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Geometría continua

En matemáticas, la geometría continua es un análogo de la geometría proyectiva compleja introducida por von Neumann ( 1936 , 1998 ) , donde en lugar de que la dimensión de un su...

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En matemáticas, la geometría continua es un análogo de la geometría proyectiva compleja introducida por von Neumann ( 1936 , 1998 ) , donde en lugar de que la dimensión de un subespacio esté en un conjunto discreto 0,1,…,norte{\displaystyle 0,1,\dots ,{\textit {n}}}, puede ser un elemento del intervalo unitario[0,1]{\displaystyle [0,1]}Von Neumann fue motivado por su descubrimiento de las álgebras de von Neumann con una función de dimensión que toma un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito de tipo II .

Definición

Menger y Birkhoff formularon axiomas para la geometría proyectiva en términos de la red de subespacios lineales del espacio proyectivo. Los axiomas de Von Neumann para la geometría continua son una versión atenuada de estos axiomas.

Una geometría continua es una red L con las siguientes propiedades.

  • L es modular .
  • L está completo .
  • Las operaciones reticulares ∧, ∨ satisfacen una cierta propiedad de continuidad,
    (⋀α∈Aaα)∨b=⋀α(aα∨b){\displaystyle {\Big (}\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha }{\Big )}\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)}, donde A es un conjunto dirigido y si α < β entonces a α < a β , y la misma condición con ∧ y ∨ invertidos.
  • Cada elemento en L tiene un complemento (no necesariamente único). Un complemento de un elemento a es un elemento b tal que a ∧ b = 0 , a ∨ b = 1 , donde 0 y 1 son los elementos mínimo y máximo de L.
  • L es irreducible: esto significa que los únicos elementos con complementos únicos son 0 y 1.

Ejemplos

  • El espacio proyectivo complejo de dimensión finita, o más bien su conjunto de subespacios lineales, es una geometría continua, con dimensiones que toman valores en el conjunto discreto.{0,1/norte,2/norte,…,1}{\displaystyle \{0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1\}}
  • Las proyecciones de un álgebra de von Neumann de tipo II finita forman una geometría continua con dimensiones que toman valores en el intervalo unitario.[0,1]{\displaystyle [0,1]}.
  • Kaplansky (1955) demostró que cualquier retículo modular completo ortocomplementado es una geometría continua.
  • Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo (o anillo de división ) F , entonces existe una aplicación natural del retículo PG( V ) de subespacios de V al retículo de subespacios deV⊗F2{\displaystyle V\otimes F^{2}}que multiplica las dimensiones por 2. Entonces podemos tomar un límite directo de
PAGGRAMO(F)⊂PAGGRAMO(F2)⊂PAGGRAMO(F4)⊂PAGGRAMO(F8)⋯{\displaystyle PG(F)\subset PG(F^{2})\subset PG(F^{4})\subset PG(F^{8})\cdots }
Esta tiene una función de dimensión que toma valores todos los racionales diádicos entre 0 y 1. Su completitud es una geometría continua que contiene elementos de cada dimensión en[0,1]{\displaystyle [0,1]}Esta geometría fue construida por von Neumann (1936b) y se denomina geometría continua sobre F.

Dimensión

Esta sección resume algunos de los resultados de von Neumann (1998 , Parte I) . Estos resultados son similares a los del trabajo de von Neumann sobre proyecciones en álgebras de von Neumann, y fueron motivados por él.

Dos elementos a y b de L se denominan perspectiva , y se escriben a ∼ b , si tienen un complemento común. Esta es una relación de equivalencia en L ; demostrar que es transitiva es bastante difícil.

Las clases de equivalencia A , B , ... de L tienen un orden total definido por A ≤ B si existe algún a en A y algún b en B tal que a ≤ b . (Esto no tiene por qué cumplirse para todos los a en A y b en B ).

La función de dimensión D de L al intervalo unitario se define de la siguiente manera.

  • Si las clases de equivalencia A y B contienen elementos a y b tales que a ∧ b = 0 , entonces su suma A + B se define como la clase de equivalencia de a ∨ b . En caso contrario, la suma A + B no está definida. Para un entero positivo n , el producto nA se define como la suma de n copias de A , si esta suma está definida.
  • Para clases de equivalencia A y B con A distinto de {0}, el entero [ B  : A ] se define como el único entero n ≥ 0 tal que B = nA + C con C < B .
  • Para clases de equivalencia A y B con A distinto de {0}, el número real ( B  : A ) se define como el límite de [ B  : C ] / [ A  : C ] cuando C recorre una secuencia mínima: esto significa que C contiene un elemento mínimo distinto de cero, o una secuencia infinita de elementos distintos de cero, cada uno de los cuales es como máximo la mitad del anterior.
  • D ( a ) se define como ({ a }  : {1}) , donde { a } y {1} son las clases de equivalencia que contienen a y 1.

La imagen de D puede ser todo el intervalo unitario o el conjunto de números.0,1/norte,2/norte,…,1{\displaystyle 0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1}para algún entero positivo n . Dos elementos de L tienen la misma imagen bajo D si y solo si son perspectiva, por lo que proporciona una inyección desde las clases de equivalencia a un subconjunto del intervalo unitario. La función de dimensión D tiene las siguientes propiedades:

  • Si a < b entonces D ( a ) < D ( b )
  • D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
  • D ( a ) = 0 si y solo si a = 0 , y D ( a ) = 1 si y solo si a = 1.
  • 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

Teorema de coordinatización

En geometría proyectiva, el teorema de Veblen-Young establece que una geometría proyectiva de dimensión al menos 3 es isomorfa a la geometría proyectiva de un espacio vectorial sobre un anillo de división. Esto se puede reformular diciendo que los subespacios en la geometría proyectiva corresponden a los ideales derechos principales de un álgebra matricial sobre un anillo de división.

Von Neumann generalizó esto a geometrías continuas, y más generalmente a retículos modulares complementados, como sigue ( von Neumann 1998 , Parte II) . Su teorema establece que si un retículo modular complementado L tiene orden al menos 4, entonces los elementos de L corresponden a los ideales derechos principales de un anillo regular de von Neumann . Más precisamente, si el retículo tiene orden n, entonces el anillo regular de von Neumann puede tomarse como un anillo matricial n por n M n ( R ) sobre otro anillo regular de von Neumann R . Aquí un retículo modular complementado tiene orden n si tiene una base homogénea de n elementos, donde una base son n elementos a 1 , ..., a n tales que a i ∧ a j = 0 si i ≠ j , y a 1 ∨ ... ∨ a n = 1 , y una base se llama homogénea si cualesquiera dos elementos son perspectiva. El orden de un retículo no tiene por qué ser único; Por ejemplo, cualquier retículo tiene orden 1. La condición de que el retículo tenga orden al menos 4 corresponde a la condición de que la dimensión sea al menos 3 en el teorema de Veblen-Young, ya que un espacio proyectivo tiene dimensión al menos 3 si y solo si tiene un conjunto de al menos 4 puntos independientes.

Por el contrario, los ideales derechos principales de un anillo regular de von Neumann forman un retículo modular complementado ( von Neumann 1998 , Parte II, teorema 2.4) .

Supongamos que R es un anillo regular de von Neumann y L su retículo de ideales derechos principales, de modo que L es un retículo modular complementado. Neumann demostró que L es una geometría continua si y solo si R es un anillo de rango completo irreducible .

Referencias