Elasticidad constante de sustitución

La elasticidad constante de sustitución ( ECS ) es una especificación común de muchas funciones de producción y de utilidad en la economía neoclásica . La ECS establece que la capacidad de sustituir un factor de producción por otro (por ejemplo, trabajo por capital) para mantener el mismo nivel de producción permanece constante en distintos niveles de producción. En el caso de las funciones de utilidad, la ECS implica que el consumidor mantiene preferencias constantes sobre cómo sustituir diferentes bienes (por ejemplo, trabajo por consumo) para obtener el mismo nivel de utilidad. Esto significa que tanto productores como consumidores tienen estructuras de insumos y preferencias similares, independientemente del nivel de producción o de utilidad.

El elemento económico fundamental de la medida radica en que proporcionaba al productor una visión clara de cómo transitar entre diferentes modos o tipos de producción, por ejemplo, entre modos de producción que requieren más mano de obra. Varios economistas han participado en el estudio de este tema y han contribuido a la determinación final de la constante. Entre ellos se encuentran Tom McKenzie, John Hicks y Joan Robinson .

Específicamente, surge en un tipo particular de función agregadora que combina dos o más tipos de bienes de consumo, o dos o más tipos de insumos de producción, en una cantidad agregada. Esta función agregadora presenta elasticidad de sustitución constante .

A pesar de tener varios factores de producción en sustituibilidad, las formas más comunes son las de elasticidad de sustitución. Por el contrario de restringir la evaluación empírica directa, la elasticidad de sustitución constante es sencilla de usar y, por lo tanto, se utiliza ampliamente. ^{[ 1 ]} McFadden afirma que;

El supuesto de ES constante es una restricción sobre la forma de las posibilidades de producción, y se puede caracterizar la clase de funciones de producción que poseen esta propiedad. Esto lo hicieron Arrow-Chenery-Minhas-Solow para el caso de producción de dos factores. ^{[ 1 ]}

La función de producción CES es una función de producción neoclásica que muestra elasticidad de sustitución constante . En otras palabras, la tecnología de producción tiene un cambio porcentual constante en las proporciones de los factores (por ejemplo, trabajo y capital ) debido a un cambio porcentual en la tasa marginal de sustitución técnica . La función de producción CES de dos factores (capital, trabajo) introducida por Solow , ^{[ 2 ]} y posteriormente popularizada por Arrow , Chenery , Minhas y Solow es: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {\upsilon }{\rho }}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$= Cantidad de producción
• ${\displaystyle F}$= Productividad total de los factores
• ${\displaystyle a}$= Parámetro compartido
• ${\displaystyle K}$,${\displaystyle L}$= Cantidades de factores de producción primaria (capital y trabajo)

Cálculo de la tasa de sustitución tecnológica entre K y L:

${\displaystyle RTS_{L,K}={\frac {F({{\frac {\upsilon }{\rho }}-1})\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{{\frac {\upsilon }{\rho }}-1}\cdot a\cdot \rho \cdot L^{\rho -1}}{F({{\frac {\upsilon }{\rho }}-1})\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{{\frac {\upsilon }{\rho }}-1}\cdot a\cdot \rho \cdot K^{\rho -1}}}=({\frac {L}{K}})^{\rho -1}}$

Ahora derivaremos la elasticidad de sustitución :

${\displaystyle {\frac {K}{L}}=RTS_{L,K}^{\tfrac {1}{1-\rho }}\Rightarrow ln({\frac {K}{L}})={\tfrac {1}{1-\rho }}ln(RTS_{L,K})}$

${\displaystyle {\frac {dln({\frac {K}{L}})}{dln(RTS_{L,K})}}={\frac {1}{1-\rho }}}$

• ${\displaystyle \rho }$=${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$= Parámetro de sustitución
• ${\displaystyle \sigma }$=${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho }}}$= Elasticidad de sustitución
• ${\displaystyle \upsilon }$= grado de homogeneidad de la función de producción. Donde${\displaystyle \upsilon }$= 1 (Retorno constante a escala) ,${\displaystyle \upsilon }$< 1 (Rendimientos decrecientes a escala) ,${\displaystyle \upsilon }$> 1 (Rendimientos crecientes a escala) .

