criterio de Lawson

El criterio de Lawson es un indicador de rendimiento utilizado en la investigación de la fusión nuclear . Compara la tasa de energía generada por las reacciones de fusión dentro del combustible con la tasa de pérdidas de energía al medio ambiente. Cuando la tasa de producción es mayor que la tasa de pérdida, el sistema produce energía neta. Si el combustible captura suficiente energía, el sistema se vuelve autosostenible y se dice que se ha encendido .

El concepto fue desarrollado por primera vez por John D. Lawson en un documento clasificado de 1955 ^{[ 1 ]} que fue desclasificado y publicado en 1957. ^{[ 2 ]} Tal como fue formulado originalmente, el criterio de Lawson da un valor mínimo requerido para el producto de la densidad del plasma (electrón) n _e y el " tiempo de confinamiento de energía ".${\displaystyle \tau _{E}}$eso conduce a una producción neta de energía.

Análisis posteriores sugirieron que un indicador de mérito más útil es el producto triple de la densidad, el tiempo de confinamiento y la temperatura del plasma T. Este producto triple también tiene un valor mínimo requerido, y el nombre "criterio de Lawson" podría referirse a dicho valor.

El 8 de agosto de 2021, investigadores de la Instalación Nacional de Ignición del Laboratorio Nacional Lawrence Livermore en California confirmaron haber producido la primera ignición exitosa de una reacción de fusión nuclear que superó los criterios de Lawson en el experimento. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El concepto central del criterio de Lawson consiste en examinar el balance energético de cualquier central de fusión que utilice plasma caliente. Esto se muestra a continuación:

Potencia neta = Eficiencia × (Fusión − Pérdida por radiación − Pérdida por conducción)

1. La potencia neta es el exceso de energía que supera la necesaria internamente para que el proceso se lleve a cabo en cualquier central de fusión nuclear.
2. La eficiencia se refiere a la cantidad de energía necesaria para hacer funcionar el dispositivo y a la eficacia con la que este recolecta energía de las reacciones.
3. La fusión es la tasa de energía generada por las reacciones de fusión.
4. La pérdida por radiación es la energía que se pierde en forma de luz (incluidos los rayos X ) que sale del plasma.
5. La pérdida por conducción es la energía que se pierde cuando las partículas abandonan el plasma, llevándose consigo esa energía.

Lawson calculó la tasa de fusión suponiendo que el reactor de fusión contiene una nube de plasma caliente con una curva gaussiana de energías de partículas individuales, una distribución de Maxwell-Boltzmann caracterizada por la temperatura del plasma. Basándose en esta suposición, estimó el primer término, la energía de fusión producida, utilizando la ecuación de fusión volumétrica. ^{[ 5 ]}

Fusión = Densidad numérica del combustible A × Densidad numérica del combustible B × Sección transversal (Temperatura) × Energía por reacción

1. La fusión es la tasa de energía de fusión producida por el plasma.
2. La densidad numérica es la densidad de partículas por unidad de volumen de los combustibles respectivos (o de un solo combustible, en algunos casos).
3. La sección transversal es una medida de la probabilidad de un evento de fusión, que se basa en la temperatura del plasma.
4. La energía por reacción es la energía liberada en cada reacción de fusión.

Esta ecuación se suele promediar sobre una población de iones con distribución normal . El resultado es la cantidad de energía que genera el plasma en cualquier instante.

Lawson luego estimó ^{[ 5 ]} las pérdidas por radiación utilizando la siguiente ecuación:

$${\displaystyle P_{B}=1.4\times 10^{-34}\cdot n^{2}\cdot T^{1/2}\;{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$$

donde n es la densidad numérica de la nube y T es la temperatura . Para su análisis, Lawson ignora las pérdidas por conducción. En realidad, esto es casi imposible; prácticamente todos los sistemas pierden energía a través del transporte de partículas, donde la masa abandona el plasma y se lleva consigo su energía.

Al igualar las pérdidas por radiación y las tasas de fusión volumétricas, Lawson estimó la temperatura mínima para la fusión en la reacción deuterio - tritio (DT).

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

para ser de 30 millones de grados (2,6 keV), y para la reacción deuterio - deuterio (DD)

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

ser 150 millones de grados (12,9 keV). ^{[ 2 ] [ 6 ]}

El tiempo de confinamiento${\displaystyle \tau _{E}}$mide la tasa a la que un sistema pierde energía a su entorno. Cuanto más rápida sea la tasa de pérdida de energía,${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$Cuanto menor sea el tiempo de confinamiento de energía, menor será la densidad de energía.${\displaystyle W}$(contenido energético por unidad de volumen) dividido por la densidad de pérdida de potencia${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$(tasa de pérdida de energía por unidad de volumen):

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

Para que un reactor de fusión funcione en estado estacionario, el plasma de fusión debe mantenerse a una temperatura constante. Por lo tanto, es necesario añadir energía térmica al mismo ritmo que el plasma la pierde para mantener las condiciones de fusión. Esta energía puede provenir de las propias reacciones de fusión, según el tipo de reacción, o bien, de un calentamiento adicional mediante diversos métodos.

