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Articulo de referencia

Interés compuesto

tipos de interés efectivos El efecto de obtener un interés anual del 20% sobre una inversión inicial de 1000 dólares y diversas frecuencias de capitalización. El interés compues...

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tipos de interés efectivos
El efecto de obtener un interés anual del 20% sobre una inversión inicial de 1000 dólares y diversas frecuencias de capitalización.

El interés compuesto es el interés acumulado sobre un capital inicial y los intereses previamente acumulados. Es el resultado de reinvertir o retener intereses que de otro modo se pagarían, o de la acumulación de deudas de un prestatario.

El interés compuesto se diferencia del interés simple , donde los intereses acumulados previamente no se suman al capital del período actual. El interés compuesto depende de la tasa de interés simple aplicada y de la frecuencia con la que se capitaliza.

Frecuencia de capitalización

La frecuencia de capitalización es el número de veces por unidad de tiempo que se capitalizan los intereses acumulados, de forma regular. Esta frecuencia puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, semanal, diaria, continua o no capitalizarse hasta el vencimiento.

Por ejemplo, la capitalización mensual con interés expresado como una tasa anual significa que la frecuencia de capitalización es de 12, con períodos de tiempo medidos en meses.

tasa equivalente anual

Para facilitar a los consumidores la comparación de productos financieros minoristas de forma más justa y sencilla, muchos países exigen a las instituciones financieras que divulguen el tipo de interés anual compuesto de los depósitos o préstamos sobre una base comparable. El tipo de interés anual equivalente puede denominarse de diversas maneras en distintos mercados, como tipo de interés anual efectivo (TAE), tipo de interés anual equivalente (TAE), tipo de interés efectivo , tipo anual efectivo , rendimiento porcentual anual , entre otros términos. El tipo anual efectivo es el interés total acumulado que se pagaría hasta el final de un año, dividido por el capital invertido. Estos tipos suelen ser el tipo de interés anual compuesto, junto con otros cargos además de los intereses, como impuestos y otras comisiones.

Ejemplos

Interés compuesto del 15% sobre una inversión inicial de 10.000 dólares durante 40 años (sin tener en cuenta la inflación).
Dividendo anual del 1,5% sobre una inversión inicial de 10.000 dólares (sin tener en cuenta la inflación). Pagos totales de dividendos de 266.864 dólares durante 40 años. En este caso, los dividendos no se reinvirtieron.
La inflación se acumuló durante 40 años a diferentes ritmos.
  8%
  7%
  6%
  5%
  4%
  3%
  2%
  1%
  • Los intereses de los bonos corporativos y gubernamentales suelen pagarse dos veces al año. El monto de los intereses que se pagan cada seis meses es la tasa de interés declarada dividida entre dos y multiplicada por el capital. La tasa anual compuesta es superior a la tasa declarada.
  • Los préstamos hipotecarios canadienses generalmente se capitalizan semestralmente con pagos mensuales o más frecuentes. [ 1 ]
  • Las hipotecas estadounidenses utilizan un préstamo amortizable , no interés compuesto. En estos préstamos, se emplea un plan de amortización para determinar cómo se distribuyen los pagos entre el capital y los intereses. Los intereses generados no se suman al capital, sino que se amortizan mensualmente a medida que se realizan los pagos.
  • En ocasiones, resulta matemáticamente más sencillo, por ejemplo, en la valoración de derivados , utilizar la capitalización continua. La capitalización continua en la valoración de estos instrumentos es una consecuencia natural del cálculo de Itô , donde los derivados financieros se valoran con una frecuencia cada vez mayor, hasta que se alcanza el límite y el derivado se valora en tiempo continuo.

Historia

El interés compuesto era conocido por las civilizaciones antiguas, pero los primeros indicios de matemáticos que lo analizaban datan de la época medieval. Una tablilla de arcilla de Babilonia, que data de entre el 2000 y el 1700 a. C., podría ser la primera representación del problema del interés compuesto. [ 2 ]

El interés compuesto, cuando lo cobraban los prestamistas, fue considerado en su momento como la peor forma de usura y fue severamente condenado por el derecho romano y el derecho consuetudinario de muchos otros países. [ 3 ]

El comerciante florentino Francesco Balducci Pegolotti proporcionó una tabla de interés compuesto en su libro Pratica della mercatura de alrededor de 1340. Da el interés sobre 100 liras, para tasas del 1% al 8%, por hasta 20 años. [ 4 ] La Summa de arithmetica de Luca Pacioli (1494) da la Regla del 72 , que establece que para encontrar el número de años para que una inversión a interés compuesto se duplique, se debe dividir la tasa de interés entre 72.

El libro de Richard Witt, Arithmeticall Questions , publicado en 1613, fue un hito en la historia del interés compuesto. Estaba dedicado por completo al tema (anteriormente llamado anatocismo ), mientras que autores anteriores solían tratar el interés compuesto brevemente en un solo capítulo de un libro de texto de matemáticas. El libro de Witt incluía tablas basadas en el 10 % (la tasa de interés máxima permitida para los préstamos) y otras tasas para diferentes propósitos, como la valoración de arrendamientos de propiedades. Witt era un matemático londinense y su libro destaca por su claridad de expresión, profundidad de análisis y precisión de cálculo, con 124 ejemplos resueltos. [ 5 ] [ 6 ]

Jacob Bernoulli descubrió la constantemi{\displaystyle e}en 1683 al estudiar una cuestión sobre el interés compuesto.

