Conjetura

Las matemáticas formales se basan en verdades demostrables . En matemáticas, cualquier número de casos que apoyen una conjetura cuantificada universalmente , por grande que sea, es insuficiente para establecer su veracidad, ya que un solo contraejemplo podría refutarla inmediatamente. Las revistas matemáticas a veces publican los resultados menores de equipos de investigación que han extendido la búsqueda de un contraejemplo más allá de lo que se había hecho anteriormente. Por ejemplo, la conjetura de Collatz , que trata sobre si ciertas secuencias de enteros terminan o no, se ha probado para todos los enteros hasta 1,2 × 10¹² (1,2 ^billones ). Sin embargo, no encontrar un contraejemplo después de una búsqueda exhaustiva no constituye una prueba de que la conjetura sea verdadera, porque la conjetura podría ser falsa pero con un contraejemplo mínimo muy grande.

Sin embargo, los matemáticos suelen considerar que una conjetura está fuertemente respaldada por evidencia, aunque aún no esté probada. Dicha evidencia puede ser de diversos tipos, como la verificación de sus consecuencias o fuertes interconexiones con resultados conocidos. ^{[ 5 ]}

Una conjetura se considera probada únicamente cuando se ha demostrado que es lógicamente imposible que sea falsa. Existen diversos métodos para ello; consulte los métodos de demostración matemática para obtener más detalles.

Un método de demostración, aplicable cuando solo existe un número finito de casos que podrían generar contraejemplos, se conoce como " fuerza bruta ": en este método, se consideran todos los casos posibles y se demuestra que no producen contraejemplos. En ocasiones, el número de casos es bastante grande, en cuyo caso una demostración por fuerza bruta puede requerir, en la práctica, el uso de un algoritmo informático para verificar todos los casos. Por ejemplo, la validez de las demostraciones por fuerza bruta del teorema de los cuatro colores realizadas por ordenador en 1976 y 1997 fue inicialmente puesta en duda, pero finalmente fue confirmada en 2005 por un software de demostración de teoremas .

Cuando una conjetura se ha demostrado , deja de ser una conjetura para convertirse en un teorema . Muchos teoremas importantes fueron en su día conjeturas, como el teorema de geometrización (que resolvió la conjetura de Poincaré ), el último teorema de Fermat y otros.

Las conjeturas refutadas mediante contraejemplos a veces se denominan conjeturas falsas (véase la conjetura de Pólya y la conjetura de la suma de potencias de Euler ). En el caso de esta última, el primer contraejemplo hallado para el caso n=4 involucraba números del orden de los millones, aunque posteriormente se ha descubierto que el contraejemplo mínimo es en realidad menor.

No todas las conjeturas resultan ser verdaderas o falsas. La hipótesis del continuo , que intenta determinar la cardinalidad relativa de ciertos conjuntos infinitos , demostró ser independiente del conjunto de axiomas de Zermelo-Fraenkel, generalmente aceptados en la teoría de conjuntos. Por lo tanto, es posible adoptar esta afirmación, o su negación, como un nuevo axioma de manera consistente (de forma similar a como el postulado de las paralelas de Euclides puede considerarse verdadero o falso en un sistema axiomático de geometría).

En este caso, si una demostración utiliza esta afirmación, los investigadores suelen buscar una nueva demostración que no requiera la hipótesis (de la misma manera que es deseable que las afirmaciones en geometría euclidiana se demuestren utilizando únicamente los axiomas de la geometría neutra, es decir, sin el postulado de las paralelas). La principal excepción a esto en la práctica es el axioma de elección , ya que la mayoría de los investigadores no suelen preocuparse por si un resultado lo requiere, a menos que estén estudiando este axioma en particular.

En teoría de números , el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat , especialmente en textos más antiguos) establece que no hay tres enteros positivos${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$puede satisfacer la ecuación${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$para cualquier valor entero de${\displaystyle n}$mayor que dos.

