automorfismo interno

En álgebra abstracta , un automorfismo interno es un automorfismo de un grupo , anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de un elemento fijo, llamado elemento conjugador . Estos automorfismos internos se pueden realizar mediante operaciones dentro del propio grupo, de ahí el adjetivo "interno". Forman un subgrupo del grupo de automorfismos, y el cociente entre el grupo de automorfismos y este subgrupo se define como el grupo de automorfismos externos .

Definición

Si $G$ es un grupo y $g$ es un elemento de $G$ (alternativamente, si $G$ es un anillo y $g$ es una unidad ), entonces la función

${\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}$

se denomina conjugación (derecha) por $g$ (véase también clase de conjugación ). Esta función es un endomorfismo de $G$ : para todo $x_{1},x_{2}\in G,$

$\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),$

donde la segunda igualdad viene dada por la inserción de la identidad entre $x_{1}$ y $x_{2}$ Además, tiene un inverso izquierdo y derecho , a saber: $\varphi _ {g^{-1}}$ . De este modo, $\varphi _{g}$ es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo , y por lo tanto un isomorfismo de $G$ consigo mismo, es decir, un automorfismo. Un automorfismo interno es cualquier automorfismo que surge de la conjugación. ^{[ 1 ]}

Al hablar de la conjugación correcta, la expresión $g^{-1}xg$ a menudo se denota exponencialmente por $x^{g}$ Esta notación se utiliza porque la composición de conjugaciones satisface la identidad: $\left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$ a pesar de $g_{1},g_{2}\in G$ . Esto demuestra que la conjugación correcta da una acción correcta de $G$ sobre sí mismo.

Un ejemplo común es el siguiente: ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Describe un homomorfismo $\Phi$ para la cual la imagen, ${\text{Estoy}}(\Phi)$ , es un subgrupo normal de automorfismos internos de un grupo $G$ ; alternativamente, describa un homomorfismo natural del cual el núcleo de $\Phi$ es el centro de $G$ (todo $g\in G$ para los cuales la conjugación por ellos devuelve el automorfismo trivial), en otras palabras, ${\text{Ker}}(\Phi )={\text{Z}}(G)$ Siempre existe un homomorfismo natural. $\Phi :G\to {\text{Aut}}(G)$ , que se asocia a cada $g\in G$ un automorfismo (interno) $\varphi _{g}$ en ${\text{Aut}}(G)$ Dicho de forma idéntica, $\Phi :g\mapsto \varphi _ {g}$ .

Dejar $\varphi _{g}(x):=gxg^{-1}$ como se definió anteriormente. Esto requiere demostrar que (1) $\varphi _{g}$ es un homomorfismo, (2) $\varphi _{g}$ es también una biyección , (3) $\Phi$ es un homomorfismo.

$\varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')$
La condición de biyectividad puede verificarse simplemente presentando una inversa tal que podamos volver a $x$ de $gxg^{-1}$ En este caso se trata de conjugación por $g^{-1}$ denotado como $\varphi _ {g^{-1}}$ .
$\Phi (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}$ y $\Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'xg'^{-1})=gg'xg'^{-1}g^{-1}=(gg')x(gg')^{-1}$

Grupos de automorfismos internos y externos

La composición de dos automorfismos internos es de nuevo un automorfismo interno, y con esta operación, la colección de todos los automorfismos internos de $G$ es un grupo, el grupo de automorfismos internos de $G$ denotado $Inn(G)$ .

$Inn(G)$ es un subgrupo normal del grupo de automorfismos completo $Aut(G)$ de $G.$ El grupo de automorfismos externos , $Out(G),$ es el grupo cociente. $\operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).$

El grupo de automorfismos externos mide, en cierto sentido, cuántos automorfismos de $G$ no son internos. Cada automorfismo no interno produce un elemento no trivial de $Out(G)$ , pero diferentes automorfismos no internos pueden producir el mismo elemento de $Out(G)$ .

Decir que la conjugación de $x$ por $a$ deja $x$ sin cambios es equivalente a decir que $a$ y $x$ conmutan: $a^{-1}xa=x\iff xa=ax$

Por lo tanto, la existencia y el número de automorfismos internos que no son la aplicación identidad es una especie de medida del fallo de la ley conmutativa en el grupo (o anillo).

Un automorfismo de un grupo $G$ es interno si y solo si se extiende a todo grupo que contiene a $G.$ ^{[ 4 ]}

Al asociar el elemento $a \in G$ con el automorfismo interno $f (x) = x a$ en $Inn(G)$ como se indicó anteriormente, se obtiene un isomorfismo entre el grupo cociente $G / Z(G)$ (donde $Z(G)$ es el centro de $G$ ) y el grupo de automorfismos internos: $G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Posada} (G)$

Esto es una consecuencia del primer teorema de isomorfismo , porque $Z(G)$ es precisamente el conjunto de aquellos elementos de $G$ que dan la aplicación identidad como automorfismo interno correspondiente (la conjugación no cambia nada).

