Monte Carlo cuántico de tiempo continuo

En física computacional del estado sólido , el método de Monte Carlo cuántico de tiempo continuo ( CT-QMC ) es una familia de algoritmos estocásticos para resolver el modelo de impureza de Anderson a temperatura finita. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Estos métodos primero expanden la función de partición completa como una serie de diagramas de Feynman , emplean el teorema de Wick para agrupar los diagramas en determinantes y, finalmente, utilizan el método de Monte Carlo de cadena de Markov para sumar estocásticamente la serie resultante. ^{[ 1 ]}

El atributo de tiempo continuo se introdujo para distinguir el método del método de Monte Carlo cuántico de Hirsch-Fye , entonces predominante, ^{[ 2 ]} que se basa en una discretización de Suzuki-Trotter del eje de tiempo imaginario .

Si no existe el problema del signo , el método también puede utilizarse para resolver modelos reticulares como el modelo de Hubbard con llenado medio. Para distinguirlo de otros métodos de Monte Carlo para sistemas similares que también funcionan en tiempo continuo, el método se denomina generalmente Monte Carlo cuántico determinista diagramático ( DDQMC o DDMC ). ^{[ 6 ]}

En la segunda cuantización , el hamiltoniano del modelo de impureza de Anderson se lee: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle H=\underbrace {\sum _{ij}E_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}} _{H_{\mathrm {loc0} }}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\sum _{ijkl}U_{ikjl}c_{i}^{\dagger }c_{j}^{\dagger }c_{l}c_{k}} _{H_{\mathrm {int} }}+\underbrace {\sum _{p,i}{\big (}V_{pi}f_{p}^{\dagger }c_{i}+V_{pi}^{*}c_{i}^{\dagger }f_{p}{\big )}} _{H_{\mathrm {hyb} }}+\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}f_{p}^{\dagger }f_{p}} _{H_{\mathrm {baño} }}}$,

dónde${\displaystyle c_{i}^{\dagger }}$y${\displaystyle c_{i}}$son los operadores de creación y aniquilación , respectivamente, de un fermión en la impureza. El índice${\displaystyle i}$Recopila el índice de espín y posiblemente otros números cuánticos como el orbital (en el caso de una impureza multiorbital) y el sitio del clúster (en el caso de una impureza multisitio). ${\displaystyle f_{p}^{\dagger }}$y${\displaystyle f_{p}}$son los operadores fermiónicos correspondientes en el baño no interactuante, donde el número cuántico del baño${\displaystyle p}$Por lo general, será continuo.

El paso 1 de CT-QMC es dividir el hamiltoniano en un término exactamente soluble,${\displaystyle H_{0}}$y el resto,${\displaystyle H_{\mathrm {I} }}$Las distintas opciones corresponden a distintas expansiones y, por lo tanto, a distintas descripciones algorítmicas. Las opciones más comunes son:

• Expansión de interacción (CT-INT): ^{[ 2 ]}${\displaystyle H_{\mathrm {I} }=H_{\mathrm {int} }}$
• Expansión de hibridación (CT-HYB): ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle H_{\mathrm {I} }=H_{\mathrm {hyb} }}$
• Expansión de campo auxiliar (CT-AUX): ^{[ 5 ]} similar a CT-INT, pero el término de interacción se desacopla primero mediante una transformación discreta de Hubbard-Stratonovich.

El paso 2 consiste en pasar a la imagen de interacción y expandir la función de partición en términos de una serie de Dyson :

${\displaystyle Z=\operatorname {tr} \left(\mathrm {e} ^{-\beta H}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _ {0}^{\beta }\mathrm {d} ^{n}\tau \;\operatorname {tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta H_{0}}T_{\tau }H_{\mathrm {I} }(\tau _{1})H_{\mathrm {I} }(\tau _{2})\cdots H_{\mathrm {I} }(\tau _{n})\right]}$,

dónde${\displaystyle \beta }$es la temperatura inversa y${\displaystyle T_{\tau }}$denota el ordenamiento del tiempo imaginario . La presencia de una red (cero-dimensional) regulariza la serie y el tamaño y la temperatura finitos del sistema hacen innecesaria la renormalización . ^{[ 2 ]}

La serie de Dyson genera un número factorial de diagramas idénticos por orden, lo que dificulta el muestreo y posiblemente agrava el problema del signo. Por lo tanto, como paso 3, se utiliza el teorema de Wick para agrupar diagramas idénticos en determinantes. Esto conduce a las expresiones: ^{[ 1 ]}

• Expansión de interacción (CT-INT):

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{\alpha =1}^{n}\sum _{i_{\alpha }j_{\alpha }k_{\alpha }l_{\alpha }}\int \mathrm {d} \tau _{\alpha }\left(-{\frac {1}{2}}U_{i_{\alpha }k_{\alpha }j_{\alpha }l_{\alpha }}\right)\det \left[{\begin{array}{cc}\langle T_{\tau }c_{i_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{k_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}&\langle T_{\tau }c_ {i _ {\ alfa }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{l_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}\\\langle T_{\tau }c_{j_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{k_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}&\langle T_{\tau }c_{j_{\alpha }}^{\dagger }\!(\tau _{\alpha })\ c_{l_{\beta }}\!(\tau _{\beta })\rangle _{0}\end{array}}\right]_{\alpha \beta }}$

• Expansión por hibridación (CT-HYB):

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{\alpha =1}^{n}\sum _{i_{\alpha }j_{\alpha }}\int \mathrm {d} \tau _{\alpha }\mathrm {d} \tau _{\alpha }^{\prime }\operatorname {tr} {\Big [}\mathrm {e} ^{-\beta (H_{\mathrm {loc0} }+H_{\mathrm {int} })}T_{\tau }\prod _{\alpha =1}^{n}c_{i_{\alpha }}^{\dagger }(\tau _{\alpha })c_{i_{\alpha }}(\tau _{\alpha }^{\prime }){\Big ]}\;\det {\big [}\Delta _{i_{\alpha }j_{\beta }}(\tau _{\alpha }-\tau _{\beta }^{\prime }){\big ]}_{\alpha \beta }}$

En un paso final, se observa que esto no es más que una integral sobre un dominio grande y se realiza utilizando un método de Monte Carlo , generalmente el algoritmo de Metropolis-Hastings .

• Algoritmo de Metrópolis-Hastings
• Monte Carlo cuántico
• Teoría del campo medio dinámico