Este teorema fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el margen de una copia de Arithmetica , donde afirmó tener una demostración demasiado extensa para caber en el margen. ^{[ 6 ]} La primera demostración exitosa fue presentada en 1994 por Andrew Wiles y publicada formalmente en 1995, tras 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos. El problema sin resolver impulsó el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX. Es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas y, antes de su demostración, figuraba en el Libro Guinness de los Récords Mundiales como uno de los "problemas matemáticos más difíciles". ^{[ 7 ]}

En matemáticas , el teorema de los cuatro colores , o teorema del mapa de cuatro colores, establece que, dada cualquier división de un plano en regiones contiguas , que produce una figura llamada mapa , no se requieren más de cuatro colores para colorear las regiones del mapa, de modo que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color. Dos regiones se llaman adyacentes si comparten un límite común que no es una esquina, donde las esquinas son los puntos compartidos por tres o más regiones. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, en el mapa de los Estados Unidos de América, Utah y Arizona son adyacentes, pero Utah y Nuevo México, que solo comparten un punto que también pertenece a Arizona y Colorado, no lo son.

Möbius mencionó el problema en sus conferencias ya en 1840. ^{[ 9 ]} La conjetura se propuso por primera vez el 23 de octubre de 1852 ^{[ 10 ]} cuando Francis Guthrie , mientras intentaba colorear el mapa de los condados de Inglaterra, notó que solo se necesitaban cuatro colores diferentes. El teorema de los cinco colores , que tiene una breve demostración elemental, afirma que cinco colores bastan para colorear un mapa y fue demostrado a finales del siglo XIX; ^{[ 11 ]} sin embargo, demostrar que cuatro colores bastan resultó ser significativamente más difícil. Han aparecido varias demostraciones falsas y contraejemplos falsos desde la primera formulación del teorema de los cuatro colores en 1852.

El teorema de los cuatro colores fue demostrado finalmente en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken . Fue el primer teorema importante que se demostró utilizando una computadora . El enfoque de Appel y Haken comenzó demostrando que existe un conjunto particular de 1936 mapas, ninguno de los cuales puede formar parte de un contraejemplo mínimo del teorema de los cuatro colores (es decir, si aparecieran, se podría crear un contraejemplo más pequeño). Appel y Haken utilizaron un programa informático específico para confirmar que cada uno de estos mapas poseía esta propiedad. Además, cualquier mapa que pudiera ser un posible contraejemplo debe tener una parte que se parezca a uno de estos 1936 mapas. Tras cientos de páginas de análisis manual, Appel y Haken concluyeron que no existe un contraejemplo mínimo porque todos deben contener, pero a la vez no contienen, uno de estos 1936 mapas. Esta contradicción implica que no existen contraejemplos y, por lo tanto, el teorema es verdadero. Inicialmente, su demostración no fue aceptada por los matemáticos porque la demostración asistida por computadora era inviable para que un humano la verificara manualmente. ^{[ 12 ]} Sin embargo, desde entonces la demostración ha ganado mayor aceptación, aunque aún persisten algunas dudas. ^{[ 13 ]}

La Hauptvermutung (conjetura principal en alemán) de la topología geométrica es la conjetura de que cualesquiera dos triangulaciones de un espacio triangulable tienen un refinamiento común, una única triangulación que es una subdivisión de ambas. Fue formulada originalmente en 1908 por Steinitz y Tietze . ^{[ 14 ]}

Ahora se sabe que esta conjetura es falsa. La versión no manifold fue refutada por John Milnor ^{[ 15 ]} en 1961 utilizando la torsión de Reidemeister .

La versión de variedad es verdadera en dimensiones m ≤ 3. Los casos m = 2 y 3 fueron demostrados por Tibor Radó y Edwin E. Moise ^{[ 16 ]} en las décadas de 1920 y 1950, respectivamente.

En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron algunas propuestas muy influyentes de André Weil ( 1949 ) sobre las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas del conteo del número de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos finitos . 

Una variedad V sobre un cuerpo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales , así como puntos sobre cada cuerpo finito con q ^k elementos que contiene dicho cuerpo. La función generadora tiene coeficientes derivados del número N _k de puntos sobre el cuerpo (esencialmente único) con q ^k elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta debían ser funciones racionales , satisfacer una forma de ecuación funcional y tener sus ceros en lugares restringidos. Los dos últimos aspectos se basaron conscientemente en la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue demostrada por Dwork (1960) , la ecuación funcional por Grothendieck (1965) y el análogo de la hipótesis de Riemann por Deligne (1974) .

En matemáticas , la conjetura de Poincaré es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera , que es la hiperesfera que delimita la bola unitaria en el espacio de cuatro dimensiones. La conjetura afirma que:

Toda 3- variedad cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera.

Una forma equivalente de la conjetura implica una forma de equivalencia más burda que el homeomorfismo, llamada equivalencia homotópica : si una 3-variedad es homotópicamente equivalente a la 3-esfera, entonces es necesariamente homeomorfa a ella.

