Hipoteca con amortización continua

De forma análoga a la capitalización continua , una anualidad continua ^{[ 1 ]} es una anualidad ordinaria cuyo intervalo de pago se reduce indefinidamente. Una hipoteca de amortización continua (teórica) es un préstamo hipotecario pagado mediante una anualidad continua.

Las hipotecas (es decir, los préstamos hipotecarios) generalmente se liquidan a lo largo de varios años mediante una serie de pagos regulares fijos, comúnmente denominados anualidades . Cada pago acumula intereses compuestos desde el momento del depósito hasta el final del plazo de la hipoteca, momento en el que la suma de los pagos con sus intereses acumulados es igual al valor del préstamo con los intereses capitalizados durante todo el plazo. Dado un préstamo P₀ , una tasa de interés por período i, un número de períodos n y un pago fijo por período x , la ecuación _de equilibrio al final del plazo es:

${\displaystyle P_{0}(1+i)^{n}=\sum _{k=1}^{n}x(1+i)^{nk}={\frac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}$

La suma se puede calcular utilizando la fórmula estándar para la suma de una secuencia geométrica .

En una hipoteca de amortización continua (teórica), el intervalo de pago se reduce indefinidamente hasta que el proceso de intervalo discreto se vuelve continuo y los pagos de intervalo fijo se convierten, en efecto, en un flujo de efectivo literal a una tasa anual fija. En este caso, dado el préstamo P ₀ , la tasa de interés anual r , el plazo del préstamo T (años) y la tasa anual M _a , los elementos infinitesimales del flujo de efectivo M _a δt acumulan intereses compuestos continuamente desde el tiempo t hasta el final del plazo del préstamo, momento en el que la ecuación de equilibrio es:

${\displaystyle P_{0}e^{rT}=\int \limits _{0}^{T}M_{a}e^{r(Tt)}\,dt={\frac {M_{a}(e^{rT}-1)}{r}}.}$

La suma de los elementos del flujo de efectivo y los intereses acumulados se efectúa mediante integración, como se muestra. Se supone que el intervalo de capitalización y el intervalo de pago son iguales; es decir, la capitalización de los intereses siempre ocurre al mismo tiempo que se deduce el pago. ^{[ 2 ]}

Dentro del lapso de tiempo del préstamo, la función de saldo hipotecario continuo en el tiempo obedece a una ecuación diferencial lineal (EDL) de primer orden ^{[ 3 ]} y se puede obtener una derivación alternativa de la misma resolviendo la EDL utilizando el método de transformadas de Laplace .

La aplicación de la ecuación arroja una serie de resultados relevantes para el proceso financiero que describe. Si bien este artículo se centra principalmente en las hipotecas, los métodos empleados son aplicables a cualquier situación en la que el pago o el ahorro se efectúe mediante una serie regular de pagos a intervalos fijos (anualidad).

La fórmula clásica para el valor presente de una serie de n pagos mensuales fijos de importe x invertido a un tipo de interés mensual i % es:

${\displaystyle P_{v}(n)={\frac {x(1-(1+i)^{-n})}{i}}}$

La fórmula puede reordenarse para determinar el pago mensual x de un préstamo de importe P ₀ contratado durante un período de n meses a un tipo de interés mensual del i %: 

${\displaystyle x={\frac {P_{0}\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}}$

Comenzamos con un pequeño ajuste de la fórmula: sustituimos i por r / N, donde r es la tasa de interés anual y N es la frecuencia anual de los períodos de capitalización ( N = 12 para pagos mensuales). También sustituimos n por NT , donde T es el período total del préstamo en años. En esta forma más general de la ecuación, calculamos x ( N ) como el pago fijo correspondiente a la frecuencia N . Por ejemplo, si N  =  365, x corresponde a un pago fijo diario. A medida que N aumenta, x ( N ) disminuye, pero el producto N · x ( N ) se aproxima a un valor límite, como se mostrará a continuación:

${\displaystyle x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{N(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT})}}}$

${\displaystyle N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}}$

Tenga en cuenta que N · x ( N ) es simplemente la cantidad pagada por año , en efecto una tasa de reembolso anual M _a .

