Cono de curvas

En matemáticas , el cono de curvas (a veces el cono de Kleiman-Mori ) de una variedad algebraica${\displaystyle X}$es un invariante combinatorio de importancia para la geometría birracional de${\displaystyle X}$.

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad propia . Por definición, un 1-ciclo (real) en${\displaystyle X}$es una combinación lineal formal${\displaystyle C=\sum a_{i}C_{i}}$de curvas irreducibles, reducidas y propias${\displaystyle C_{i}}$, con coeficientes${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$. La equivalencia numérica de 1-ciclos se define por intersecciones: dos 1-ciclos${\displaystyle C}$y${\displaystyle C'}$son numéricamente equivalentes si${\displaystyle C\cdot D=C'\cdot D}$por cada divisor de Cartier${\displaystyle D}$en${\displaystyle X}$Denotemos el espacio vectorial real de 1-ciclos módulo equivalencia numérica por${\displaystyle N_{1}(X)}$.

Definimos el cono de curvas de${\displaystyle X}$ser

${\displaystyle NE(X)=\left\{\sum a_{i}[C_{i}],\ 0\leq a_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$

donde el${\displaystyle C_{i}}$son irreductibles, reducidas, curvas propias en${\displaystyle X}$, y${\displaystyle [C_{i}]}$sus clases en${\displaystyle N_{1}(X)}$No es difícil ver que${\displaystyle NE(X)}$En efecto, es un cono convexo en el sentido de la geometría convexa.

Una aplicación útil de la noción del cono de curvas es la condición de Kleiman , que dice que un divisor (de Cartier)${\displaystyle D}$en una variedad completa${\displaystyle X}$es suficiente si y solo si${\displaystyle D\cdot x>0}$para cualquier elemento distinto de cero${\displaystyle x}$en${\displaystyle {\overline {NE(X)}}}$, el cierre del cono de curvas en la topología real usual. (En general,${\displaystyle NE(X)}$No es necesario cerrarlo, por lo que tomar el cierre aquí es importante.

Un ejemplo más complejo es el papel que desempeña el cono de curvas en la teoría de modelos mínimos de variedades algebraicas. En resumen, el objetivo de esa teoría es el siguiente: dada una variedad proyectiva (ligeramente singular)${\displaystyle X}$, encontrar una variedad (ligeramente singular)${\displaystyle X'}$que es birracional a${\displaystyle X}$y cuyo divisor canónico${\displaystyle K_{X'}}$es nef . El gran avance de principios de la década de 1980 (debido a Mori y otros) fue construir (al menos moralmente) el mapa birracional necesario a partir de${\displaystyle X}$a${\displaystyle X'}$como una secuencia de pasos, cada uno de los cuales puede pensarse como una contracción de un${\displaystyle K_{X}}$-rayo extremo negativo de${\displaystyle NE(X)}$. Sin embargo, este proceso encuentra dificultades cuya resolución requiere la introducción del flip .

El proceso de contracciones descrito anteriormente no podría llevarse a cabo sin el resultado fundamental sobre la estructura del cono de curvas conocido como el Teorema del Cono . La primera versión de este teorema, para variedades suaves , se debe a Mori ; posteriormente fue generalizado a una clase mayor de variedades por Kawamata , Kollár , Reid , Shokurov y otros. La versión del teorema de Mori es la siguiente:

Teorema del cono. Sea${\displaystyle X}$ser una variedad proyectiva suave . Entonces

1. Hay una cantidad numerable de curvas racionales.${\displaystyle C_{i}}$en${\displaystyle X}$, satisfactorio${\displaystyle 0<-K_{X}\cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1}$, y

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}+\sum _{i}\mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}].}$

2. Para cualquier número real positivo${\displaystyle \epsilon }$y cualquier divisor amplio${\displaystyle H}$,

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],}$

donde la suma en el último término es finita.

La primera afirmación dice que, en el semiespacio cerrado de${\displaystyle N_{1}(X)}$donde intersección con${\displaystyle K_{X}}$es no negativo, no sabemos nada, pero en el semiplano complementario, el cono está generado por una colección numerable de curvas que son bastante especiales: son racionales y su 'grado' está acotado muy estrictamente por la dimensión de${\displaystyle X}$La segunda afirmación nos dice entonces más: dice que, lejos del hiperplano${\displaystyle \{C:K_{X}\cdot C=0\}}$Los rayos extremos del cono no pueden acumularse. Cuando${\displaystyle X}$es una variedad Fano, ${\displaystyle {\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}=0}$porque${\displaystyle -K_{X}}$es amplio. Por lo tanto, el teorema del cono muestra que el cono de curvas de una variedad de Fano está generado por curvas racionales.

Si además la variedad${\displaystyle X}$Si se define sobre un cuerpo de característica 0, tenemos la siguiente afirmación, a veces denominada Teorema de Contracción :

3. Deja${\displaystyle F\subset {\overline {NE(X)}}}$sea ​​una cara extrema del cono de curvas en la que${\displaystyle K_{X}}$es negativo. Entonces hay un morfismo único${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}:X\rightarrow Z}$a una variedad proyectiva Z , tal que${\displaystyle (\operatorname {cont} _{F})_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Z}}$y una curva irreducible${\displaystyle C}$en${\displaystyle X}$se asigna a un punto mediante${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}}$si y solo si${\displaystyle [C]\in F}$(Véase también: morfismo de contracción ).

• Lazarsfeld, R., Positividad en geometría algebraica I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1
• Kollár, J. y Mori, S., Geometría birracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63277-3