Álgebra de congruencia-permutación

En álgebra universal , un álgebra permutable por congruencias es un álgebra cuyas congruencias conmutan bajo composición . Esta simetría tiene varias caracterizaciones equivalentes que facilitan el análisis de dichas álgebras. Muchas variedades de álgebras conocidas , como la variedad de grupos , consisten en álgebras permutables por congruencias, pero algunas, como la variedad de retículos , tienen miembros que no son permutables por congruencias.

Dado un álgebra${\displaystyle \mathbf {A} }$, un par de congruencias${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {Con} (\mathbf {A} )}$Se dice que permutan cuando${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$. ^{[ 1 ] : 121} Un álgebra${\displaystyle \mathbf {A} }$se denomina congruencia-permutable cuando cada par de congruencias de${\displaystyle \mathbf {A} }$permutar. ^{[ 1 ] : 122} Una variedad de álgebras${\displaystyle {\mathcal {V}}}$se denomina congruencia-permutable cuando cada álgebra en${\displaystyle {\mathcal {V}}}$es congruente-permutable. ^{[ 1 ] : 122}

En 1954, Maltsev proporcionó otras dos condiciones equivalentes a la anterior, que definen una variedad de álgebras permutables por congruencia. Esto dio inicio al estudio de las variedades permutables por congruencia. ^{[ 1 ] : 122}

La mayoría de las variedades clásicas en álgebra abstracta , como los grupos ^{[ 1 ] : 123} , los anillos ^{[ 1 ] : 123} y las álgebras de Lie son permutables por congruencia. Cualquier variedad que contenga una operación de grupo es permutable por congruencia, y el término de Maltsev es${\displaystyle xy^{-1}z}$.

Vista como un retículo, la cadena con tres elementos no es congruente-permutable y, por lo tanto, tampoco lo es la variedad de retículos. ^{[ 1 ] : 123}