Polígono construible

En matemáticas , un polígono construible es un polígono regular que se puede construir con regla y compás . Por ejemplo, un pentágono regular se puede construir con regla y compás, mientras que un heptágono regular no. Existen infinitos polígonos construibles, pero solo se conocen 31 con un número impar de lados.

Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con regla y compás; otros no. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo construir un polígono regular de 3, 4 o 5 lados, ^{[ 1 ] : p. xi} y también sabían cómo construir un polígono regular con el doble de lados que un polígono regular dado. ^{[ 1 ] : pp. 49–50} Esto llevó a plantear la pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás? Si no, ¿qué n -gonos (es decir, polígonos con n lados) son construibles y cuáles no?

Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del polígono regular de 17 lados en 1796. Cinco años después, desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Gauss afirmó, sin demostración, que esta condición también era necesaria , ^{[ 2 ]} pero nunca publicó su demostración.

Pierre Wantzel dio una prueba completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel : Un n -gono regular se puede construir con compás y regla si y solo si n es el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos de Fermat distintos (desiguales) . Aquí, una potencia de 2 es un número de la forma${\displaystyle 2^{m}}$donde m ≥ 0 es un número entero. Un primo de Fermat es un número primo de la forma${\displaystyle 2^{(2^{m})}+1}$donde m ≥ 0 es un número entero. El número de primos de Fermat involucrados puede ser 0, en cuyo caso n es una potencia de 2.

Para reducir un problema geométrico a un problema de teoría de números pura , la demostración utiliza el hecho de que un n -gono regular es construible si y solo si el coseno${\displaystyle \cos(2\pi /n)}$es un número construible , es decir, puede escribirse en términos de las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas . De forma equivalente, un n -gono regular es construible si cualquier raíz del n -ésimo polinomio ciclotómico es construible.

A la luz de trabajos posteriores sobre la teoría de Galois , se han aclarado los principios de estas demostraciones. Es sencillo demostrar, a partir de la geometría analítica , que las longitudes construibles deben provenir de longitudes base mediante la solución de alguna secuencia de ecuaciones cuadráticas . ^{[ 4 ]} En términos de teoría de cuerpos , tales longitudes deben estar contenidas en una extensión de cuerpo generada por una torre de extensiones cuadráticas . De ello se deduce que un cuerpo generado por construcciones siempre tendrá un grado sobre el cuerpo base que es una potencia de dos.

En el caso específico de un n -gono regular, la cuestión se reduce a la cuestión de construir una longitud

cos ⁠ 2 π / n ⁠ ,

que es un número trigonométrico y, por lo tanto, un número algebraico . Este número se encuentra en el n -ésimo campo ciclotómico —y de hecho en su subcampo real , que es un campo totalmente real y un espacio vectorial racional de dimensión

1/2 φ ( n ) ,​​

donde φ( n ) es la función totiente de Euler . El resultado de Wantzel se reduce a un cálculo que muestra que φ( n ) es una potencia de 2 precisamente en los casos especificados.

En cuanto a la construcción de Gauss, cuando el grupo de Galois es un 2-grupo, se deduce que tiene una secuencia de subgrupos de órdenes

1, 2, 4, 8, ...

que están anidados, cada uno en el siguiente (una serie de composición , en terminología de teoría de grupos ), algo sencillo de demostrar por inducción en este caso de un grupo abeliano . Por lo tanto, hay subcampos anidados dentro del campo ciclotómico, cada uno de grado 2 sobre el anterior. Los generadores para cada uno de estos campos se pueden escribir mediante la teoría del período gaussiano . Por ejemplo, para n  = 17 hay un período que es una suma de ocho raíces de la unidad , uno que es una suma de cuatro raíces de la unidad y uno que es la suma de dos, que es

cos ⁠ 2 π / 17 ⁠ .

