Álgebra geométrica conforme

El álgebra geométrica conforme ( CGA ) es el álgebra geométrica construida sobre el espacio resultante de una aplicación de puntos en un espacio base $n -dimensional$ $R p, q$ a vectores nulos en $R p +1, q +1$ . Esto permite representar operaciones en el espacio base, incluyendo reflexiones, rotaciones y traslaciones, utilizando versores del álgebra geométrica; y se ha descubierto que los puntos, líneas, planos, círculos y esferas obtienen representaciones particularmente naturales y computacionalmente manejables.

El efecto del mapeo es que $las k$ -esferas generalizadas (es decir , con curvatura cero) en el espacio base se mapean en $(k + 2)$ -álabes , de modo que el efecto de una traslación (o cualquier mapeo conforme ) del espacio base corresponde a una rotación en el espacio de mayor dimensión. En el álgebra de este espacio, basada en el producto geométrico de vectores, tales transformaciones corresponden a las operaciones sándwich características del álgebra, similares al uso de cuaterniones para la rotación espacial en 3D , que se combinan de manera muy eficiente. Una consecuencia de los rotores que representan transformaciones es que las representaciones de esferas, planos, círculos y otros objetos geométricos, y las ecuaciones que los conectan, se transforman de forma covariante. Un objeto geométrico (una $k$ -esfera) puede sintetizarse como el producto exterior de $k$ $+ 2$ vectores linealmente independientes que representan puntos en el objeto; a la inversa, el objeto puede descomponerse como el producto exterior repetido de vectores que representan $k$ $+ 2$ puntos distintos en su superficie. Algunas operaciones de intersección también adquieren una forma algebraica ordenada: por ejemplo, para el espacio base euclidiano $R$ $3$ , al aplicar el producto exterior al dual de los tetravectores que representan dos esferas se obtiene el dual de la representación trivectorial de su círculo de intersección.

Dado que esta estructura algebraica se presta directamente a la computación efectiva, facilita la exploración de los métodos clásicos de geometría proyectiva y geometría inversa en un entorno concreto y fácil de manipular. También se ha utilizado como una estructura eficiente para representar y facilitar cálculos en la teoría de tornillos . El CGA se ha aplicado particularmente en relación con el mapeo proyectivo del espacio euclidiano cotidiano $R 3$ en un espacio vectorial pentadimensional $R 4,1$ , que se ha investigado para aplicaciones en robótica y visión por computadora. Se puede aplicar en general a cualquier espacio pseudoeuclidiano ; por ejemplo, del espacio de Minkowski $R 3,1$ al espacio $R 4,2$ .

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Construcción de CGA

Notación y terminología

En este artículo, el enfoque está en el álgebra. ${\mathcal {G}}(4,1)$ Dado que esta álgebra en particular ha sido objeto de mayor atención a lo largo del tiempo, otros casos se tratan brevemente en una sección aparte. El espacio que contiene los objetos que se modelan se denomina aquí espacio base , y el espacio algebraico utilizado para modelar estos objetos se denomina espacio de representación o conforme . Un subespacio homogéneo se refiere a un subespacio lineal del espacio algebraico.

Los términos para objetos: punto , línea , círculo , esfera , cuasi-esfera, etc., se utilizan para referirse al objeto geométrico en el espacio base, o al subespacio homogéneo del espacio de representación que representa dicho objeto, siendo este último el que se suele utilizar a menos que se indique lo contrario. ^{[ a ]} Algebraicamente, se utilizará cualquier elemento nulo distinto de cero del subespacio homogéneo, y uno de ellos se denominará normalizado según algún criterio.

Las letras latinas minúsculas en negrita se utilizan para representar vectores de posición desde el origen hasta un punto en el espacio base. Los símbolos en cursiva se utilizan para otros elementos del espacio de representación.

