Refracción cónica

Para mayor claridad notacional, defina${\displaystyle a=n_{x}^{-2}-n_{y}^{-2},b=n_{y}^{-2}-n_{z}^{-2}}$Esta superficie también se conoce como superficie de onda de Fresnel .

Dado un cristal biaxial con los tres índices de refracción principales${\ Displaystyle n_ {x} <n_ {y} <n_ {z}}$. Para cada dirección posible${\displaystyle {\hat {k}}}$de ondas planas que se propagan en el cristal, tiene una cierta velocidad de grupo${\displaystyle v_{g}({\hat {k}})}$. El índice de refracción a lo largo de esa dirección se define como${\displaystyle n({\hat {k}})=c/v_{g}({\hat {k}})}$.

Definamos ahora la superficie de vectores de onda como el siguiente conjunto de puntos.$${\displaystyle \{n({\hat {k}}){\hat {k}}:{\hat {k}}\in {\text{esfera de radio 1}}\}}$$En general, hay dos velocidades de grupo a lo largo de cada dirección del vector de onda. Para encontrarlas, dibuje el plano perpendicular a${\displaystyle {\hat {k}}}$Los índices son los ejes mayor y menor de la elipse de intersección entre el plano y el elipsoide índice. En precisamente 4 direcciones, la intersección es un círculo (estos son los ejes donde desaparece la doble refracción, como descubrió Brewster, lo que les valió el nombre de "biaxial"), y las dos láminas de la superficie de vectores de onda colisionan en un punto cónico.

Para ser más precisos, la superficie de vectores de onda satisface la siguiente ecuación de grado 4 (, ^{[ 9 ]} página 346):$${\displaystyle (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})(n_{x}^{2}k_{x}^{2}+n_{y}^{2}k_{y}^{2}+n_{z}^{2}k_{z}^{2})-(n_{y}^{2}+n_{z}^{2})n_{x}^ {2}k_{x}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{x}^{2})n_{y}^{2}k_{y}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})n_{z}^{2}k_{z}^{2}+(n_{x}n_{y}n_{z})^{2}=0}$$o equivalentemente,$${\displaystyle \sum _{i}{\frac {n_{i}^{2}k_{i}^{2}}{\|k\|^{2}-n_{i}^{2}}}=0}$$

En general, a lo largo de una dirección fija.${\textstyle {\hat {k}}}$, existen dos posibles vectores de onda: La onda lenta${\textstyle n_{+}{\hat {k}}}$y la onda rápida${\textstyle n_{-}{\hat {k}}}$, dónde${\textstyle n_{+}}$es el semieje mayor, y${\textstyle n_{-}}$es el menor.

Tapón${\textstyle {\vec {k}}=n{\hat {k}}}$en la ecuación de${\textstyle {\vec {k}}}$, obtenemos una ecuación cuadrática en${\textstyle n^{2}}$:$${\displaystyle \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+\cdots \right)n^{4}-\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{z}^{2}}}+\cdots \right)n^{2}+1=0}$$que tiene dos soluciones${\displaystyle n_{-}^{2},n_{+}^{2}}$. En exactamente cuatro direcciones, los dos vectores de onda coinciden, porque el plano perpendicular a${\textstyle {\hat {k}}}$interseca el elipsoide índice en un círculo. Estas direcciones son${\textstyle {\hat {k}}=(\pm \cos \theta ,0,\pm \sin \theta )}$dónde${\textstyle \sin ^{2}\theta ={\frac {b}{a+b}}}$, en ese momento${\textstyle n_{-}=n_{+}=n_{y}}$.

Expandiendo la ecuación de la superficie en un entorno de${\textstyle {\vec {k}}=(n_{y}\cos \theta ,0,n_{y}\sin \theta )}$Obtenemos así la geometría local de la superficie, que es un cono subtendido por un círculo.

Además, existen 4 planos, cada uno de los cuales es tangente a la superficie en un círculo completo (una cónica de tropo , como se define más adelante). Estos planos tienen la ecuación (, ^{[ 9 ]} páginas 349–350)$${\displaystyle k_{x}{\sqrt {n_{y}^{2}-n_{x}^{2}}}\pm k_{z}{\sqrt {n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}=\pm n_{y}{\sqrt {n_{z}^{2}-n_{x}^{2}}}}$$o equivalentemente,${\textstyle n_{x}k_{x}{\sqrt {a}}\pm n_{z}k_{z}{\sqrt {b}}=\pm n_{x}n_{z}{\sqrt {a+b}}}$y los 4 círculos son la intersección de esos planos con el elipsoide.$${\displaystyle (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2}=0}$$Los 4 círculos tienen radio${\displaystyle n_{y}^{-1}{\sqrt {(n_{y}^{2}-n_{x}^{2})(n_{z}^{2}-n_{y}^{2})}}=n_{x}n_{z}{\sqrt {ab}}}$.