Está bien establecido que:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {r}{N}}\right)^{Nt}=e^{rt}}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

Aplicando el mismo principio a la fórmula de reembolso anual, podemos determinar un valor límite:

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}.}$^{[ 6 ]}

En este punto de la fórmula ortodoxa para el valor presente, este último se representa más apropiadamente como una función de la frecuencia de capitalización anual N y del tiempo t : 

${\displaystyle P_{v}(N,t)={\frac {N\cdot x(N)(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-Nt})}{r}}}$

Aplicando la expresión límite desarrollada anteriormente, podemos escribir el valor presente como una función puramente dependiente del tiempo:

${\displaystyle P_{v}(t)=\lim _{N\to \infty }P_{v}(N,t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$^{[ 7 ]}

Teniendo en cuenta que el saldo adeudado P ( t ) de un préstamo t años después de su inicio es simplemente el valor presente de las contribuciones para el período restante (es decir, T − t ), determinamos:  

${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(Tt)})={\frac {P_{0}(1-e^{-r(Tt)})}{1-e^{-rT}}}}$^{[ 8 ]}

Los gráficos del diagrama comparan el saldo pendiente de una hipoteca (1 millón a 20 años con una tasa de interés del 10 %) calculado primero según el modelo continuo anterior y luego utilizando la función PV de Excel. Como se puede observar, las curvas son prácticamente idénticas : los cálculos realizados con el modelo difieren de los realizados con la función PV de Excel en tan solo un 0,3 % (máximo). Los datos a partir de los cuales se obtuvieron los gráficos se pueden consultar aquí.

Definimos la variable de "tiempo inverso" z = T − t . ( t = 0, z = T y t = T , z = 0). Entonces:          

${\displaystyle P(z)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rz}).}$

Esto puede reconocerse como una solución a la ecuación diferencial de "tiempo inverso":

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {1}{r}}{\frac {dP(z)}{dz}}+P(z).}$

Los ingenieros eléctricos/electrónicos y los físicos estarán familiarizados con una ecuación de esta naturaleza: es un análogo exacto del tipo de ecuación diferencial que rige (por ejemplo) la carga de un condensador en un circuito RC.

${\displaystyle V_{0}=RC{\frac {dV(t)}{dt}}+V(t).}$

Las características clave de estas ecuaciones se explican detalladamente en RC circuits . Para los propietarios de viviendas con hipotecas, el parámetro importante a tener en cuenta es la constante de tiempo de la ecuación, que es simplemente el recíproco del tipo de interés anual r . Así, por ejemplo, la constante de tiempo cuando el tipo de interés es del 10 % es de 10 años, y el plazo de un préstamo hipotecario debe determinarse —dentro de los límites de la capacidad de pago— como un múltiplo mínimo de este valor si el objetivo es minimizar los intereses pagados sobre el préstamo. 

La ecuación de diferencias convencional para un préstamo hipotecario es relativamente sencilla de derivar: el saldo a pagar en cada período sucesivo es el saldo anterior más los intereses por período menos el pago fijo por período.

Dado un tipo de interés anual r y un prestatario con una capacidad de pago anual M _N (dividida en N pagos iguales realizados a intervalos de tiempo Δ t, donde Δ t  =  1/ N  años), podemos escribir:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t+\Delta t}&=P_{t}+(rP_{t}-M_{N})\Delta t\\[12pt]{\dfrac {P_{t+\Delta t}-P_{t}}{\Delta t}}&=rP_{t}-M_{N}\end{aligned}}}$

Si N se incrementa indefinidamente de modo que Δ t  →  0, obtenemos la ecuación diferencial en tiempo continuo:

${\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}$^{[ 9 ] [ 10 ]}

Tenga en cuenta que para que exista un saldo hipotecario que disminuya continuamente, debe cumplirse la siguiente desigualdad:

${\displaystyle P_{0}\leqslant {\frac {M_{a}}{r}}}$^{[ 11 ]}

P ₀ es lo mismo que P (0) – el monto original del préstamo o saldo del préstamo en el momento t = 0.   

Reordenando la ecuación diferencial original obtenemos:

${\displaystyle M_{a}=rP(t)-{\frac {dP(t)}{dt}}}$

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene:

${\displaystyle M_{a}.t=\int _{0}^{t}rP(t)\,dt\,-\int _{0}^{t}{\frac {dP(t)}{dt}}\,dt\,}$

La primera integral del lado derecho determina los pagos de intereses acumulados desde el inicio hasta el tiempo t, mientras que la segunda determina los pagos de capital acumulados durante el mismo período. La suma de estos pagos de intereses y capital debe ser igual a los pagos fijos acumulados en el tiempo t, es decir , M _a t . Al evaluar la primera integral del lado derecho, obtenemos una expresión para I ( t ), el interés pagado:

${\displaystyle I(t)=M_{a}t-{\frac {M_{a}(e^{rt}-1)}{re^{rT}}}}$

Como era de esperar, la segunda integral se evalúa como P ₀ − P ( t ) y, por lo tanto:  

${\displaystyle I(t)=M_{a}t-P_{0}+P(t)\,}$

El lector puede comprobar fácilmente que esta expresión es algebraicamente idéntica a la anterior.