Espacios base y de representación

El espacio base $R 3$ se representa extendiendo una base para los desplazamientos desde un origen elegido y agregando dos vectores base $e -$ y $e +$ ortogonales al espacio base y entre sí, con $e - 2 = -1$ y $e + 2 = +1$ , creando el espacio de representación ${\mathcal {G}}(4,1)$ .

Es conveniente utilizar dos vectores nulos $n o$ y $n \infty$ como vectores base en lugar de $e +$ y $e -$ , donde $n o = (e - - e +)/2$ , y $n \infty = e - + e +$ . Se puede verificar, donde $x$ está en el espacio base, que:

{\begin{array}{lllll}{n_{\text{o}}}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\cdot n_{\infty }&=-1\qquad &n_{\text{o}}\cdot \mathbf {x} &=0\\{n_{\infty }}^{2}&=0\qquad n_{\text{o}}\wedge n_{\infty }&=e_{-}e_{+}\qquad &n_{\infty }\cdot \mathbf {x} &=0\end{array}}

Estas propiedades conducen a las siguientes fórmulas para los coeficientes del vector base de un vector general $r$ en el espacio de representación para una base con elementos $e i$ ortogonales a todos los demás elementos de la base:

El coeficiente de

n o

para

r

es

- n \infty \cdot r

El coeficiente de

n \infty

para

r

es

- n o \cdot r

El coeficiente de

e i

para

r

es

e i -1 \cdot r

.

Mapeo entre el espacio base y el espacio de representación

La aplicación de un vector en el espacio base (que va desde el origen a un punto en el espacio afín representado) viene dada por la fórmula: ^{[ b ]}

g:\mathbf {x} \mapsto n_{\text{o}}+\mathbf {x} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}n_{\infty }

Los puntos y otros objetos que difieren únicamente por un factor escalar distinto de cero se corresponden con el mismo objeto en el espacio base. Cuando se desea la normalización, como para generar una transformación inversa simple de un punto desde el espacio de representación al espacio base o para determinar distancias, se puede utilizar la condición $g (x) \cdot n \infty = -1 .$

El mapeo directo es equivalente a:

primero proyectando conformemente $x$ desde $e 123$ sobre una 3-esfera unitaria en el espacio $e + \land e 123$ (en 5-D esto está en el subespacio $r \cdot (- n o - ⁠ 1 / 2 ⁠ n \infty) = 0$ );
luego elevamos esto a un espacio proyectivo, adjuntando $e - = 1$ , e identificando todos los puntos en el mismo rayo desde el origen (en 5-D esto está en el subespacio $r \cdot (- n o - ⁠ 1 / 2 ⁠ n \infty) = 1$ );
Luego, cambiamos la normalización, de modo que el plano para la proyección homogénea viene dado por la coordenada $n o$ $que tiene un valor de 1$ , es decir, $r \cdot n \infty = -1$ .

Mapeo inverso

Una aplicación inversa para $X$ en el cono nulo viene dada (ecuación 4.37 de Perwass) por

X\mapsto {\mathcal {P}}_{n_{\infty }\wedge n_{\text{o}}}^{\perp }\left({\frac {X}{-X\cdot n_{\infty }}}\right)

Esto primero da una proyección estereográfica del cono de luz sobre el plano $r \cdot n \infty = -1$ , y luego descarta las partes $n o$ y $n \infty$ , de modo que el resultado general es mapear todos los puntos equivalentes $αX = α (n o + x + ⁠ 1 / 2 ⁠ x 2 n \infty)$ a $x$ .

Origen y punto en el infinito

El punto $x = 0$ en $R p, q$ se mapea a $n o$ en $R p +1, q +1$ , por lo que $n o$ se identifica como el vector (de representación) del punto en el origen.

Un vector en $R p +1, q +1$ con un coeficiente $n \infty$ distinto de cero, pero un coeficiente $n o$ igual a cero, debe (considerando la aplicación inversa) ser la imagen de un vector infinito en $R p, q$ . Por lo tanto, la dirección $n \infty$ representa el punto (conforme) en el infinito . Esto justifica el uso de los subíndices $o$ e $\infty$ para identificar los vectores base nulos.