Cada una de ellas es una raíz de una ecuación cuadrática en términos de la anterior. Además, estas ecuaciones tienen raíces reales en lugar de complejas , por lo que, en principio, pueden resolverse mediante construcción geométrica: esto se debe a que todo el trabajo se realiza dentro de un campo totalmente real.

De esta forma, el resultado de Gauss puede entenderse en términos actuales; para el cálculo real de las ecuaciones a resolver, los periodos pueden elevarse al cuadrado y compararse con los periodos "inferiores", mediante un algoritmo bastante factible.

Se conocen construcciones con regla y compás para todos los polígonos construibles conocidos. Si n  = pq con p = 2 o p y q son coprimos , se puede construir un n -gono a partir de un p -gono y un q -gono.   

• Si p  =  2, dibuja un polígono de q lados y biseca uno de sus ángulos centrales. A partir de esto, se puede construir un polígono de 2q lados .
• Si p  >  2, inscribe un p -gono y un q -gono en el mismo círculo de manera que compartan un vértice. Como p y q son coprimos, existen enteros a y b tales que ap + bq = 1. Entonces, 2 a π/ q + 2 b π/ p = 2π/ pq . A partir de esto, se puede construir un pq -gono.

Por lo tanto, solo hay que encontrar una construcción con compás y regla para n -gonos donde n es un número primo de Fermat.

• La construcción de un triángulo equilátero es sencilla y se conoce desde la antigüedad ; véase Triángulo equilátero .
• Las construcciones para el pentágono regular fueron descritas tanto por Euclides ( Elementos , ca. 300  a. C.) como por Ptolomeo ( Almagesto , ca. 150  d. C.).
• Aunque Gauss demostró que el polígono regular de 17 lados es construible, no mostró cómo hacerlo. La primera construcción se debe a Erchinger, unos años después del trabajo de Gauss.
• Las primeras construcciones explícitas de un polígono regular de 257 lados fueron dadas por Magnus Georg Paucker (1822) ^{[ 5 ]} y Friedrich Julius Richelot (1832). ^{[ 6 ]}
• La construcción de un polígono regular de 65537 lados fue presentada por primera vez por Johann Gustav Hermes (1894). La construcción es muy compleja; Hermes dedicó 10 años a completar el manuscrito de 200 páginas. ^{[ 7 ]}

El concepto de constructibilidad, tal como se analiza en este artículo, se aplica específicamente a las construcciones con compás y regla . Si se utilizan otras herramientas, es posible realizar más construcciones. Las denominadas construcciones neusis , por ejemplo, emplean una regla graduada . Estas construcciones constituyen una idealización matemática y se asume que se realizan con exactitud.

Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisectriz de ángulos si y solo si${\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}$donde r, s, k ≥ 0 y donde los p _i son primos de Pierpont distintos mayores que 3 (primos de la forma${\displaystyle 2^{t}3^{u}+1).}$^{[ 8 ] : Teorema 2}Estos polígonos son exactamente los polígonos regulares que se pueden construir consecciones cónicasy los polígonos regulares que se pueden construir medianteplegado de papel. Los primeros números de lados de estos polígonos son:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, ... (secuencia A122254 en el OEIS )

• Círculo de Carlyle

• Duane W. DeTemple (1991). "Círculos de Carlyle y la simplicidad de Lemoine de las construcciones poligonales". The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97– 108. doi : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939. MR 1089454 .  
• Christian Gottlieb (1999). "La construcción simple y directa del polígono regular de 257 lados". Mathematical Intelligencer . 21 (1): 31– 37. doi : 10.1007/BF03024829 . MR 1665155. S2CID 123567824 .  
• Fórmulas de polígonos regulares , Preguntas frecuentes del Dr. Matemáticas.
• Carl Schick: Weiche Primzahlen und das 257-Eck  : eine analytische Lösung des 257-Ecks. Zúrich  : C. Schick, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9.
• 65537-gonos, construcción exacta para el 1er lado , utilizando la Cuadratrix de Hipias y GeoGebra como ayudas adicionales, con una breve descripción (en alemán).