El coste de un préstamo es simplemente el tipo de interés anual multiplicado por el plazo del préstamo:

${\displaystyle C=M_{a}T={\frac {P_{0}rT}{1-e^{-rT}}}}$

Sea s  = rT . Entonces podemos definir el factor de costo del préstamo C ( s ) de tal manera que C = P ₀ C (s), es decir: C ( s ) es el costo por unidad de moneda prestada. 

${\displaystyle C(s)={\frac {rT}{1-e^{-rT}}}={\frac {s}{1-e^{-s}}}}$

La función C ( s ) se caracteriza por tener un valor límite de 1 cuando s está cerca de cero, ya que para valores pequeños de s , exp( − s )  ≈  1 − s y el denominador se simplifica a s . Además, cuando s es muy grande, exp( − s ) es pequeño, por lo que C ( s ) ≈ s y, por lo tanto, el costo del préstamo C ≈ P ₀ rT ( rT >> 0).         

A modo de ejemplo, consideremos un préstamo de 1.000.000 al 10% a pagar en 20 años. Entonces s  =  0,1 × 20 = 2.    

${\displaystyle C=1000000\times {\frac {2}{1-e^{-2}}}\approx 2.313\times 10^{6}}$

El producto rT es un parámetro importante, pero de fácil obtención, para determinar el costo del préstamo según la ecuación C = P₀ _x C(s). Esto se ilustra mejor graficando la función del factor de costo para valores de s en el dominio [0;5]. El comportamiento lineal de la función para valores mayores de s es evidente.

Para un préstamo a plazo fijo de t años, podemos comparar el factor de costo del préstamo anterior con un factor de costo de interés simple equivalente 1+s _e donde s _e =r _e t y r _e es la tasa de interés simple equivalente:

${\displaystyle {\frac {s}{1-e^{-s}}}=1+s_{e}}$

Es sencillo determinar s _e en términos de s. Dividiendo por el período de tiempo del préstamo t se obtendrá entonces la tasa de interés simple equivalente. Más difícil es la determinación inversa de s dado s _e .

En su libro Problem Solving with True Basic ^{[ 12 ]} , el Dr. BD Hahn dedica una breve sección a ciertos planes de "compra a plazos" en los que los intereses se calculan por adelantado en un único pago, que se suma al capital, dividiéndose la suma en partes iguales durante el período de amortización. Sin embargo, el comprador suele tener la impresión de que los intereses se calculan sobre un saldo decreciente.

El ejemplo anterior está adaptado del que aparece en el libro del Dr. Hahn, en el que emplea el algoritmo de Newton-Raphson para resolver el mismo problema, aunque para un préstamo con amortización a intervalos discretos (mensuales) durante el mismo periodo (3 años). Al igual que en muchos ejemplos similares, el problema de intervalos discretos y su solución se aproximan bastante bien a los cálculos basados ​​en el modelo de amortización continua: la solución del Dr. Hahn para el tipo de interés es del 40,8 %, en comparación con el 41,6 % calculado anteriormente.

Si un prestatario puede afrontar una tasa de reembolso anual M _a , entonces podemos reorganizar la fórmula para calcular M _a para obtener una expresión para el período de tiempo T de un préstamo dado P ₀ :

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{a}={\frac {P_{0}r}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &T={\frac {1}{r}}\ln {\frac {M_{a}}{M_{a}-P_{0}r}}=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)\end{aligned}}}$

La tasa de pago mínima de un préstamo es la relación entre la tasa de pago mínima posible y la tasa de pago real. La tasa de pago mínima posible es aquella que cubre exactamente los intereses del préstamo; en teoría, un prestatario pagaría esta cantidad indefinidamente, ya que el capital del préstamo nunca disminuye. Usaremos la letra k para denotar la tasa de pago mínima:

${\displaystyle k={\frac {M_{\min }}{M_{a}}}={\frac {P_{0}r}{M_{a}}}}$

Ahora podemos considerar una pequeña reordenación de la ecuación para el período de préstamo T : 

${\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}$

${\displaystyle rT=s(k)=-\ln(1-k)\;}$

Al graficar s ( k ) en función de k, se obtiene una demostración muy gráfica de por qué es una buena idea mantener el valor de k muy por debajo de la asíntota en k  =  1, ya que en las proximidades de esta, s ( k ) aumenta bruscamente y, por lo tanto, también lo hace el costo del préstamo, que a su vez es una función creciente del parámetro s ( rT producto ).