Como su nombre lo indica, la función de producción CES exhibe elasticidad de sustitución constante entre capital y trabajo. Las funciones de Leontief, lineal y Cobb-Douglas son casos especiales de la función de producción CES. Es decir,

• Si${\displaystyle \rho }$Si nos acercamos a 1, tenemos una función lineal o de sustitución perfecta;
• Si${\displaystyle \rho }$Cuando tiende a cero en el límite, obtenemos la función de producción Cobb-Douglas ;
• Si${\displaystyle \rho }$Cuando el vector se aproxima a menos infinito, obtenemos la función de producción de Leontief o de complementos perfectos.

La forma general de la función de producción CES, con n insumos, es: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\frac {1}{r}}}$

dónde

• ${\displaystyle Q}$= Cantidad de producción
• ${\displaystyle F}$= Productividad total de los factores
• ${\displaystyle a_{i}}$= Compartir parámetro de entrada i,${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$
• ${\displaystyle X_{i}}$= Cantidades de factores de producción (i = 1,2...n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$= Elasticidad de sustitución.

Extender la forma funcional CES (Solow) para incorporar múltiples factores de producción genera algunos problemas. Sin embargo, no existe una manera completamente general de hacerlo. Uzawa demostró que las únicas funciones de producción posibles con n factores (n>2) y elasticidades parciales de sustitución constantes requieren que todas las elasticidades entre pares de factores sean idénticas, o bien, si alguna difiere, todas deben ser iguales y las elasticidades restantes deben ser iguales a la unidad. ^{[ 8 ]} Esto es válido para cualquier función de producción. Esto significa que el uso de la forma funcional CES para más de dos factores generalmente implica que no existe una elasticidad de sustitución constante entre todos los factores.

Las funciones CES anidadas se encuentran comúnmente en modelos de equilibrio parcial y de equilibrio general . Los diferentes niveles de anidamiento permiten introducir la elasticidad de sustitución adecuada.

La misma forma funcional CES surge como una función de utilidad en la teoría del consumidor . Por ejemplo, si existen${\displaystyle n}$tipos de bienes de consumo${\displaystyle x_{i}}$, entonces consumo agregado${\displaystyle X}$podría definirse utilizando el agregador CES:

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.}$

Aquí de nuevo, los coeficientes${\displaystyle a_{i}}$son parámetros compartidos y${\displaystyle s}$es la elasticidad de sustitución. Por lo tanto, los bienes de consumo${\displaystyle x_{i}}$son sustitutos perfectos cuando${\displaystyle s}$se aproxima al infinito y a los complementos perfectos cuando${\displaystyle s}$se aproxima a cero. En el caso donde${\displaystyle s}$El primer enfoque es nuevamente un caso límite donde se aplica la regla de L'Hôpital . El agregador CES también se denomina a veces agregador Armington , que fue analizado por Armington (1969). ^{[ 9 ]}

Las funciones de utilidad CES son un caso especial de preferencias homotéticas .

El siguiente es un ejemplo de una función de utilidad CES para dos bienes,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, con partes iguales: ^{[ 10 ] : 112}

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.}$

La función de gasto en este caso es:

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

La función de utilidad indirecta es su inversa:

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

Las funciones de demanda son:

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,}$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}$

Una función de utilidad CES es uno de los casos considerados por Dixit y Stiglitz (1977) en su estudio de la diversidad óptima de productos en un contexto de competencia monopolística . ^{[ 11 ]}

Nótese la diferencia entre la utilidad CES y la utilidad isoelástica : la función de utilidad CES es una función de utilidad ordinal que representa las preferencias sobre cestas de bienes de consumo seguro, mientras que la función de utilidad isoelástica es una función de utilidad cardinal que representa las preferencias sobre loterías. Se ha utilizado una función de utilidad indirecta (dual) CES para derivar sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad, donde las demandas de categoría se determinan endógenamente mediante una función de utilidad indirecta (dual) CES multicategórica. También se ha demostrado que las preferencias CES son autoduales y que tanto las preferencias CES primarias como las duales producen sistemas de curvas de indiferencia que pueden presentar cualquier grado de convexidad. ^{[ 12 ]}

• Anatomía de las funciones de producción tipo CES en 3D
• Solución de forma cerrada para una empresa con tecnología CES N-dimensional.

1. ~:text=Los beneficios de un monopolio se representan, son posibles en mercados competitivos. Función de ingresos de los monopolistas]