Diagrama de Penrose

En física teórica , un diagrama de Penrose (llamado así en honor al físico matemático Roger Penrose ) es un diagrama bidimensional que representa las relaciones causales entre diferentes puntos del espaciotiempo mediante un tratamiento conforme del infinito. Es una extensión (adecuada para los espaciotiempos curvos de, por ejemplo, la relatividad general ) del diagrama de Minkowski de la relatividad especial, donde la dimensión vertical representa el tiempo y la dimensión horizontal representa una dimensión espacial. Con este diseño, todos los rayos de luz siguen una trayectoria de 45°.${\displaystyle (c=1)}$Localmente, la métrica en un diagrama de Penrose es conformemente equivalente a la métrica del espaciotiempo representado. El factor conforme se elige de tal manera que todo el espaciotiempo infinito se transforma en un diagrama de Penrose de tamaño finito, con infinito en el límite del diagrama. Para espaciostiempos con simetría esférica , cada punto en el diagrama de Penrose corresponde a una esfera bidimensional.${\displaystyle (\theta,\phi)}$.

Si bien los diagramas de Penrose comparten el mismo sistema básico de coordenadas vectoriales que otros diagramas espaciotemporales para un espaciotiempo local asintóticamente plano , introducen un sistema mediante el cual las distancias espaciotemporales consideradas infinitamente lejanas se compactan en ubicaciones finitas dentro del diagrama. Por lo tanto, las líneas rectas de coordenadas de tiempo constante y las líneas rectas de coordenadas de espacio constante se convierten en curvas que parecen converger en puntos en las esquinas del diagrama. Estos puntos y límites representan el infinito conforme para el espaciotiempo, concepto introducido por primera vez por Penrose en 1963. ^{[ 1 ]}

Los diagramas de Penrose se denominan más propiamente (aunque con menos frecuencia) diagramas de Penrose-Carter (o diagramas de Carter-Penrose ), ^{[ 2 ]} en reconocimiento a Brandon Carter y Roger Penrose, quienes fueron los primeros investigadores en utilizarlos. También se les llama diagramas conformes o simplemente diagramas espaciotemporales (aunque este último término puede referirse a los diagramas de Minkowski ).

Dos líneas trazadas en ángulos de 45° deberían intersecarse en el diagrama solo si los dos rayos de luz correspondientes se intersecan en el espaciotiempo real. Por lo tanto, un diagrama de Penrose puede usarse como una ilustración concisa de las regiones del espaciotiempo que son accesibles a la observación. Las líneas límite diagonales de un diagrama de Penrose corresponden a la región llamada " infinito nulo " o a singularidades donde deben terminar los rayos de luz. Así, los diagramas de Penrose también son útiles en el estudio de las propiedades asintóticas de los espaciotiempos y las singularidades. Un universo de Minkowski estático infinito , coordenadas${\displaystyle (x,t)}$está relacionado con las coordenadas de Penrose${\displaystyle (u,v)}$por:

${\displaystyle \tan(u\pm v)=x\pm t}$

Las esquinas del diagrama de Penrose, que representan los infinitos conformes de tipo espacial y de tipo temporal, son:${\displaystyle \pi /2}$desde el origen.

Los diagramas de Penrose se utilizan frecuentemente para ilustrar la estructura causal de los espaciotiempos que contienen agujeros negros . Las singularidades en la solución de Schwarzschild se representan mediante un límite espacial, a diferencia del límite temporal que se encuentra en los diagramas de espaciotiempo convencionales. Esto se debe al intercambio de coordenadas temporales y espaciales dentro del horizonte de un agujero negro (ya que el espacio es unidireccional dentro del horizonte, al igual que el tiempo es unidireccional fuera de él). La singularidad se representa mediante un límite espacial para dejar claro que, una vez que un objeto ha cruzado el horizonte, inevitablemente chocará con la singularidad, incluso si intenta realizar maniobras evasivas.