[Prueba]

Al diferenciar su ecuación, encontramos que los puntos en la superficie de los vectores de onda, donde el plano tangente es paralelo a la${\textstyle k_{y}}$eje, satisface$${\displaystyle k_{y}((n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2})=0}$$Es decir, es la unión de los${\textstyle k_{x}k_{z}}$-plano y un elipsoide.

Así, tales puntos en la superficie de los vectores de onda tienen dos partes: Cada punto con${\textstyle k_{y}=0}$y cada punto que interseca con el elipsoide auxiliar$${\displaystyle (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2}=0}$$

Utilizando la ecuación del elipsoide auxiliar para eliminar${\textstyle k_{y}^{2}}$A partir de la ecuación de la superficie del vector de onda, obtenemos otra ecuación de grado 4, que se divide en el producto de 4 planos:$${\displaystyle k_{z}\pm k_{x}{\sqrt {\frac {n_{y}^{2}-n_{x}^{2}}{n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}}\pm n_{y}{\sqrt {\frac {n_{z}^{2}-n_{x}^{2}}{n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}}}$$

Así, obtenemos 4 elipses: las 4 intersecciones planas con el elipsoide auxiliar. Todas estas elipses existen en la superficie del vector de onda, y la superficie del vector de onda tiene un plano tangente paralelo a la${\textstyle k_{y}}$eje en esos puntos. Mediante cálculo directo, estas elipses son círculos.

Resta verificar que el plano tangente también sea paralelo al plano del círculo.

Dejar${\textstyle P_{0}}$ser uno de esos 4 aviones, y dejar${\textstyle {\vec {k}}}$ser un punto en el círculo en${\textstyle P_{0}}$. Si${\textstyle k_{y}\neq 0}$, entonces, dado que el círculo está en la superficie, el plano tangente${\textstyle P}$a la superficie en${\textstyle {\vec {k}}}$debe contener la línea tangente${\textstyle l}$al círculo en${\textstyle {\vec {k}}}$Además, el avión${\textstyle P}$También debe contener${\textstyle l_{y}}$, la línea pasa${\textstyle {\vec {k}}}$que es paralelo a la${\textstyle k_{y}}$eje. Por lo tanto, el plano${\textstyle P}$está abarcado por${\textstyle l_{y}}$y${\textstyle l}$, que es precisamente el plano${\textstyle P_{0}}$. Esto se extiende luego por continuidad al caso de${\textstyle k_{y}=0}$.

Podemos imaginar la superficie como una ciruela pasa , con cuatro pequeñas hendiduras o hoyuelos. Al colocar la ciruela pasa sobre un escritorio plano, tocaría el escritorio en un punto de un círculo que cubre uno de los hoyuelos.

En resumen, la superficie de vectores de onda tiene puntos singulares en${\textstyle {\hat {k}}=(\pm \cos \theta ,0,\pm \sin \theta )}$dónde${\textstyle \theta =\arctan {\sqrt {b/a}}}$. El plano tangente especial a la superficie la toca en dos puntos que forman un ángulo de${\displaystyle \arctan {\frac {n_{x}}{n_{z}}}{\sqrt {b/a}}}$y${\displaystyle \arctan {\frac {n_{z}}{n_{x}}}{\sqrt {b/a}}}$, respectivamente. ^{[ 13 ]}

El ángulo del cono de onda, es decir, el ángulo del cono de refracción cónica interna, es${\textstyle A_{internal}=\arctan n_{y}^{2}{\sqrt {ab}}}$. ^{[ 13 ]} Nótese que el cono es un cono oblicuo . Su vértice es perpendicular a su base en un punto de la circunferencia (en lugar del centro de la circunferencia).

La superficie de los vectores de rayos es la superficie dual polar de la superficie de los vectores de onda. Su ecuación se obtiene reemplazando${\displaystyle n_{i}}$con${\displaystyle n_{i}^{-1}}$en la ecuación para la superficie de vectores de onda. ^{[ 1 ]} Es decir,$${\displaystyle (r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2})(n_{x}^{-2}r_{x}^{2}+n_{y}^{-2}r_{y}^{2}+n_{z}^{-2}r_{z}^{2})-(n_{y}^{-2}+n_{z}^{-2})n_{x}^{-2}r_{x}^{2}-(n_{z}^{-2}+n_{x}^{-2})n_{y}^{-2}r_{y}^{2}-(n_{x}^{-2}+n_{y}^{-2})n_{z}^{-2}r_{z}^{2}+(n_{x}n_{y}n_{z})^{2}=0}$$Todos los resultados anteriores se aplican con la misma modificación. Las dos superficies están relacionadas por su dualidad:

• Los cuatro planos especiales tangentes a la superficie de los vectores de onda en un círculo corresponden a los 4 puntos conoidales en la superficie de los vectores de rayos.
• Los cuatro puntos cónicos en la superficie de los vectores de onda corresponden a los 4 planos tangentes a la superficie de los vectores de rayos en un círculo.