A modo de ejemplo, aquí se derivará el criterio de Lawson para la reacción DT, pero el mismo principio puede aplicarse a otros combustibles de fusión. También se asumirá que todas las especies tienen la misma temperatura, que no hay iones presentes aparte de los iones del combustible (sin impurezas ni cenizas de helio), y que D y T están presentes en la mezcla óptima 50-50. ^La densidad iónica es entonces igual a la densidad electrónica y la densidad de energía de electrones e iones juntos viene dada, según la ley de los gases ideales , por

${\displaystyle W=3nT}$

dónde${\displaystyle T}$es la temperatura en electronvoltios (eV) y${\displaystyle n}$es la densidad de partículas.

La tasa de volumen${\displaystyle f}$(reacciones por volumen por tiempo) de las reacciones de fusión es

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

dónde${\displaystyle \sigma }$es la sección transversal de fusión ,${\displaystyle v}$es la velocidad relativa y${\displaystyle \langle \rangle }$denota un promedio sobre la distribución de velocidad maxwelliana a la temperatura${\displaystyle T}$.

La tasa volumétrica de calentamiento por fusión es${\displaystyle f}$veces${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$, la energía de los productos de fusión cargados (los neutrones no pueden ayudar a calentar el plasma). En el caso de la reacción DT,${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$.

El criterio de Lawson requiere que el calentamiento por fusión supere las pérdidas:

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

Sustituyendo cantidades conocidas se obtiene:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

Reordenando la ecuación se obtiene:

La cantidad${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$es una función de la temperatura con un mínimo absoluto. Reemplazar la función con su valor mínimo proporciona un límite inferior absoluto para el producto.${\displaystyle n\tau _{E}}$Este es el criterio de Lawson.

Para la reacción deuterio - tritio , el valor físico es al menos

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

El mínimo del producto se produce cerca${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$.

Una figura de mérito aún más útil es el "producto triple" de densidad, temperatura y tiempo de confinamiento, nT τ _E . Para la mayoría de los conceptos de confinamiento, ya sean inerciales , de espejo o toroidales, la densidad y la temperatura pueden variar en un rango bastante amplio, pero la presión máxima alcanzable p es constante. En tal caso, la densidad de potencia de fusión es proporcional a p ² <σ v >/ T  ² . Por lo tanto, la potencia de fusión máxima disponible de una máquina dada se alcanza a la temperatura T donde <σ v >/ T  ² es máxima. Siguiendo la derivación anterior, se obtiene fácilmente la siguiente desigualdad:

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

La cantidad${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$También es una función de la temperatura con un mínimo absoluto a una temperatura ligeramente inferior a la${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$.

Para la reacción DT, el mínimo se produce en T  =  14  keV. El promedio <σ v > en esta región de temperatura se puede aproximar como ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

por lo que el valor mínimo del valor del producto triple en T  =  14  keV es aproximadamente

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

Esta cifra aún no se ha alcanzado en ningún reactor, aunque las últimas generaciones de máquinas se han acercado. JT-60 reportó 1,53 × 10²¹ ^keV · ^sm⁻³ . ^{[ 8 ]} Por ejemplo, el TFTR ha alcanzado las densidades y vidas útiles energéticas necesarias para lograr Lawson a las temperaturas que puede generar, pero no puede generar esas temperaturas al mismo tiempo. ITER pretende hacer ambas cosas.

En cuanto a los tokamaks , existe una motivación especial para utilizar el triple producto. Empíricamente, se ha encontrado que el tiempo de confinamiento de energía τ _E es casi proporcional a n ^1/3 / P  ^2/3 . En un plasma encendido cerca de la temperatura óptima, la potencia de calentamiento P es igual a la potencia de fusión y, por lo tanto, es proporcional a n ² T ² . El triple producto escala como 

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

El producto triple depende solo débilmente de la temperatura como T  ^-1/3 . Esto hace que el producto triple sea una medida adecuada de la eficiencia del esquema de confinamiento.

El criterio de Lawson se aplica tanto a la fusión por confinamiento inercial (FCI) como a la fusión por confinamiento magnético (FCM), pero en el caso inercial resulta más útil expresarlo de una forma diferente. Una buena aproximación para el tiempo de confinamiento inercial${\displaystyle \tau _{E}}$es el tiempo que tarda un ion en recorrer una distancia R a su velocidad térmica.

