inversa generalizada restringida

En álgebra lineal , una inversa generalizada con restricciones se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones lineales con la restricción adicional de que la solución se encuentre en un subespacio dado. También se dice que el problema se describe mediante un sistema de ecuaciones lineales con restricciones .

En muchos problemas prácticos, la solución${\displaystyle x}$de un sistema lineal de ecuaciones

${\displaystyle Ax=b\qquad ({\text{con }}A\in \mathbb {R} ^{m\times n}{\text{ y }}b\in \mathbb {R} ^{m})}$

es aceptable solo cuando se encuentra en un subespacio lineal determinado${\displaystyle L}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

A continuación, la proyección ortogonal sobre${\displaystyle L}$se denotará por ${\displaystyle P_{L}}$Sistema de ecuaciones lineales con restricciones

${\displaystyle Ax=b\qquad x\in L}$

tiene solución si y solo si el sistema de ecuaciones no restringido

${\displaystyle (AP_{L})x=b\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

es resoluble. Si el subespacio${\displaystyle L}$es un subespacio propio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces la matriz del problema sin restricciones${\displaystyle (AP_{L})}$puede ser singular incluso si la matriz del sistema${\displaystyle A}$del problema restringido es invertible (en ese caso,${\displaystyle m=n}$). Esto significa que se necesita utilizar una inversa generalizada para la solución del problema restringido. Por lo tanto, una inversa generalizada de${\displaystyle (AP_{L})}$también se le llama${\displaystyle L}$- pseudoinversa restringida de${\displaystyle A}$.

Un ejemplo de una pseudoinversa que puede utilizarse para la solución de un problema con restricciones es la inversa de Bott-Duffin de${\displaystyle A}$limitado a${\displaystyle L}$, que se define mediante la ecuación

${\displaystyle A_{L}^{(-1)}:=P_{L}(AP_{L}+P_{L^{\perp }})^{-1},}$

si existe la inversa en el lado derecho.