Conjetura de Conley

En matemáticas , la conjetura de Conley , que recibe su nombre del matemático Charles Conley , es una conjetura en el campo de la geometría simpléctica , una rama de la geometría diferencial .

Dejar${\displaystyle (M,\omega )}$Sea una variedad simpléctica compacta . Un campo vectorial${\displaystyle V}$en${\displaystyle M}$Se denomina campo vectorial hamiltoniano si la 1-forma${\displaystyle \omega (V,\cdot )}$es exacto (es decir, igual al diferencial de una función)${\displaystyle H}$Un difeomorfismo hamiltoniano${\displaystyle \phi :M\to M}$es la integración de una familia de campos vectoriales hamiltonianos de un parámetro${\displaystyle V_{t},t\in [0,1]}$.

En los sistemas dinámicos , uno querría comprender la distribución de puntos fijos o puntos periódicos. Un punto periódico de un difeomorfismo hamiltoniano${\displaystyle \phi }$(de período${\displaystyle k}$) es un punto${\displaystyle x\in M}$de tal manera que${\displaystyle \phi ^{k}(x)=x}$Una característica de la dinámica hamiltoniana es que los difeomorfismos hamiltonianos tienden a tener infinitos puntos periódicos. Conley fue el primero en hacer tal conjetura para el caso en que${\displaystyle M}$es un toro. ^{[ 2 ]}

La conjetura de Conley es falsa en muchos casos sencillos. Por ejemplo, la rotación de una esfera redonda.${\displaystyle S^{2}}$por un ángulo igual a un múltiplo irracional de${\displaystyle \pi }$, que es un difeomorfismo hamiltoniano, tiene solo 2 puntos periódicos geométricamente diferentes. ^{[ 1 ]} Por otro lado, se ha demostrado para varios tipos de variedades simplécticas.

La conjetura de Conley fue demostrada por Franks y Handel para superficies con género positivo. ^{[ 3 ]} El caso del toro de dimensiones superiores fue demostrado por Hingston. ^{[ 4 ]} La demostración de Hingston inspiró la demostración de Ginzburg de la conjetura de Conley para variedades simplécticas asféricas. Posteriormente, Ginzburg-Gurel y Hein demostraron la conjetura de Conley para variedades cuya primera clase de Chern se anula en clases esféricas. Finalmente, Ginzburg-Gurel demostraron la conjetura de Conley para variedades simplécticas negativamente monótonas.