El teorema, originalmente conjeturado por Henri Poincaré en 1904, trata sobre un espacio que localmente se asemeja al espacio tridimensional ordinario, pero que es conexo, de tamaño finito y carece de frontera (una 3-variedad cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio posee la propiedad adicional de que cada bucle puede contraerse continuamente hasta un punto, entonces necesariamente es una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace tiempo en dimensiones superiores.

Tras casi un siglo de esfuerzos por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una demostración de la conjetura en tres artículos publicados en 2002 y 2003 en arXiv . La demostración se basó en el programa de Richard S. Hamilton para intentar resolver el problema utilizando el flujo de Ricci . Posteriormente, Hamilton introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, denominada flujo de Ricci con cirugía, para extirpar sistemáticamente las regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada, pero no pudo demostrar que este método "convergiera" en tres dimensiones. ^{[ 17 ]} Perelman completó esta parte de la demostración. Varios equipos de matemáticos han verificado que la demostración de Perelman es correcta.

La conjetura de Poincaré, antes de ser demostrada, era una de las cuestiones abiertas más importantes de la topología .

En matemáticas, la hipótesis de Riemann , propuesta por Bernhard Riemann ( 1859 ) , es una conjetura que afirma que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real igual a 1/2. Este nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos . 

La hipótesis de Riemann implica resultados sobre la distribución de los números primos . Junto con generalizaciones adecuadas, algunos matemáticos la consideran el problema sin resolver más importante en matemáticas puras . ^{[ 18 ]} La hipótesis de Riemann, junto con la conjetura de Goldbach , forma parte del octavo problema de Hilbert en la lista de 23 problemas sin resolver de David Hilbert ; también es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Instituto Clay de Matemáticas .

El problema P versus NP es un importante problema sin resolver en la informática . De manera informal, plantea la pregunta de si todo problema cuya solución puede ser verificada rápidamente por una computadora también puede ser resuelto rápidamente por una computadora; se conjetura ampliamente que la respuesta es no. Fue mencionado esencialmente por primera vez en una carta de 1956 escrita por Kurt Gödel a John von Neumann . Gödel preguntó si cierto problema NP-completo podría resolverse en tiempo cuadrático o lineal. ^{[ 19 ]} La formulación precisa del problema P=NP fue introducida en 1971 por Stephen Cook en su artículo fundamental "La complejidad de los procedimientos de demostración de teoremas" ^{[ 20 ]} y es considerado por muchos como el problema abierto más importante en el campo. ^{[ 21 ]} Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio seleccionados por el Instituto Clay de Matemáticas para tener un premio de US$1,000,000 para la primera solución correcta.

• La conjetura de Goldbach
• La conjetura de los primos gemelos
• La conjetura de Collatz
• La conjetura de Manin
• La conjetura de Maldacena
• La conjetura de Euler , propuesta por Euler en el siglo XVIII, pero para la cual se encontraron contraejemplos para una serie de exponentes (comenzando con n=4) a partir de mediados del siglo XX.
• Las conjeturas de Hardy-Littlewood son un par de conjeturas sobre la distribución de los números primos, la primera de las cuales amplía la conjetura de los primos gemelos mencionada anteriormente. Ninguna de las dos ha sido probada ni refutada, pero se ha demostrado que ambas no pueden ser verdaderas simultáneamente (es decir, al menos una debe ser falsa). No se ha probado cuál es falsa, pero se cree ampliamente que la primera conjetura es verdadera y la segunda es falsa. ^{[ 22 ]}
• El programa de Langlands ^{[ 23 ]} es una extensa red de ideas de " conjeturas unificadoras " que vinculan diferentes subcampos de las matemáticas (por ejemplo, entre la teoría de números y la teoría de la representación de grupos de Lie ). Algunas de estas conjeturas han sido demostradas posteriormente.

• Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 (43): 273– 307, doi : 10.1007/BF02684373 , ISSN 1618-1913 , MR 0340258 , S2CID 123139343   
• Dwork, Bernard (1960), "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica", American Journal of Mathematics , 82 (3), American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3: 631– 648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372974 , MR 0140494   
• Grothendieck, Alexander (1995) [1965], "Formule de Lefschetz et racionalité des fonctions L", Séminaire Bourbaki , vol.  9, París: Société Mathématique de France , págs. 41 a 55, MR 1608788