Fórmula conductor-discriminante

En matemáticas , la fórmula conductor-discriminante o Führerdiskriminantenproduktformel , introducida por Hasse ( 1926 , 1930 ) para extensiones abelianas y por Artin ( 1931 ) para extensiones de Galois , es una fórmula que calcula el discriminante relativo de una extensión de Galois finita.  ${\displaystyle L/K}$de campos locales o globales de los conductores de Artin de los caracteres irreductibles${\displaystyle \mathrm {Irr} (G)}$del grupo Galois${\displaystyle G=G(L/K)}$.

Dejar${\displaystyle L/K}$ser una extensión de Galois finita de campos globales con grupo de Galois${\displaystyle G}$. Entonces el discriminante es igual a

${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/K}=\prod _{\chi \in \mathrm {Irr} (G)}{\mathfrak {f}}(\chi )^{\chi (1)},}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi)}$iguala al conductor global de Artin de${\displaystyle \chi }$. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle L=\mathbf {Q} (\zeta _ {p^{n}})/\mathbf {Q} }$ser una extensión ciclotómica de los racionales. El grupo de Galois${\displaystyle G}$igual${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n})^{\times }}$. Porque${\displaystyle (p)}$es el único primo finito ramificado, el conductor global de Artin${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi)}$es igual al local${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{(p)}(\chi)}$. Porque${\displaystyle G}$es abeliano, todo carácter irreductible no trivial${\displaystyle \chi }$es de grado${\displaystyle 1=\chi (1)}$. Luego, el director local de Artin de${\displaystyle \chi }$igual al conductor del${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-completación ádica de${\displaystyle L^{\chi }=L^{\mathrm {ker} (\chi )}/\mathbf {Q} }$, es decir${\displaystyle (p)^{n_{p}}}$, dónde${\displaystyle n_{p}}$es el número natural más pequeño tal que${\displaystyle U_{\mathbf {Q} _{p}}^{(n_{p})}\subseteq N_{L_{\mathfrak {p}}^{\chi }/\mathbf {Q} _{p}}(U_{L_{\mathfrak {p}}^{\chi }})}$. Si${\displaystyle p>2}$el grupo Galois${\displaystyle G(L_{\mathfrak {p}}/\mathbf {Q} _{p})=G(L/\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /p^{n})^{\times }}$es cíclico de orden${\displaystyle \varphi (p^{n})}$y mediante la teoría del campo de clases local y utilizando esa${\displaystyle U_{\mathbf {Q} _{p}}/U_{\mathbf {Q} _{p}}^{(k)}=(\mathbf {Z} /p^{k})^{\times }}$uno ve fácilmente que si${\displaystyle \chi }$factores a través de un carácter primitivo de${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{i})^{\times }}$, entonces${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{(p)}(\chi)=p^{i}}$de donde como hay${\displaystyle \varphi (p^{i})-\varphi (p^{i-1})}$caracteres primitivos de${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{i})^{\times }}$obtenemos de la fórmula${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/\mathbf {Q} }=(p^{\varphi (p^{n})(n-1/(p-1))})}$, el exponente es

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(\varphi (p^{i})-\varphi (p^{i-1}))i=n\varphi (p^{n})-1-(p-1)\sum _{i=0}^{n-2}p^{i}=n\varphi (p^{n})-p^{n-1}.}$

• Artin, Emil (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1931 (164): 1– 11, doi : 10.1515/crll.1931.164.1 , ISSN 0075-4102 , S2CID 117731518 , Zbl 0001.00801   
• Hasse, H. (1926), "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. I: Klassenkörpertheorie". , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 35 : 1– 55
• Hasse, H. (1930), "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1930 (162): 169– 184, doi : 10.1515/crll.1930.162.169 , ISSN 0075-4102 , S2CID 199546442  
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol.  322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR 1697859 . Zbl 0956.11021 .