ...] ∪ .... El evento incondicional A está, nuevamente, representado por el evento condicional Ω → A . [ 6 ] A diferencia de los CEA de tres eventos, este tipo de CEA admite la identificación de ∧, ∨ y ¬ con las operaciones familiares ∩, ∪ y ′ no solo para eventos ordinarios e incondicionales, sino también para eventos condicionales. Dado que Ω* es un espacio definido por un producto cartesiano infinitamente largo, el álgebra booleana de subconjuntos de eventos condicionales de Ω* se denomina CEA de espacio producto. Este tipo de CEA fue introducido por van Fraassen (1976), en respuesta al resultado de Lewis, y posteriormente fue descubierto independientemente por Goodman y Nguyen (1994).

Las funciones de probabilidad asociadas con CEAs en el espacio producto satisfacen las condiciones 1 y 2 anteriores. Sin embargo, dada una función de probabilidad P que satisface las condiciones 1 y 2, si P ( A ) > 0, se puede demostrar que P A ( C | B ) = P ( C | A ∧ B ) y P A ( B → C ) = P ( B ∧ C | A ) + P ( B ′ | A ) P ( C | B ). [ 7 ] Si A , B y C son compatibles por pares pero P ( A ∧ B ∧ C ) = 0, entonces P ( C | A ∧ B ) = P ( B ∧ C | A ) = 0 pero P ( B ′ | A ) P ( C | B ) > 0. Por lo tanto, P A ( B → C ) no es necesariamente igual a P A ( C | B ). Dado que PA no cumple la condición 2, P no cumple la condición 3.

Estructuras condicionales anidadas

¿Qué ocurre con las construcciones condicionales anidadas? En un CEA de tres eventos, las construcciones anidadas a la derecha se manejan de forma más o menos automática, ya que es natural decir que A → ( B → C ) toma el valor de B → C (posiblemente indeciso) cuando A es verdadero y es indeciso cuando A es falso. Sin embargo, el anidamiento a la izquierda requiere una elección más deliberada: cuando A → B es indeciso, ¿debería ( A → B ) → C ser indeciso, o debería tomar el valor de C ? Las opiniones varían. Calabrese adopta esta última postura, identificando ( A → B ) → ( C → D ) con ((¬ A ∨ B ) ∧ C ) → D . [ 8 ]

Con un CEA de espacio de producto, los condicionales anidados requieren construcciones de secuencias anidadas: evaluar P (( A → B ) → ( C → D )) requiere un espacio muestral de metasecuencias de secuencias de resultados ordinarios. Las probabilidades de las secuencias ordinarias se calculan como antes. Dada una serie de ensayos donde los resultados son secuencias de resultados ordinarios, P (( A → B ) → ( C → D )) es P ( C → D | A → B ) = P (( A → B ) ∧ ( C → D )) / P ( A → B ), la probabilidad de que una secuencia (( A → B ) ∧ ( C → B )) se encuentre antes que una secuencia (( A → B ) ∧ ¬( C → B )). Las iteraciones de orden superior de los condicionales requieren construcciones metasecuenciales de orden superior. [ 9 ]

En cualquiera de los dos tipos principales de CEA de tres eventos, A → ( B → C ) = ( A ∧ B ) → C . [ 10 ] Por otro lado, los CEA de espacio de producto no admiten esta identidad. Este último hecho se puede inferir del hecho, ya señalado, de que P A ( B → C ) no es igual a P A ( C | B ), puesto que P A ( C | B ) = P (( A ∧ B ) → C ) y P A ( B → C ) = P ( A → ( B → C )). Para un análisis directo, sin embargo, consideremos una metasecuencia cuya primera secuencia miembro comienza con un resultado ( A ∧ ¬ B ∧ C ), seguido de un resultado (¬ A ∧ B ∧ C ), seguido de un resultado ( A ∧ B ∧ ¬ C ). Esa metasecuencia pertenecerá al evento A → ( B → C ), porque la primera secuencia miembro es una secuencia ( A ∧ ( B → C )), pero la metasecuencia no pertenecerá al evento ( A ∧ B ) → C , porque la primera secuencia miembro es una secuencia ( ( A ∧ B ) → ¬ C ).

Aplicaciones

El impulso inicial para los CEA es teórico —a saber, el desafío de responder al resultado de trivialidad de Lewis— , pero se han propuesto aplicaciones prácticas. Si, por ejemplo, los eventos A y C involucran señales emitidas por estaciones de radar militares y los eventos B y D involucran lanzamientos de misiles , una fuerza militar adversaria con un sistema automatizado de defensa antimisiles podría querer que el sistema sea capaz de calcular P (( A → B ) ∧ ( C → D )) y/o P (( A → B ) → ( C → D )). [ 11 ] Otras aplicaciones abarcan desde la interpretación de imágenes [ 12 ] hasta la detección de ataques de denegación de servicio en redes informáticas. [ 13 ]