Los diagramas de Penrose se utilizan a menudo para ilustrar el hipotético puente de Einstein-Rosen que conecta dos universos separados en la solución del agujero negro de Schwarzschild máximamente extendido . Los precursores de los diagramas de Penrose fueron los diagramas de Kruskal - Szekeres . (El diagrama de Penrose añade al diagrama de Kruskal y Szekeres la compresión conforme de las regiones del espaciotiempo plano lejos del agujero). Estos introdujeron el método de alinear el horizonte de sucesos en horizontes pasado y futuro orientados en ángulos de 45° (ya que se necesitaría viajar más rápido que la luz para cruzar desde el radio de Schwarzschild de vuelta al espaciotiempo plano); y dividir la singularidad en líneas horizontales pasadas y futuras (ya que la singularidad "corta" todos los caminos hacia el futuro una vez que se entra en el agujero).

El puente de Einstein-Rosen se cierra (formando singularidades futuras) con tal rapidez que el paso entre las dos regiones exteriores asintóticamente planas requeriría una velocidad superior a la de la luz, por lo que resulta imposible. Además, los rayos de luz con un fuerte desplazamiento hacia el azul (denominados lámina azul ) harían imposible el paso a través de él.

La solución de máxima extensión no describe un agujero negro típico creado a partir del colapso de una estrella, ya que la superficie de la estrella colapsada reemplaza el sector de la solución que contiene la geometría del agujero blanco orientada hacia el pasado y otro universo.

Si bien el paso básico de un agujero negro estático , similar al del espacio, no puede ser atravesado, los diagramas de Penrose para soluciones que representan agujeros negros rotatorios y/o cargados eléctricamente ilustran los horizontes de eventos internos de estas soluciones (ubicados en el futuro) y singularidades orientadas verticalmente, que abren lo que se conoce como un "agujero de gusano" temporal que permite el paso a universos futuros. En el caso del agujero rotatorio, al entrar en él cerca de su eje de rotación, se puede acceder a un universo "negativo" a través de una singularidad anular (que aún se representa como una línea en el diagrama). Sin embargo, estas características de las soluciones no son estables ante perturbaciones y no se consideran una descripción realista de las regiones internas de dichos agujeros negros; la verdadera naturaleza de sus interiores sigue siendo una incógnita .

• Causalidad
• Estructura causal
• Cosmología cíclica conforme
• Transformación de Weyl

• D'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein (  Ed. reimpresa). Oxford: Clarendon Press . ISBN 978-0-19-859686-8.Consulte el Capítulo 17 (y varias secciones posteriores) para obtener una introducción muy legible al concepto de infinito conforme, además de ejemplos.
• Frauendiener, Jörg (2004). "Infinito Conforme" . Living Reviews in Relativity . 7 (1) 1. Bibcode : 2004LRR.....7....1F . doi : 10.12942/ lrr -2004-1 . ISSN 2367-3613 . PMC 5256109. PMID 28179863 .   
• Carter, Brandon (1966). "Extensión analítica completa del eje de simetría de la solución de Kerr de las ecuaciones de Einstein" . Physical Review . 141 (4): 1242– 1247. Bibcode : 1966PhRv..141.1242C . doi : 10.1103/PhysRev.141.1242 . ISSN 0031-899X .  Véase también la versión en línea (requiere suscripción para acceder).
• Hawking, Stephen W.; Ellis, George FR; Hawking, SW y Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Monografías de Cambridge sobre física matemática (21.ª  ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-09906-6.Consulte el Capítulo 5 para obtener una explicación muy clara de los diagramas de Penrose (término utilizado por Hawking y Ellis) con numerosos ejemplos.
• Kaufmann, William J. III (1977). Las fronteras cósmicas de la relatividad general . Little Brown & Co. ISBN 978-0-316-48341-4.Explica detalladamente la transición desde los diagramas simples de Minkowski a los diagramas de Kruskal -Szekeres y a los diagramas de Penrose, y profundiza en los hechos y la ficción relacionados con los agujeros de gusano. Incluye numerosas ilustraciones fáciles de entender. Un libro menos extenso, pero igualmente informativo, es el de William J. Kaufmann (1979). Black Holes and Warped Spacetime . San Francisco: WH Freeman and Company . ISBN 978-0-7167-1152-0.

• Diagramas conformes – Introducción a los diagramas conformes, serie de miniconferencias de Pau Amaro Seoane
• Contenido multimedia relacionado con los diagramas de Penrose en Wikimedia Commons.