La elección del origen es arbitraria: se puede elegir cualquier otro punto, ya que la representación corresponde a un espacio afín . El origen simplemente representa un punto de referencia y es algebraicamente equivalente a cualquier otro punto. Al igual que con cualquier traslación, cambiar el origen corresponde a una rotación en el espacio de representación.

Objetos geométricos

Base

Junto con $I_{5}=e_{123}E$ y $1$ , estas son las 32 hojas base del álgebra. El origen del punto plano se escribe como un producto exterior porque el producto geométrico es de grado mixto ( $E=e_{+}e_{-}$ ).

Como solución de un par de ecuaciones

Dado cualquier hoja no nula $A$ del espacio representativo, el conjunto de vectores que son soluciones a un par de ecuaciones homogéneas de la forma ^{[ 3 ]}

X^{2}=0

X\wedge A=0

es la unión de subespacios homogéneos unidimensionales de vectores nulos y, por lo tanto, es una representación de un conjunto de puntos en el espacio base. Esto lleva a la elección de una lámina $A$ como una forma útil de representar una clase particular de objetos geométricos. Los casos específicos para la lámina $A$ (independientemente del número de dimensiones del espacio) cuando el espacio base es el espacio euclidiano son:

un escalar: el conjunto vacío
un vector: un solo punto
un bivector: un par de puntos
un trivector: un círculo generalizado
un 4-vector: una esfera generalizada
etc.

Cada uno de estos puede dividirse en tres casos según si $A 2$ es positivo, cero o negativo, lo que corresponde (en orden inverso en algunos casos) al objeto como se indica, un caso degenerado de un solo punto o ningún punto (donde las soluciones no nulas de $X \land A$ excluyen los vectores nulos).

Los objetos geométricos enumerados ( $n-$ esferas generalizadas ) se convierten en cuasi-esferas en el caso más general de que el espacio base sea pseudo-euclidiano. ^{[ 4 ]}

Los objetos planos pueden identificarse porque el punto en el infinito está incluido en las soluciones. Por lo tanto, si $n \infty \land A = 0$ , el objeto será una línea, un plano, etc., para la hoja $A$ siendo respectivamente de grado 3, 4, etc.

Como se deriva de los puntos del objeto

Una hoja $A$ que representa un objeto de esta clase puede hallarse como el producto exterior de vectores linealmente independientes que representan puntos del objeto. En el espacio base, esta independencia lineal se manifiesta en que cada punto se encuentra fuera del objeto definido por los demás puntos. Así, por ejemplo, un cuarto punto situado sobre el círculo generalizado definido por tres puntos distintos no puede utilizarse como cuarto punto para definir una esfera.

impares

Los puntos en e ₁₂₃ se proyectan sobre el cono nulo; la parábola nula si establecemos

r\cdot n_{\infty }=-1

.

Podemos considerar el lugar geométrico de los puntos en e ₁₂₃ st en el espacio conforme

g(\mathbf {x} )\cdot A=0

, para varios tipos de objetos geométricos A.

Comenzamos observando que

g(\mathbf {a} )\cdot g(\mathbf {b} )=-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}

comparar:

x · a = 0 => x perpendicular a; x · (a · b) = 0 => x perpendicular a y x perpendicular b
x∧a = 0 => x paralelo a a; x∧(a∧b) = 0 => x paralelo a a o a b (o a alguna combinación lineal )

Las representaciones del producto interno y del producto externo están relacionadas por dualización.

x∧A = 0 <=> x . A* = 0 ( verificación : funciona si x es unidimensional y A es n-1dimensional)

g(x) . A = 0

Un punto : el lugar geométrico de x en R ³ es un punto si A en R ^4,1 es un vector en el cono nulo.

