Coordenadas cónicas

Las coordenadas cónicas , a veces llamadas coordenadas esferocónicas o esferocónicas , son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que consiste en esferas concéntricas (descritas por su radio r ) y por dos familias de conos elípticos perpendiculares, alineados a lo largo de los ejes z y x , respectivamente. La intersección entre uno de los conos y la esfera forma una cónica esférica .

Las coordenadas cónicas están definidas por ${\displaystyle (r,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu}{bc}}}$

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}$

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}}$

con las siguientes limitaciones en las coordenadas

${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}$

Las superficies de r constante son esferas de ese radio centradas en el origen.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

mientras que las superficies de constantes y son conos mutuamente perpendiculares ${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \nu}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}$

y

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.}$

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace como la ecuación de Helmholtz son separables.

El factor de escala para el radio r es uno ( h _r = 1 ), como en coordenadas esféricas . Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}$

y

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}$

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• Descripción de las coordenadas cónicas en MathWorld