Formulario de conexión

Dejar${\displaystyle E}$sea ​​un haz vectorial de dimensión de fibra${\displaystyle k}$sobre una variedad diferenciable${\displaystyle M}$. Un marco local para${\displaystyle E}$es una base ordenada de secciones locales de${\displaystyle E}$Siempre es posible construir un marco local, ya que los haces vectoriales siempre se definen en términos de trivializaciones locales , en analogía con el atlas de una variedad. Es decir, dado cualquier punto${\displaystyle x}$en el colector base${\displaystyle M}$Existe un vecindario abierto.${\displaystyle U\subsetequ M}$de${\displaystyle x}$para el cual el fibrado vectorial sobre${\displaystyle U}$es localmente trivial, es decir, es isomorfo a${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$proyectando a${\displaystyle U}$. La estructura del espacio vectorial en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$de este modo se puede extender a toda la trivialización local y una base en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$También se puede extender; esto define el marco local. (Aquí se utilizan los números reales, aunque gran parte del desarrollo se puede extender a módulos sobre anillos en general y a espacios vectoriales sobre números complejos).${\displaystyle \mathbb {C} }$En particular.)

Dejar${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{\alpha })_{\alpha =1,2,\dots,k}}$ser un marco local en${\displaystyle E}$. Este marco se puede utilizar para expresar localmente cualquier sección de${\displaystyle E}$. Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle \xi }$es una sección local, definida sobre el mismo conjunto abierto que el marco${\displaystyle \mathbb {e} }$. Entonces

${\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$

dónde${\displaystyle \xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$denota los componentes de${\displaystyle \xi }$en el marco${\displaystyle \mathbf {e} }$Como ecuación matricial, se lee así:

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e})}$

En la relatividad general , dichos campos de marco se denominan tétradas . La tétrada relaciona específicamente el marco local con un sistema de coordenadas explícito en la variedad base.${\displaystyle M}$(el sistema de coordenadas en${\displaystyle M}$siendo establecido por el atlas).

Una conexión en E es un tipo de operador diferencial.

${\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}M}$

donde Γ denota el haz de secciones locales de un fibrado vectorial, y Ω ¹ M es el módulo de 1-formas diferenciales en M. Para que D sea una conexión, debe estar correctamente acoplada a la derivada exterior . Específicamente, si v es una sección local de E , y f es una función suave, entonces

${\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}$

donde df es la derivada exterior de f .

A veces resulta conveniente extender la definición de D a formas arbitrarias con valores en E , considerándola así como un operador diferencial en el producto tensorial de E con el álgebra exterior completa de formas diferenciales. Dada una conexión exterior D que satisface esta propiedad de compatibilidad, existe una extensión única de D :

${\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)}$

de tal manera que

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }$

donde v es homogéneo de grado deg v . En otras palabras, D es una derivación en el haz de módulos graduados Γ( E ⊗ Ω ^* M ).

La forma de conexión surge al aplicar la conexión exterior a un marco particular e . Al aplicar la conexión exterior a e _α , es la única matriz k × k ( ω _α ^β ) de formas únicas en M tales que

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}$

En términos de la forma de conexión, ahora se puede expresar la conexión exterior de cualquier sección de E. Por ejemplo, supongamos que ξ = Σ _α e _α ξ ^α . Entonces

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

Tomando componentes de ambos lados,

${\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}$

donde se entiende que d y ω se refieren a la derivada componente a componente con respecto al marco e , y a una matriz de 1-formas, respectivamente, que actúan sobre las componentes de ξ . Recíprocamente, una matriz de 1-formas ω es a priori suficiente para determinar completamente la conexión localmente en el conjunto abierto sobre el cual se define la base de secciones e .

La curvatura de dos formas de una conexión en E se define por

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}$

A diferencia de la forma de conexión, la curvatura se comporta tensorialmente bajo un cambio de marco, lo cual puede comprobarse directamente utilizando el lema de Poincaré . Específicamente, si e → e g es un cambio de marco, entonces la dos formas de curvatura se transforma mediante

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}$

Una interpretación de esta ley de transformación es la siguiente. Sea e ^* la base dual correspondiente al marco e . Entonces la 2-forma

${\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}$

es independiente de la elección del marco. En particular, Ω es una biforma vectorial en M con valores en el anillo de endomorfismos Hom( E , E ). Simbólicamente,

${\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}$

En términos de la conexión exterior D , el endomorfismo de curvatura viene dado por

${\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

para v ∈ E (podemos extender v a una sección local para definir esta expresión). Por lo tanto, la curvatura mide el fallo de la secuencia.

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{1}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{n}T^{*}(M))}$

ser un complejo de cadena (en el sentido de la cohomología de De Rham ).

Supongamos que la dimensión de la fibra k de E es igual a la dimensión de la variedad M. En este caso, el fibrado vectorial E a veces se equipa con un dato adicional además de su conexión: una forma de soldadura . Una forma de soldadura es una 1-forma vectorial definida globalmente θ ∈ Ω ¹ ( M , E ) tal que la aplicación

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}$

es un isomorfismo lineal para todo x ∈ M. Si se da una forma de soldadura, entonces es posible definir la torsión de la conexión (en términos de la conexión exterior) como

${\displaystyle \Theta =D\theta .\,}$

La torsión Θ es una 2-forma con valores en E sobre M.