Un parámetro útil del modelo hipotecario es la "vida media" del préstamo, que es el tiempo que tarda el saldo del préstamo en alcanzar la mitad de su valor original. Para determinar la "vida media" podemos escribir:

${\displaystyle {\frac {P(t)}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}={\frac {1-e^{-r(T-t)}}{1-e^{-rT}}}}$

Despejando t obtenemos:

${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}$^{[ 13 ]}

Por ejemplo, al aplicar la fórmula a algunos datos de prueba (un préstamo de 1 millón al 10% durante 20 años), obtenemos una vida media de 14,34 años. Si en la práctica el préstamo se amortiza mediante cuotas mensuales, la parte decimal se puede convertir a meses y redondear, de modo que el resultado sería de 172 meses.

En el modelo de intervalo de tiempo discreto, el cálculo de una tasa de interés hipotecaria, dados los parámetros restantes, no ha sido posible mediante métodos analíticos. Implementaciones como la función "tasa" de Excel emplean un método numérico de "ensayo y mejora" para determinar la tasa de interés. A primera vista, esto también parecería aplicarse al modelo de amortización continua. Dado:

${\displaystyle P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})}$

podemos escribir:

${\displaystyle rP_{0}=M_{a}(1-e^{-rT})\,}$

${\displaystyle \Rightarrow rP_{0}-M_{a}+M_{a}e^{-rT}=0}$

Para visualizar lo anterior como una función de r (para la cual deseamos determinar los ceros), será útil seleccionar valores numéricos de P ₀ , M _a y T como 10000, 6000 y 3 respectivamente y graficar como se muestra a la derecha. La función tiene un valor mínimo que se puede determinar mediante diferenciación:

${\displaystyle f'(r)=0\,}$

${\displaystyle \Rightarrow P_{0}-M_{a}Te^{-rT}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow r={\frac {1}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$

Dado que la función es aproximadamente parabólica entre las raíces en r  =  0 y el valor buscado, podemos estimar la raíz requerida como:

${\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$

Utilizando esto como punto de partida, se pueden determinar valores cada vez más precisos para la raíz mediante iteraciones repetidas del algoritmo de Newton-Raphson : ^{[ 14 ]}

${\displaystyle r_{1}=r_{0}-{\frac {f(r_{0})}{f'(r_{0})}}.\,\!}$

Algunos experimentos en Wolfram Alpha revelan que se puede obtener una solución analítica exacta empleando la función Lambert-W o "producto logaritmo". Haciendo s = M _a T / P ₀ obtenemos:

${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right)}$

En la región de interés , W ( − se ^{− s} ) es una función bivaluada. El primer valor es simplemente − s , lo que da como resultado la solución trivial r  =  0. El segundo valor, evaluado dentro del contexto de la fórmula anterior, proporcionará la tasa de interés requerida.

La siguiente tabla muestra el cálculo de una estimación inicial del tipo de interés, seguido de varias iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson. Se observa una rápida convergencia hacia una solución con una precisión de varias cifras decimales, como puede comprobarse comparándola con la solución analítica obtenida mediante la función Lambert W o "productlog" en Wolfram Alpha.

iteraciones de Newton-Raphson

En correspondencia con la fórmula estándar para el valor presente de una serie de pagos mensuales fijos, ya hemos establecido un análogo continuo en el tiempo:

${\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt}).}$

De manera similar, se puede determinar una fórmula para el valor futuro :

${\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}$^{[ 15 ]}

En este caso, la tasa anual M _a se determina a partir de un objetivo de ahorro o fondo de amortización (futuro) especificado P _T de la siguiente manera.

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{T}\cdot r}{(1+{\frac {r}{N}})^{NT}-1}}={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}.}$^{[ 16 ]}

Cabe señalar que, como era de esperar:

${\displaystyle F_{v}(t)=P_{v}(t)\times e^{rt}.\,}$

Otra forma de calcular el saldo adeudado P ( t ) en un préstamo de amortización continua es restar el valor futuro (en el momento t ) del flujo de pagos del valor futuro del préstamo (también en el momento t ):  

${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}$^{[ 17 ]}

El siguiente ejemplo de un libro de texto escolar ^{[ 18 ]} ilustrará la diferencia conceptual entre una anualidad de ahorro basada en intervalos de tiempo discretos (por mes en este caso) y una basada en un pago continuo que emplea la fórmula de valor futuro anterior:

En su trigésimo cumpleaños, un inversor decide acumular R500000 para cuando cumpla 40 años. A partir de un mes después, decide realizar pagos mensuales iguales a una cuenta que genera un interés del 12% anual con capitalización mensual. ¿Cuánto deberá pagar mensualmente?

