Extensión mediante nuevos nombres de constantes y funciones.

En lógica matemática , una teoría puede extenderse con nuevas constantes o nombres de funciones bajo ciertas condiciones, con la garantía de que la extensión no introducirá contradicciones. La extensión por definiciones es quizás el método más conocido, pero requiere la existencia única de un objeto con la propiedad deseada. La adición de nuevos nombres también puede realizarse sin necesidad de unicidad.

Supongamos que una fórmula cerrada

${\displaystyle \exists x_{1}\ldots \exists x_{m}\,\varphi (x_{1},\ldots ,x_{m})}$

es un teorema de una teoría de primer orden${\displaystyle T}$. Dejar${\displaystyle T_{1}}$ser una teoría obtenida de${\displaystyle T}$al extender su lenguaje con nuevas constantes

${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$

y añadiendo un nuevo axioma

${\displaystyle \varphi (a_{1},\ldots ,a_{m})}$.

Entonces${\displaystyle T_{1}}$es una extensión conservadora de${\displaystyle T}$, lo que significa que la teoría${\displaystyle T_{1}}$tiene el mismo conjunto de teoremas en el idioma original (es decir, sin constantes)${\displaystyle a_{i}}$) como la teoría${\displaystyle T}$.

Dicha teoría también puede extenderse de forma conservadora introduciendo un nuevo símbolo funcional : ^{[ 1 ]}

Supongamos que una fórmula cerrada${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,\exists y\,\!\,\varphi (y,{\vec {x}})}$es un teorema de una teoría de primer orden${\displaystyle T}$donde denotamos${\displaystyle {\vec {x}}:=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Dejar${\displaystyle T_{1}}$ser una teoría obtenida de${\displaystyle T}$al extender su lenguaje con un nuevo símbolo funcional${\displaystyle f}$(de aridad)${\displaystyle n}$) y añadiendo un nuevo axioma${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,\varphi (f({\vec {x}}),{\vec {x}})}$. Entonces${\displaystyle T_{1}}$es una extensión conservadora de${\displaystyle T}$, es decir, las teorías${\displaystyle T}$y${\displaystyle T_{1}}$Demuestra los mismos teoremas sin involucrar el símbolo funcional.${\displaystyle f}$).

Shoenfield enuncia el teorema en forma de un nuevo nombre de función, y las constantes son iguales a las funciones sin argumentos. En sistemas formales que admiten tuplas ordenadas, la extensión mediante múltiples constantes, como se muestra aquí, se puede lograr añadiendo una nueva tupla constante y asignando a las nuevas constantes los valores de los elementos de la tupla.

• Extensión conservadora
• Extensión por definición