Una forma de soldadura y la torsión asociada pueden describirse en términos de un marco local e de E. Si θ es una forma de soldadura, entonces se descompone en los componentes del marco.

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

Los componentes de la torsión son entonces

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Al igual que la curvatura, se puede demostrar que Θ se comporta como un tensor contravariante ante un cambio de sistema de referencia:

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

La torsión independiente del marco también puede recuperarse a partir de los componentes del marco:

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}$

Las identidades de Bianchi relacionan la torsión con la curvatura. La primera identidad de Bianchi establece que

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

mientras que la segunda identidad de Bianchi afirma que

${\displaystyle \,D\Omega =0.}$

Como ejemplo, supongamos que M posee una métrica riemanniana . Si se tiene un fibrado vectorial E sobre M , entonces la métrica puede extenderse a todo el fibrado vectorial, como la métrica del fibrado . Se puede entonces definir una conexión compatible con esta métrica del fibrado, esta es la conexión métrica . Para el caso especial de que E sea el fibrado tangente TM , la conexión métrica se llama conexión riemanniana . Dada una conexión riemanniana, siempre se puede encontrar una conexión única y equivalente que no tenga torsión . Esta es la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente TM de M. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Un marco local en el fibrado tangente es una lista ordenada de campos vectoriales e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , donde n = dim M , definidos en un subconjunto abierto de M que son linealmente independientes en cada punto de su dominio. Los símbolos de Christoffel definen la conexión de Levi-Civita mediante

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

Si θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n } , denota la base dual del fibrado cotangente , tal que θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j (la delta de Kronecker ), entonces la forma de conexión es

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}$

En términos de la forma de conexión, la conexión exterior en un campo vectorial v = Σ _i e _i v ⁱ viene dada por

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

Se puede recuperar la conexión Levi-Civita, en el sentido habitual, a partir de esto contrayendo con e _i :

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

Una conexión es compatible con la estructura de un G -fibrado en E siempre que los mapas de transporte paralelos asociados envíen siempre un marco G a otro. Formalmente, a lo largo de una curva γ, debe cumplirse localmente lo siguiente (es decir, para valores suficientemente pequeños de t ):

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}$

para alguna matriz g _α ^β (que también puede depender de t ). La diferenciación en t =0 da

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}$

donde los coeficientes ω _α ^β están en el álgebra de Lie g del grupo de Lie G .

Con esta observación, la forma de conexión ω _α ^β definida por

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}$

es compatible con la estructura si la matriz de formas únicas ω _α ^β ( e ) toma sus valores en g .

Además, la forma de curvatura de una conexión compatible es una forma bidimensional con valores en g .

Bajo un cambio de marco

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}$

donde g es una función con valores en G definida en un subconjunto abierto de M , la forma de conexión se transforma mediante

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

O bien, utilizando productos matriciales:

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

Para interpretar cada uno de estos términos, recordemos que g  : M → G es una función con valores en G (definida localmente). Teniendo esto en cuenta,

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}$

donde ω _g es la forma de Maurer-Cartan para el grupo G , aquí retraído a M a lo largo de la función g , y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie.

Supongamos que E → M es un fibrado vectorial con grupo de estructura G. Sea { U } una cubierta abierta de M , junto con marcos G en cada U , denotados por e _U . Estos están relacionados en las intersecciones de conjuntos abiertos superpuestos por

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}$

para alguna función h _{UV con valores} G definida en U ∩ V .

Sea F _G E el conjunto de todos los G -marcos tomados sobre cada punto de M. Este es un G -fibrado principal sobre M. En detalle, utilizando el hecho de que los G -marcos están todos relacionados por G , F _G E se puede realizar en términos de pegar datos entre los conjuntos de la cubierta abierta:

${\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }$

donde la relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$se define por

${\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

En F _G E , definimos una conexión G principal de la siguiente manera, especificando una 1-forma con valores g en cada producto U × G , que respeta la relación de equivalencia en las regiones de solapamiento. Primero sea

${\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}$

sean los mapas de proyección. Ahora, para un punto ( x , g ) ∈ U × G , definamos

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

La 1-forma ω construida de esta manera respeta las transiciones entre conjuntos superpuestos y, por lo tanto, desciende para dar una 1-forma definida globalmente en el fibrado principal F _G E . Se puede demostrar que ω es una conexión principal en el sentido de que reproduce los generadores de la acción derecha G en F _G E , y entrelaza equivariantemente la acción derecha en T(F _G E ) con la representación adjunta de G .

Por el contrario, una conexión G principal ω en un fibrado G principal P → M da lugar a una colección de formas de conexión en M. Supongamos que e  : M → P es una sección local de P. Entonces, el retroceso de ω a lo largo de e define una 1-forma con valores g en M :

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}$

Al cambiar los marcos mediante una función g con valores G , se observa que ω( e ) se transforma de la manera requerida utilizando la regla de Leibniz y la adjunción:

${\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }$

donde X es un vector en M , y d denota el avance .