(Nota: dado que se trata de un espacio proyectivo homogéneo, los vectores de cualquier longitud en un rayo que pasa por el origen son equivalentes, por lo que g(x).A = 0 es equivalente a g(x).g(a) = 0).

Una esfera : el lugar geométrico de x es una esfera si A = S, un vector que sale del cono nulo.
Si $\mathbf {S} =g(\mathbf {a} )-{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}\mathbf {e} _{\infty }$ entonces S . X = 0 => $-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {a} -\mathbf {x} )^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho ^{2}=0$
Estos son los puntos que corresponden a una esfera.
Para un vector S que parte del cono nulo, ¿qué direcciones son hiperbólicamente ortogonales? (véase la imagen de la transformación de Lorentz )
En 2+1 D, si S es (1,a,b), (usando coordenadas e-, {e+, e _i }), los puntos hiperbólicamente ortogonales a S son aquellos euclidianos ortogonales a (−1,a,b), es decir, un plano; o en n dimensiones, un hiperplano que pasa por el origen. Esto cortaría otro plano que no pasa por el origen en una línea (una hipersuperficie en una superficie n -2), y luego el cono en dos puntos (respectivamente, algún tipo de superficie cónica n -3). Así que probablemente se verá como algún tipo de cónica. Esta es la superficie que es la imagen de una esfera bajo g .
Un plano : el lugar _geométrico de x es un plano si A = P , un vector con componente n₀ cero . En un espacio proyectivo homogéneo, dicho vector P representa un vector en el plano n₀ ₌ 1 que estaría infinitamente lejos del origen (es decir, infinitamente fuera del cono nulo), por lo que g(x)·P = 0 corresponde a x en una esfera de radio infinito, un plano. En particular:

$\mathbf {P} ={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }$ corresponde a x en un plano con normal ${\hat {\mathbf {a} }}$ una distancia ortogonal α desde el origen.
$\mathbf {P} =g(\mathbf {a} )-g(\mathbf {b} )$ corresponde a un plano a medio camino entre a y b , con normal a - b

círculos
planos tangentes
pauta
líneas en el infinito
pares de puntos

Transformaciones

reflexiones

Se puede verificar que la formación de P g( x ) P da una nueva dirección en el cono nulo, g( x' ), donde x' corresponde a una reflexión en el plano de puntos p en R ³ que satisfacen g( p ) . P = 0.

g( x ) . A = 0 => P g( x ) . A P = 0 => P g( x ) P . P A P (y de manera similar para el producto de cuña), por lo que el efecto de aplicar P de forma sándwich a cualquiera de las cantidades A en la sección anterior es de manera similar a reflejar el lugar geométrico correspondiente de los puntos x , por lo que los círculos, esferas, líneas y planos correspondientes a tipos particulares de A se reflejan exactamente de la misma manera que aplicar P a g( x ) refleja un punto x .

Esta operación de reflexión se puede utilizar para construir traslaciones y rotaciones generales:

traducciones

La reflexión en dos planos paralelos produce una traslación,

g(\mathbf {x} ^{\prime })=\mathbf {P} _{\beta }\mathbf {P} _{\alpha }\;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {P} _{\alpha }\mathbf {P} _{\beta }

Si

\mathbf {P} _{\alpha }={\hat {\mathbf {a} }}+\alpha \mathbf {e} _{\infty }

y

\mathbf {P} _{\beta }={\hat {\mathbf {a} }}+\beta \mathbf {e} _{\infty }

entonces

\mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +2(\beta -\alpha ){\hat {\mathbf {a} }}

rotaciones

g(\mathbf {x} ^{\prime })={\hat {\mathbf {b} }}{\hat {\mathbf {a} }}\;g(\mathbf {x} )\;{\hat {\mathbf {a} }}{\hat {\mathbf {b} }}

corresponde a un x' que se rota alrededor del origen un ángulo 2 θ donde θ es el ángulo entre a y b , el mismo efecto que tendría este rotor si se aplicara directamente a x .

rotaciones generales

Las rotaciones alrededor de un punto general se pueden lograr trasladando primero el punto al origen, luego rotando alrededor del origen y luego trasladando el punto de vuelta a su posición original, es decir, un proceso de intercalación realizado por el operador.