Notas

  1. ↑ La literatura sobre CEA utiliza ( B | A ) para significar “si A , entonces B ”, pero esta convención dificulta la expresión clara de ciertos puntos. Por esa razón, y para una mejor legibilidad, el presente artículo utiliza la convención más familiar A → B .
  2. ↑ Schay especificó dos álgebras, una asociada con ∧ y la otra con ∨. Esta línea de desarrollo no ha sido seguida por otros.
  3. ↑ De Finetti 1935, p. 184. Técnicamente, existen dos funciones de probabilidad: P , que abarca eventos ordinarios, y P *, que está determinada por P y abarca eventos condicionales. Esta sutileza notacional se omitirá aquí.
  4. ↑ Consideremos el caso en que A es verdadero, B es indeciso y C es falso.
  5. ↑ Con una⊕{\displaystyle \oplus }B está indeciso cuando A o B lo están, compare A ∧ ( B⊕{\displaystyle \oplus }C ) y ( A ∧ B )⊕{\displaystyle \oplus }( A ∧ C ) cuando A no está decidido y B y C son ambos verdaderos.
  6. ↑ Dado que Ω ∩ A = A y Ω′ = ∅, la unión infinita que representa Ω → A se reduce a A × Ω × Ω × Ω ×….
  7. ↑ Goodman, Mahler y Nguyen 1999, p. 7, proporciona la fórmula necesaria para el último resultado: P (( A → B ) ∧ ( C → D )) = [ P ( A ∧ B ∧ C ∧ D ) + P ( A ′ ∧ C ∧ D ) P ( B | A ) + P ( C ′ ∧ A ∧ B ) P ( D | C )] / P ( A ∨ C ). El caso especial de interés es P ((Ω → A ) ∧ ( B → C )).
  8. ↑ Calabrese 1987, pág. 217.
  9. ↑ Goodman y Nguyen 1995, págs. 281-283.
  10. ↑ Esta identidad se corresponde lógicamente con la ley de importación-exportación, como se la denomina.
  11. ↑ Goodman, Mahler y Nguyen 1999.
  12. ↑ Kelly, Derin y Gong 1999.
  13. ↑ Sun et al 2014.

Referencias

Adams, EW 1975. La lógica de los condicionales. D. Reidel, Dordrecht.

Bamber, D., Goodman, IR y Nguyen, HT 2004. "Deducción a partir del conocimiento condicional". Soft Computing 8: 247–255.

Belnap, ND 1973. "Cuantificación restringida y aserción condicional", en H. Leblanc (ed.), Verdad, sintaxis y modalidad North-Holland, Ámsterdam. 48–75.

Calabrese, P. 1987. "Una síntesis algebraica de los fundamentos de la lógica y la probabilidad". Information Sciences 42:187-237.

de Finetti, Bruno. 1935. "La lógica de la probabilidad". Actes du Congrès Internacional Filosofía Científica . París.

van Fraassen, Bas C. 1976. "Probabilidades de condicionales" en WL Harper y CA Hooker (eds.), Fundamentos de la teoría de la probabilidad, inferencia estadística y teorías estadísticas de la ciencia , vol. ID Reidel, Dordrecht, pp.  261–308.

Goodman, IR, Mahler, RPS y Nguyen, HT 1999. "¿Qué es el álgebra de eventos condicionales y por qué debería importarte?" SPIE Proceedings , Vol. 3720.

Goodman, IR, Nguyen, HT y Walker, E.A. 1991. Inferencia condicional y lógica para sistemas inteligentes: una teoría del condicionamiento sin medidas . Oficina del Jefe de Investigación Naval, Arlington, Virginia.

Goodman, IR y Nguyen, HT 1994. "Una teoría de la información condicional para la inferencia probabilística en sistemas inteligentes: II, Enfoque del espacio producto; III Apéndice matemático". Information Sciences 76:13-42; 75: 253–277.

Goodman, IR y Nguyen, HT 1995. «Fundamentos matemáticos de los condicionales y sus asignaciones probabilísticas». International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-based Systems 3(3): 247–339

Kelly, PA, Derin, H., y Gong, W.-B. 1999. "Algunas aplicaciones de eventos condicionales y conjuntos aleatorios para la estimación de imágenes y el modelado de sistemas". SPIE Proceedings 3720: 14–24.

Łukasiewicz, J. 1920. "O logice trójwartościowej" (en polaco). Ruch Filozoficzny 5:170–171. Traducción al inglés: "Sobre la lógica de tres valores", en L. Borkowski (ed.), Obras seleccionadas de Jan Łukasiewicz , Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1970, págs  . ISBN 0-7204-2252-3

Schay, Geza. 1968. "Un álgebra de eventos condicionales". Journal of Mathematical Analysis and Applications 24: 334–344.

Sobociński, B. 1952. "Axiomatización de un sistema parcial de cálculo de proposiciones trivalente". Journal of Computing Systems 1(1):23-55.

Sun, D., Yang, K., Jing, X., Lv, B. y Wang, Y. 2014. "Detección de tráfico de red anómalo basada en álgebra de eventos condicionales". Applied Mechanics and Materials 644-650: 1093–1099.