cono paratingente

En matemáticas, el cono paratingente y el cono contingente fueron introducidos por Bouligand ( 1932 ) y están estrechamente relacionados con los conos tangentes . 

Dejar${\displaystyle S}$sea ​​un subconjunto no vacío de un espacio vectorial normado real${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$.

1. Deja que algunos${\displaystyle {\bar {x}}\in \operatorname {cl} (S)}$ser un punto en el cierre de${\displaystyle S}$. Un elemento${\displaystyle h\in X}$se denomina tangente (o vector tangente ) a${\displaystyle S}$en${\displaystyle {\bar {x}}}$, si hay una secuencia${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de elementos${\displaystyle x_{n}\in S}$y una secuencia${\displaystyle (\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$de números reales positivos${\displaystyle \lambda _ {n}>0}$de tal manera que${\displaystyle {\bar {x}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$y${\displaystyle h=\lim _{n\to \infty }\lambda _{n}(x_{n}-{\bar {x}}).}$
2. El conjunto${\displaystyle T(S,{\bar {x}})}$de todas las tangentes a${\displaystyle S}$en${\displaystyle {\bar {x}}}$se denomina cono contingente (o cono tangente de Bouligand ) a${\displaystyle S}$en${\displaystyle {\bar {x}}}$. ^{[ 1 ]}

Se da una definición equivalente en términos de una función de distancia y el límite ínfimo. Como antes, sea${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$Sea un espacio vectorial normado y tomemos algún conjunto no vacío.${\displaystyle S\subset X}$. Para cada${\displaystyle x\in X}$, sea la función de distancia a${\displaystyle S}$ser

${\displaystyle d_{S}(x):=\inf\{\|xx'\|\mid x'\in S\}.}$

Luego, el cono contingente a${\displaystyle S\subset X}$en${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)}$se define por ^{[ 2 ]}

${\displaystyle T_{S}(x):=\left\{v:\liminf _{h\to 0^{+}}{\frac {d_{S}(x+hv)}{h}}=0\right\}.}$