\mathbf {TR{\tilde {T}}}

entonces

g({\mathcal {G}}x)=\mathbf {TR{\tilde {T}}} \;g(\mathbf {x} )\;\mathbf {T{\tilde {R}}{\tilde {T}}}

tornillos

El efecto de un tornillo o motor (una rotación alrededor de un punto general, seguida de una traslación paralela al eje de rotación) se puede lograr intercalando g( x ) mediante el operador.

\mathbf {M} =\mathbf {T_{2}T_{1}R{\tilde {T_{1}}}}

.

M también puede ser parametrizado

\mathbf {M} =\mathbf {T^{\prime }R^{\prime }}

( Teorema de Chasles )

inversiones

Una inversión es una reflexión en una esfera; en geometría inversiva se analizan diversas operaciones que se pueden realizar mediante dichas inversiones . En particular, la combinación de la inversión con las transformaciones euclidianas de traslación y rotación es suficiente para expresar cualquier mapeo conforme , es decir, cualquier mapeo que preserve universalmente los ángulos ( teorema de Liouville ).

dilataciones

Dos inversiones con el mismo centro producen una dilatación .

Generalizaciones

Historia

Conferencias y revistas

Existe una comunidad dinámica e interdisciplinaria en torno a las álgebras de Clifford y geométricas, con una amplia gama de aplicaciones. Las principales conferencias sobre este tema incluyen la Conferencia Internacional sobre Álgebras de Clifford y sus Aplicaciones en Física Matemática (ICCA) y la serie de conferencias sobre Aplicaciones del Álgebra Geométrica en Informática e Ingeniería (AGACSE) . Una de las principales publicaciones es la revista Advances in Applied Clifford Algebras de Springer .

Notas

↑ Para mayor claridad, este subespacio homogéneo incluye vectores no nulos, que no corresponden a ningún punto en el espacio base.
↑ La aplicación también puede escribirse $F : x \to -(x - e +) n \infty (x - e +)$ , como se indica en Hestenes y Sobczyk (1984), p.303.^{[ 1 ]} La equivalencia de las dos formas se señala en Lasenby y Lasenby (2000).^{[ 2 ]}

Referencias

↑ Hestenes, David y Garret Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics . Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.
↑ Lasenby, AN y Lasenby, J (2000), Evolución y representación de superficies mediante álgebra geométrica ; en The Mathematics of Surfaces IX: 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 de septiembre de 2000 , pp. 144–168
↑ Chris Doran (2003), Combinación de círculos y esferas con álgebra geométrica conforme
^ Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 140.ISBN 9780191085789.

