Ideal de congruencia

En álgebra , el ideal de congruencia de un homomorfismo de anillos sobreyectivos f : B → C de anillos conmutativos es la imagen bajo f del anulador del núcleo de f .     

Se denomina ideal de congruencia porque cuando B es un álgebra de Hecke y f es un homomorfismo correspondiente a una forma modular , el ideal de congruencia describe las congruencias entre la forma modular de f y otras formas modulares.

• Supongamos que C y D son anillos con homomorfismos a un anillo E , y sea B = C × _E D el retroceso, dado por el subanillo de C × D de pares ( c , d ) donde c y d tienen la misma imagen en E. Si f es la proyección natural de B a C , entonces el núcleo es el ideal J de elementos (0, d ) donde d tiene imagen 0 en E. Si J tiene anulador 0 en D , entonces su anulador en B es simplemente el núcleo I de la aplicación de C a E. Por lo tanto , el ideal de congruencia de f es el ideal ( I , 0) de B.
• Supongamos que B es el álgebra de Hecke generada por los operadores de Hecke T _n que actúan sobre el espacio bidimensional de formas modulares de nivel 1 y peso 12. Este espacio es bidimensional, generado por las formas propias dadas por la serie de Eisenstein E ₁₂ y el discriminante modular Δ. La aplicación que toma un operador de Hecke T _n a sus valores propios (σ ₁₁ ( n ),τ( n )) da un homomorfismo de B en el anillo Z × Z (donde τ es la función tau de Ramanujan y σ ₁₁ ( n ) es la suma de las potencias 11 de los divisores de n ). La imagen es el conjunto de pares ( c , d ) con c y d congruentes módulo 619 debido a la congruencia de Ramanujan σ ₁₁ ( n ) ≡ τ( n ) mod 691. Si f es el homomorfismo que toma ( c , d ) a c en Z , entonces el ideal de congruencia es (691). Por lo tanto, el ideal de congruencia describe las congruencias entre las formas E ₁₂ y Δ.

• Lenstra, HW (1995), "Intersecciones completas y anillos de Gorenstein", en Coates, John (ed.), Curvas elípticas, formas modulares y el último teorema de Fermat (Hong Kong, 1993) , Ser. Teoría de números, I, Int. Press, Cambridge, MA, pp. 99–109 , ISBN  1-57146-026-8, MR 1363497 , Zbl 0860.13012