Elemento conjugado (teoría de campos)

En matemáticas , en particular en teoría de cuerpos , los elementos conjugados o conjugados algebraicos de un elemento algebraico α sobre una extensión de cuerpo L / K son las raíces del polinomio mínimo p _{K , α} ( x ) de α sobre K. Los elementos conjugados se denominan comúnmente conjugados en contextos donde esto no es ambiguo. Normalmente, α mismo está incluido en el conjunto de conjugados de α .  

De forma equivalente (si L / K es normal), los conjugados de α son las imágenes de α bajo los automorfismos de cuerpo de L que dejan fijos los elementos de K. La equivalencia de ambas definiciones es uno de los puntos de partida de la teoría de Galois .

El concepto generaliza la conjugación compleja , ya que los conjugados algebraicos sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$Las partes de un número complejo son el número mismo y su conjugado complejo .

Las raíces cúbicas de la unidad son:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}$

Las dos últimas raíces son elementos conjugados en Q [ i √ 3 ] con polinomio mínimo

${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.}$

Si K se define dentro de un cuerpo algebraicamente cerrado C , entonces los conjugados pueden tomarse dentro de C. Si no se especifica ningún C , se pueden tomar los conjugados en algún cuerpo relativamente pequeño L. La elección más pequeña posible para L es tomar un cuerpo de descomposición sobre K de p _{K , α} , que contenga a α . Si L es cualquier extensión normal de K que contenga a α , entonces por definición ya contiene dicho cuerpo de descomposición.  

Dada entonces una extensión normal L de K , con grupo de automorfismos Aut( L / K ) = G , y que contiene α , cualquier elemento g ( α ) para g en G será un conjugado de α , ya que el automorfismo g envía raíces de p a raíces de p . Recíprocamente, cualquier conjugado β de α es de esta forma: en otras palabras, G actúa transitivamente sobre los conjugados. Esto se deduce de que K ( α ) es K -isomorfo a K ( β ) por irreducibilidad del polinomio mínimo, y cualquier isomorfismo de campos F y F ' que mapea el polinomio p a p ' puede extenderse a un isomorfismo de los campos de descomposición de p sobre F y p ' sobre F ' , respectivamente.

En resumen, los elementos conjugados de α se encuentran, en cualquier extensión normal L de K que contenga K ( α ), como el conjunto de elementos g ( α ) para g en Aut( L / K ). El número de repeticiones en esa lista de cada elemento es el grado separable [ L : K ( α )] _sep .

Un teorema de Kronecker establece que si α es un entero algebraico distinto de cero tal que α y todos sus conjugados en los números complejos tienen un valor absoluto como máximo de 1, entonces α es una raíz de la unidad . Existen formulaciones cuantitativas de este teorema que establecen con mayor precisión límites (dependiendo del grado) para el mayor valor absoluto de un conjugado que implica que un entero algebraico es una raíz de la unidad.

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Álgebra abstracta , 3.ª ed., Wiley, 2004.

• Weisstein, Eric W. "Elementos conjugados" . MathWorld .