Para mayor brevedad, resolveremos el problema del "intervalo discreto" utilizando la función PMT de Excel:

${\displaystyle x(12)=PMT(1\%,120,500000)=2173.55}$

Por lo tanto, el monto a pagar anualmente sería de 26082,57.

Para una anualidad de ahorro teórica de pago continuo, solo podemos calcular una tasa de pago anual:

${\displaystyle M_{a}={\frac {500000\times 12\%}{e^{0.12\cdot 10}-1}}=25860.77}$

En este punto, existe la tentación de simplemente dividir entre 12 para obtener un pago mensual. Sin embargo, esto contradiría el supuesto principal en el que se basa el modelo de "pago continuo": a saber, que la tasa de pago anual se define como:

${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)\,}$

Dado que es imposible que un inversor realice un pago infinitesimal infinitas veces al año, un banco u otra entidad financiera que desee ofrecer anualidades o hipotecas de "pago continuo" tendría que elegir, en la práctica, un valor grande pero finito de N (frecuencia anual de pagos) de tal manera que la fórmula de tiempo continuo siempre sea correcta dentro de un margen de error mínimo preestablecido. Por ejemplo, los pagos fijos por hora (calculados con la fórmula convencional) en este caso se acumularían hasta un pago anual de 25861,07 y el error sería <  0,02 %. Si el margen de error es aceptable, la tasa de pago por hora se puede determinar de forma más sencilla dividiendo M _a entre 365 × 24. La entidad financiera (hipotética) tendría que asegurarse entonces de que sus recursos computacionales son suficientes para implementar (cuando sea necesario) deducciones por hora de las cuentas de los clientes. En resumen, el "flujo" de caja para las anualidades de pago continuo debe entenderse en el sentido más literal de la palabra.

"En el mundo financiero, los fondos ingresados ​​se pagan en momentos discretos —generalmente a intervalos regulares— del calendario. En el proceso continuo, el pago se realiza de forma ininterrumpida, como cuando se vierte líquido de un recipiente a otro, donde la tasa de pago es la magnitud fundamental". ^{[ 19 ]}

La siguiente tabla muestra cómo, a medida que N (frecuencia de capitalización anual) aumenta, el pago anual se aproxima al valor límite de M _a , la tasa de pago anual . La diferencia (error) entre el pago anual y el valor límite se calcula y se expresa como un porcentaje de dicho valor.

^{[ 20 ] [ 21 ]}

Como se desprende de lo anterior, el concepto de hipoteca con "pagos continuos" es un concepto más bien teórico. Su utilidad práctica es una cuestión que deben analizar detenidamente economistas y actuarios. En particular, es fundamental comprender claramente el significado de la tasa de amortización anual , tal como se ilustra en el ejemplo anterior.

Sin embargo, el modelo de "pago continuo" ofrece información valiosa sobre el comportamiento de la función de saldo hipotecario discreto , en particular que está regida en gran medida por una constante de tiempo igual al recíproco de r, la tasa de interés anual nominal. Si una hipoteca se pagara mediante cuotas diarias fijas, los cálculos del saldo pendiente realizados con este modelo serían , en general , precisos con una pequeña fracción de porcentaje. Finalmente, el modelo demuestra que, siempre que sea posible, resulta ventajoso para el titular de la hipoteca aumentar la frecuencia de los pagos.

Cuota de pago anual (préstamo hipotecario):       ${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}}$

Tasa de pago anual (fondo de amortización):       ${\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}}$

Valor futuro:       ${\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}$

Valor presente:       ${\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}$

Saldo del préstamo:       ${\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})}$

Plazo del préstamo:              ${\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}$

Vida media del préstamo:       ${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}$

Tasa de interés:           ${\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}$              ${\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right){\text{ with }}s={\frac {M_{a}t}{P_{0}}}}$

Calculadora hipotecaria universal . Conociendo tres de las cuatro variables, calcula el cuarto valor (desconocido).

Gráfico de hipoteca . Este gráfico ilustra la curva característica del saldo hipotecario en función del tiempo durante un período de préstamo determinado. También se pueden especificar el monto del préstamo y la tasa de interés ( p / a ). Un préstamo con intervalo discreto tendrá una característica muy similar.

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