Bibliografía

Libros

Hestenes et al. (2000), en G. Sommer (ed.), Geometric Computing with Clifford Algebra . Springer Verlag. ISBN 3-540-41198-4( Libros de Google ) ( https://davidhestenes.net/geocalc/html/UAFCG.html Sitio web de Hestenes)
- Capítulo 1: Nuevas herramientas algebraicas para la geometría clásica.
- Capítulo 2: Coordenadas homogéneas generalizadas para la geometría computacional
- Capítulo 3: Geometría conforme esférica con álgebra geométrica
- Capítulo 4: Un modelo universal para geometrías conformes de espacios euclidianos, esféricos y doblemente hiperbólicos.
Hestenes (2001), en E. Bayro-Corrochano y G. Sobczyk (eds.), Avances en álgebra geométrica con aplicaciones en ciencia e ingeniería , Springer Verlag. ISBN 0-8176-4199-8Libros de Google
- Vino viejo en botellas nuevas (págs. 1-14)
Hestenes (2010), en E. Bayro-Corrochano y G. Scheuermann (2010), Computación con álgebra geométrica en ingeniería e informática . Springer Verlag. ISBN 1-84996-107-7( Libros de Google ).
- Nuevas herramientas para la geometría computacional y revitalización de la teoría de tornillos.
Doran, C. y Lasenby, A. (2003), Álgebra geométrica para físicos , Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1§10.2; pág. 351 y siguientes
Dorst, L. et al (2007), Álgebra geométrica para informática , Morgan-Kaufmann. ISBN 0-12-374942-5Capítulo 13; pág. 355 y siguientes
Vince, J. (2008), Álgebra geométrica para gráficos por computadora , Springer Verlag. ISBN 1-84628-996-3Capítulo 11; pág. 199 y siguientes
Perwass, C. (2009), Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería , Springer Verlag. ISBN 3-540-89067-X§4.3: pág. 145 y siguientes
Bayro-Corrochano, E. y Scheuermann G. (2010, eds.), Computación con álgebra geométrica en ingeniería e informática . Springer Verlag. ISBN 1-84996-107-7págs. 3–90
Bayro-Corrochano (2010), Computación geométrica para transformadas wavelet, visión robótica, aprendizaje, control y acción . Springer Verlag. ISBN 1-84882-928-0Capítulo 6; págs. 149–183
Dorst, L. y Lasenby, J. (2011, eds.), Guía de álgebra geométrica en la práctica . Springer Verlag, pp. 3–252. ISBN 978-0-85729-810-2.
Dietmar Hildenbrand (2013). Fundamentos del cálculo del álgebra geométrica . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-31793-4.

Recursos en línea

Wareham, R. (2006), Gráficos por computadora usando álgebra geométrica conforme , tesis doctoral, Universidad de Cambridge, pp. 14–26, 31—67
Bromborsky, A. (2008), Geometría conforme mediante álgebra geométrica (Diapositivas en línea)
Dell'Acqua, A. et al (2008), Movimiento 3D a partir de estructuras de puntos, líneas y planos , Image and Vision Computing , 26 529–549
Dorst, L. (2010), Tutorial: Representación que preserva la estructura de movimientos euclidianos a través del álgebra geométrica conforme , en E. Bayro-Corrochano, G. Scheuermann (eds.), Computación de álgebra geométrica , Springer Verlag.
Colapinto, P. (2011), VERSOR Spatial Computing with Conformal Geometric Algebra , tesis de maestría, Universidad de California Santa Bárbara
Macdonald, A. (2013), Un estudio del álgebra geométrica y el cálculo geométrico . (Notas en línea) §4.2: pág. 26 y siguientes.
sobre el álgebra motora sobre R ⁿ⁺¹ :
- Eduardo Bayro Corrochano (2001), Computación geométrica para sistemas de acción-percepción: conceptos, algoritmos y aplicaciones científicas . ( Google Books )

[1] Para mayor claridad, este subespacio homogéneo incluye vectores no nulos, que no corresponden a ningún punto en el espacio base.

[4] La aplicación también puede escribirse $F : x \to -(x - e +) n \infty (x - e +)$ , como se indica en Hestenes y Sobczyk (1984), p.303.^{[ 1 ]} La equivalencia de las dos formas se señala en Lasenby y Lasenby (2000).^{[ 2 ]}

[2] Hestenes, David y Garret Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics . Dordrecht: Reidel; pp. 302–303.

[3] Lasenby, AN y Lasenby, J (2000), Evolución y representación de superficies mediante álgebra geométrica ; en The Mathematics of Surfaces IX: 9th IMA Conference, Cambridge, 4–7 de septiembre de 2000 , pp. 144–168

[5] Chris Doran (2003), Combinación de círculos y esferas con álgebra geométrica conforme

[6] Jayme Vaz, Jr.; Roldão da Rocha, Jr. (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 140.ISBN 9780191085789.

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