En los cristales típicos, la diferencia entre${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$es pequeño. En este caso, el punto conoidal se encuentra aproximadamente en el centro del círculo tangente que lo rodea. Por lo tanto, el cono de luz (tanto en el caso de refracción interna como externa) es aproximadamente circular.

En el caso de refracción cónica externa, tenemos un rayo que se divide en un cono de ondas planas, cada una correspondiente a un punto en el círculo tangente de la superficie del vector de onda. Hay un círculo tangente para cada uno de los cuatro cuadrantes. Tomemos el que tiene${\displaystyle k_{x},k_{z}>0}$, entonces tomemos un punto en él. Sea el punto${\displaystyle {\vec {k}}}$.

Para encontrar la dirección de polarización de la onda plana en la dirección${\displaystyle {\vec {k}}}$, tome la intersección del elipsoide índice y el plano perpendicular a${\displaystyle {\vec {k}}}$. La dirección de polarización es la dirección del eje mayor de la elipse de intersección entre el plano perpendicular a${\displaystyle {\vec {k}}}$y el elipsoide índice.

Por lo tanto, el${\displaystyle {\vec {k}}}$con el más alto${\displaystyle k_{z}}$corresponde a una luz polarizada paralela a la${\displaystyle k_{y}}$dirección y la${\displaystyle {\vec {k}}}$con el más bajo${\displaystyle k_{z}}$corresponde a una luz polarizada en una dirección perpendicular a ella. En general, girando alrededor del círculo de luz un ángulo de${\displaystyle \phi }$rotaría la dirección de polarización aproximadamente${\displaystyle \phi /2}$.

Esto significa que girar el cono una vuelta completa cambiaría el ángulo de polarización solo media vuelta. Este es un ejemplo temprano de la fase geométrica . ^{[ 14 ] [ 15 ]} Esta fase geométrica de${\displaystyle \pi }$es observable en la diferencia del momento angular del haz, antes y después de la refracción cónica. ^{[ 16 ]}

La superficie de vectores de onda se define mediante una ecuación algebraica de grado 4 y, por lo tanto, se estudió por sí misma en la geometría algebraica clásica .

Arthur Cayley estudió la superficie en 1849. ^{[ 17 ]} La describió como un caso degenerado de superficies cuárticas tetraédricas . Estas superficies se definen como aquellas que son intersectadas por cuatro planos, formando un tetraedro. Cada plano interseca la superficie en dos cónicas. Para la superficie del vector de onda, el tetraedro degenera en un cuadrado plano. Los tres vértices del tetraedro son conjugados a las dos cónicas dentro de la cara que definen. Las dos cónicas se intersecan en 4 puntos, dando 16 puntos singulares. ^{[ 18 ]}

En general, la superficie de vectores de onda es una superficie de Kummer y se aplican todas sus propiedades. Por ejemplo: ^{[ 19 ]}

• Es proyectivamente isomorfo a su superficie dual.
• Hay como máximo 16 puntos singulares.
• Cada figura geométrica de la superficie corresponde a un punto singular en su dual. Aquí, una figura geométrica se define como una cónica doble en la superficie. En otras palabras, es el punto donde la intersección de la superficie con un plano se factoriza en un cuadrado perfecto.
• Para cada superficie de Kummer, existe una familia bidimensional de líneas, de modo que cada punto de la superficie es tangente a dos líneas de la familia. ^{[ 20 ]}

Más propiedades de la superficie de vectores de onda se encuentran en el Capítulo 10 de la referencia clásica sobre superficies de Kummer. ^{[ 21 ]}

Todo material lineal posee una ecuación de dispersión cuártica, por lo que su superficie de vector de onda es una superficie de Kummer, que puede tener como máximo 16 puntos singulares. La posible existencia de tal material se propuso en 1910, ^{[ 22 ]} y en 2016, los científicos crearon un (meta)material de este tipo y confirmaron que posee 16 direcciones para la refracción cónica. ^{[ 23 ]}