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Articulo de referencia

Distribución binomial continua

\\theta\\in\\mathbb{R} (natural parameter) \n \\lambda\\in\\{1,2,3,\\dots\\} (inverse dispersion)"},"support":{"wt":" x\\in[0,1] if \\lambda = 1 , x\\in(0,1) if \\lambda \\ge 2 ...

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En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución binomial continua (también llamada distribución cobin ) es una familia de distribuciones de probabilidad continuas en el intervalo unitario que pertenece a una familia de dispersión exponencial . Se introdujo como una distribución de respuesta para modelos lineales generalizados para datos proporcionales continuos, propuesta como una alternativa a la regresión beta . [ 1 ] El caso especialλ=1{\displaystyle \lambda =1}coincide con la distribución continua de Bernoulli [ 2 ] .

Definición

Una variable aleatoriaincógnita{\displaystyle X}Se dice que sigue una distribución binomial continua (cobin) con parámetro naturalθ{\displaystyle \theta }y dispersión inversaλ∈{1,2,…}{\displaystyle \lambda \in \{1,2,\dots \}}, escritoincógnita∼doobinorte(θ,λ−1){\displaystyle X\sim \mathrm {cobin} (\theta,\lambda ^{-1})}, si tiene densidad en[0,1]{\displaystyle [0,1]}dado por

F(incógnita;θ,λ)=h(incógnita;λ)exp(λθincógnita−λB(θ)),0≤incógnita≤1,{\displaystyle f(x;\theta ,\lambda )=h(x;\lambda )\exp \!{\big (}\lambda \theta x-\lambda B(\theta ){\big )},\qquad 0\leq x\leq 1,}

donde la función log-partition es

B(θ)={registro(miθ−1θ),θ≠0,0,θ=0,{\displaystyle B(\theta )={\begin{cases}\log \!\left({\frac {e^{\theta }-1}{\theta }}\right),&\theta \neq 0,\\0,&\theta =0,\end{cases}}}

y la medida baseh(incógnita;λ){\displaystyle h(x;\lambda )}es

h(incógnita;λ)=λ(λ−1)¡∑k=0λ(−1)k(λk)máximo(0,λincógnita−k)λ−1,{\displaystyle h(x;\lambda )={\frac {\lambda }{(\lambda -1)!}}\sum _{k=0}^{\lambda }(-1)^{k}{\lambda \choose k}\,\max(0,\lambda xk)^{\lambda -1},}

conh(incógnita;1)=1{\displaystyle h(x;1)=1}. La funciónh(incógnita;λ)/λ{\displaystyle h(x;\lambda )/\lambda }coincide con la función de densidad de probabilidad de la distribución de Irwin-Hall con parámetronorte=λ{\displaystyle n=\lambda }, evaluado enλincógnita{\displaystyle \lambda x}.

Cuandoλ{\displaystyle \lambda }es fijo, la distribución de Cobin pertenece a una familia exponencial natural de un parámetro enθ{\displaystyle \theta }.

  • Distribución de Bates : cuandoθ=0{\displaystyle \theta =0}, la densidad se reduce ah(incógnita;λ){\displaystyle h(x;\lambda )}, correspondiente a la distribución de la media deλ{\displaystyle \lambda }independienteUnorteiFormetro(0,1){\displaystyle \mathrm {Uniforme} (0,1)}variables aleatorias (o, equivalentemente, una distribución de Irwin-Hall escalada o una distribución de Bates ).
  • Distribución uniforme : cuandoλ=1{\displaystyle \lambda =1}yθ=0{\displaystyle \theta =0}, la distribución se reduce a la distribución uniforme continua en[0,1]{\displaystyle [0,1]}.
incógnita¯=1λ∑i=1λincógnitai∼doobinorte(θ,λ−1).{\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{\lambda }X_{i}\sim \mathrm {cobin} (\theta ,\lambda ^{-1}).}

Propiedades

Media y varianza

La media y la varianza deincógnita∼doobinorte(θ,λ−1){\displaystyle X\sim \mathrm {cobin} (\theta ,\lambda ^{-1})}puede expresarse en términos de derivadas deB(θ){\displaystyle B(\theta )}:

  • mi⁡(incógnita)=B′(θ)=miθmiθ−1−1θ{\displaystyle \operatorname {E} (X)=B'(\theta )={\frac {e^{\theta }}{e^{\theta }-1}}-{\frac {1}{\theta }}}, paraθ≠0{\displaystyle \theta \neq 0}.
  • Var⁡(incógnita)=1λB″(θ)=1λ(1θ2−miθ(miθ−1)2){\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\lambda }}B''(\theta )={\frac {1}{\lambda }}\left({\frac {1}{\theta ^{2}}}-{\frac {e^{\theta }}{(e^{\theta }-1)^{2}}}\right)}, paraθ≠0{\displaystyle \theta \neq 0}.

Siθ=0{\displaystyle \theta =0}, entoncesmi⁡(incógnita)=12{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}}yVar⁡(incógnita)=112λ{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{12\lambda }}}.

Estadística suficiente para la media

Siincógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}son variables aleatorias binomiales continuas, independientes e idénticamente distribuidas, con un parámetro natural común.θ{\displaystyle \theta }y parámetro de dispersión inversa fijoλ{\displaystyle \lambda }, entonces la media de la muestra

incógnita¯=1norte∑i=1norteincógnitai{\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

es una estadística suficiente paraθ{\displaystyle \theta }.

Esto contrasta con la distribución beta : bajo una parametrización de media-precisiónincógnitai∼Bmita(μϕ,(1−μ)ϕ){\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Beta} (\mu \phi ,(1-\mu )\phi )}con fijoϕ{\displaystyle \phi }, una estadística suficiente para la mediaμ{\displaystyle \mu }es

∑i=1norteregistro(incógnitai1−incógnitai),{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log \!\left({\frac {X_{i}}{1-X_{i}}}\right),}

no la media de la muestraincógnita¯{\displaystyle {\bar {X}}}.

Aplicaciones

La distribución de Cobin se ha propuesto como una distribución de respuesta para modelos lineales generalizados de datos proporcionales continuos, como una alternativa a la regresión beta, incluyendo extensiones con efectos aleatorios.

  1. ↑ Lee, Changwoo J.; Dahl, Benjamin K.; Ovaskainen, Otso; Dunson, David B. (18 de mayo de 2026). " Modelos de regresión escalables y robustos para datos proporcionales continuos" . Journal of the American Statistical Association . doi : 10.1080/01621459.2026.2626081 . ISSN 0162-1459 . PMC 13188389. PMID 42169758 .   
  2. ↑ Loaiza-Ganem, Gabriel; Cunningham, John (2019). "El Bernoulli continuo: corrección de un error generalizado en los autoencoders variacionales" . Advances in Neural Information Processing Systems . 32. Curran Associates, Inc.