Automorfismos no internos de $p-$ grupos finitos

Un resultado de Wolfgang Gaschütz dice que si $G es un$ $p-$ grupo no abeliano finito , entonces $G$ tiene un automorfismo de orden $p$ -potencia que no es interno.

Es un problema abierto si todo $p$ - grupo no abeliano $G$ tiene un automorfismo de orden $p$ . Esta última pregunta tiene una respuesta afirmativa siempre que $G$ tenga una de las siguientes condiciones:

$G$ es nilpotente de clase 2
$G$ es un grupo $p$ regular
$G / Z(G)$ es un $p$ -grupo poderoso
El centralizador en $G$ , $C G$ , del centro, $Z$ , del subgrupo de Frattini , $Φ$ , de $G$ , $C G \circ Z \circ Φ(G)$ , no es igual a $Φ(G)$

Tipos de grupos

El grupo de automorfismos internos de un grupo $G$ , $Inn(G)$ , es trivial (es decir, consta solo del elemento identidad ) si y solo si $G$ es abeliano .

El grupo $Inn(G)$ es cíclico solo cuando es trivial.

En el extremo opuesto del espectro, los automorfismos internos pueden agotar todo el grupo de automorfismos; un grupo cuyos automorfismos son todos internos y cuyo centro es trivial se denomina completo . Este es el caso de todos los grupos simétricos de $n$ elementos cuando $n$ no es 2 ni 6. Cuando $n = 6$ , el grupo simétrico tiene una única clase no trivial de automorfismos no internos, y cuando $n = 2$ , el grupo simétrico, a pesar de no tener automorfismos no internos, es abeliano, lo que da como resultado un centro no trivial, impidiendo que sea completo.

Si el grupo de automorfismos internos de un grupo perfecto $G$ es simple, entonces $G$ se denomina cuasisimple .

Caso de álgebra de Lie

Un automorfismo de un álgebra de Lie $𝔊$ se denomina automorfismo interno si tiene la forma $Ad g$ , donde $Ad$ es la aplicación adjunta y $g$ es un elemento de un grupo de Lie cuya álgebra de Lie es $𝔊$ . La noción de automorfismo interno para álgebras de Lie es compatible con la noción para grupos en el sentido de que un automorfismo interno de un grupo de Lie induce un único automorfismo interno del álgebra de Lie correspondiente.

Extensión

Si $G$ es el grupo de unidades de un anillo A $,$ entonces un automorfismo interno en $G puede extenderse a una aplicación en la recta proyectiva sobre A mediante el grupo de unidades del anillo de matrices M₂(A)$ $.$ En particular $,$ los automorfismos internos $de los grupos clásicos$ pueden extenderse de esa manera.

Referencias

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8OCLC 248917264
^ Parrilla, Pierre (2010). Álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 56.ISBN 978-1-4419-2450-6.
^ Lang, Serge (2002). Álgebra (3ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 26.ISBN 978-0-387-95385-4.
↑ Schupp, Paul E. (1987), "Una caracterización de los automorfismos internos" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Americana , 101 (2), Sociedad Matemática Americana: 226–228 , doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986 , MR 0902532

Lecturas adicionales

Abdollahi, A. (2010), " Los p -grupos poderosos tienen automorfismos no internos de orden p y cierta cohomología", J. Algebra , 323 (3): 779–789 , arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.10.013 , MR 2574864
Abdollahi, A. (2007), " Los p -grupos finitos de clase 2 tienen automorfismos no internos de orden p ", J. Algebra , 312 (2): 876–879 , arXiv : math/0608581 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.08.036 , MR 2333188
Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "Automorfismos no internos de orden p de grupos p finitos ", J. Algebra , 250 : 283–287 , doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR 1898386
Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen", J. Algebra , 4 : 1– 2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , SEÑOR 0193144
Liebeck, H. (1965), "Automorfismos externos en p -grupos nilpotentes de clase 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268–275 , doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.268 , MR 0173708
Remeslennikov, VN (2001) [1994], "Automorfismo interno" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Weisstein, Eric W. "Automorfismo interior" . MundoMatemático .

[1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8OCLC 248917264

[2] Parrilla, Pierre (2010). Álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 56.ISBN 978-1-4419-2450-6.

[3] Lang, Serge (2002). Álgebra (3ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 26.ISBN 978-0-387-95385-4.

[4] Schupp, Paul E. (1987), "Una caracterización de los automorfismos internos" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Americana , 101 (2), Sociedad Matemática Americana: 226–228 , doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986 , MR 0902532

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