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

donde m _i denota la masa iónica media. El tiempo de confinamiento inercial${\displaystyle \tau _{E}}$por lo tanto, se puede aproximar como

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Sustituyendo la expresión anterior en la relación ( 1 ), obtenemos

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Este producto debe ser mayor que un valor relacionado con el mínimo de T  ^3/2 /<σv>. El mismo requisito se expresa tradicionalmente en términos de densidad de masa ρ  =  < nm _i >:

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

^La satisfacción de este criterio a la densidad del DT sólido (0,2 g/cm³ ⁾ requeriría un pulso láser de energía implausiblemente grande. Suponiendo que la energía requerida escala con la masa del plasma de fusión ( E _láser ~ ρR³ ~ ρ⁻² ), comprimir el combustible a ^10³ o ^10⁴ veces la densidad sólida reduciría la energía requerida en un factor de 10⁶ ^o 10⁸ ^, situándola en un rango realista. Con una compresión de 10³ ^, la densidad comprimida será de 200 g/cm³ ^{, y} el radio comprimido puede ser tan pequeño como 0,05 mm. El radio del combustible antes de la compresión sería de 0,5 mm. El pellet inicial será quizás el doble de grande, ya que la mayor parte de la masa se ablacionará durante la compresión.  

La potencia de fusión multiplicada por la densidad es un buen parámetro para determinar la temperatura óptima para el confinamiento magnético, pero para el confinamiento inercial, la fracción de quemado del combustible probablemente sea más útil. El quemado debería ser proporcional a la tasa de reacción específica ( ^n² < σv > ) multiplicada por el tiempo de confinamiento (que escala como T⁻¹ ^/² ) dividido por la densidad de partículas n : 

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

Por lo tanto, la temperatura óptima para la fusión por confinamiento inercial maximiza <σv>/ T ^3/2 , que es ligeramente superior a la temperatura óptima para el confinamiento magnético.

El análisis de Lawson se basa en la tasa de fusión y la pérdida de energía en un plasma termalizado. Existe una clase de máquinas de fusión que no utilizan plasmas termalizados, sino que aceleran directamente iones individuales hasta alcanzar las energías requeridas. Los ejemplos más conocidos son el migma , el fusor y el polywell .

Aplicado al fusor, el análisis de Lawson se utiliza como argumento para afirmar que las pérdidas por conducción y radiación son los principales impedimentos para alcanzar la potencia neta. Los fusores utilizan una caída de voltaje para acelerar y colisionar iones, lo que da como resultado la fusión. ^{[ 9 ]} La caída de voltaje se genera mediante jaulas de alambre, y estas jaulas conducen las partículas.

Los Polywells son mejoras de este diseño, diseñados para reducir las pérdidas por conducción eliminando las jaulas de alambre que las causan. ^{[ 10 ]} Sin embargo, se argumenta que la radiación sigue siendo un impedimento importante. ^{[ 11 ]}

• Factor de ganancia de energía de fusión ( Q )

^a Es sencillo relajar estas suposiciones. La pregunta más difícil es cómo definir${\displaystyle n}$cuando los iones y los electrones difieren en densidad y temperatura. Considerando que se trata de un cálculo de producción y pérdida de energía por iones, y que cualquier concepto de confinamiento de plasma debe contener las fuerzas de presión del plasma, parece apropiado definir la densidad efectiva (electrónica).${\displaystyle n}$a través de la presión (total)${\displaystyle p}$como${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$. El factor de${\displaystyle 2}$se incluye porque${\displaystyle n}$Por lo general se refiere a la densidad de los electrones solamente, pero${\displaystyle p}$aquí se refiere a la presión total. Dadas dos especies con densidades iónicas${\displaystyle n_{1,2}}$números atómicos${\displaystyle Z_{1,2}}$temperatura iónica${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$y temperatura electrónica${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$Es fácil demostrar que la potencia de fusión se maximiza mediante una mezcla de combustible dada por${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$Los valores para${\displaystyle n\tau }$,${\displaystyle nT\tau }$y la densidad de potencia debe multiplicarse por el factor${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$. Por ejemplo, con protones y boro (${\displaystyle Z=5}$) como combustible, otro factor de${\displaystyle 3}$debe incluirse en las fórmulas. Por otro lado, para los electrones fríos, todas las fórmulas deben dividirse por${\displaystyle 4}$(sin factor adicional para${\displaystyle Z>1}$).

• Derivación matemática , archivada en 2019 desde el original.