En el siglo XIX, y posiblemente antes, los comerciantes persas utilizaban una aproximación lineal de Taylor ligeramente modificada para la fórmula de pago mensual que podían calcular fácilmente mentalmente. [ 7 ]

Cálculo

capitalización periódica

El valor total acumulado, incluyendo el capital principal.PAG{\displaystyle P}más interés compuestoI{\displaystyle I}, viene dado por la fórmula: [ 8 ] [ 9 ]A=PAG(1+rnorte)tnorte{\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}

dónde:

  • A es la cantidad final
  • P es la suma principal original
  • r es la tasa de interés anual nominal
  • n es la frecuencia de capitalización (1: anual, 12: mensual, 52: semanal, 365: diario) [ 10 ]
  • t es la duración total durante la cual se aplica el interés (expresada utilizando las mismas unidades de tiempo que r , generalmente años).

El interés compuesto total generado es el monto final menos el capital inicial, ya que el monto final es igual al capital más el interés: [ 11 ]

I=PAG(1+rnorte)tnorte−PAG{\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}

Función de acumulación

Dado que el capital P es simplemente un coeficiente, a menudo se omite por simplicidad y, en su lugar, se utiliza la función de acumulación resultante . La función de acumulación muestra a cuánto crece $1 después de cualquier período de tiempo. La función de acumulación para el interés compuesto es:a(t)=(1+rnorte)tnorte{\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}

Composición continua

Cuando el número de períodos de capitalización por año aumenta sin límite, se produce la capitalización continua, en cuyo caso la tasa anual efectiva se aproxima a un límite superior de e r − 1. La capitalización continua puede considerarse como dejar que el período de capitalización se vuelva infinitesimalmente pequeño, lo cual se logra tomando el límite cuando n tiende a infinito . El monto después de t períodos de capitalización continua puede expresarse en términos del monto inicial P 0 como:

PAG(t)=PAG0mirt.{\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}

Fuerza de interés

A medida que aumenta el número de períodos de capitalizaciónnorte{\displaystyle n}Cuando tiende a infinito en la capitalización continua, la tasa de interés compuesto continuo se denomina fuerza de interés.δ{\displaystyle \delta }Para cualquier función de acumulación continuamente diferenciable a(t), la fuerza de interés, o más generalmente el rendimiento logarítmico o compuesto continuamente , es una función del tiempo de la siguiente manera:

δt=a′(t)a(t)=ddtln⁡a(t){\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}

Esta es la derivada logarítmica de la función de acumulación.

En cambio: a(t)=mi∫0tδsds,{\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}(Desdea(0)=1{\displaystyle a(0)=1}(Esto puede considerarse un caso particular de una integral de producto ).

Cuando la fórmula anterior se escribe en formato de ecuación diferencial, la fuerza de interés es simplemente el coeficiente de magnitud del cambio: da(t)=δta(t)dt{\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}

Para el interés compuesto con una tasa de interés anual constante r , la fuerza de interés es una constante, y la función de acumulación del interés compuesto en términos de la fuerza de interés es una simple potencia de e : δ=ln⁡(1+r){\displaystyle \delta =\ln(1+r)}o a(t)=mitδ{\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}

La fuerza de interés es menor que la tasa de interés efectiva anual, pero mayor que la tasa de descuento efectiva anual . Es el recíproco del tiempo de decaimiento exponencial .

Una forma de modelar la fuerza de la inflación es mediante la fórmula de Stoodley:δt=pag+s1+rsmist{\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}donde p , r y s son estimados.

Base de capitalización

Para convertir una tasa de interés de una base de capitalización a otra base de capitalización, de modo que

(1+r1norte1)norte1=(1+r2norte2)norte2{\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}

usar

r2=[(1+r1norte1)norte1norte2−1]norte2,{\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}

donde r 1 es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n 1 , y r 2 es la tasa de interés con frecuencia de capitalización n 2 .

Cuando el interés se capitaliza continuamente , utilice

δ=norteln⁡(1+rnorte),{\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}

dóndeδ{\displaystyle \delta }es la tasa de interés sobre una base de capitalización continua, y r es la tasa de interés nominal con una frecuencia de capitalización n .

Pagos mensuales amortizados de préstamos o hipotecas

Los intereses de los préstamos e hipotecas amortizables —es decir, aquellos con pagos mensuales fijos hasta la liquidación total del préstamo— suelen capitalizarse mensualmente. La fórmula para el cálculo de los pagos se obtiene a partir del siguiente razonamiento.

Fórmula exacta para el pago mensual

Una fórmula exacta para el pago mensual (do{\displaystyle c}) es do=rPAG1−1(1+r)norte{\displaystyle c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}} o equivalentemente do=rPAG1−mi−norteln⁡(1+r){\displaystyle c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}

dónde:

  • do{\displaystyle c}= pago mensual
  • PAG{\displaystyle P}= principal
  • r{\displaystyle r}= tasa de interés mensual
  • norte{\displaystyle n}= número de períodos de pago
Fórmula de hoja de cálculo

En las hojas de cálculo se utiliza la función PMT() . La sintaxis es:

PMT(tasa_de_interés, número_de_pagos, valor_presente, valor_futuro, [Tipo])

Fórmula aproximada para el pago mensual

Se puede encontrar una fórmula que sea precisa con un margen de error de unos pocos puntos porcentuales al observar que para las tasas típicas de los billetes estadounidenses (I<8%{\displaystyle I<8\%}y términosT{\displaystyle T}=10–30 años), la tasa de interés mensual es pequeña en comparación con 1.r<<1{\displaystyle r<<1}para que elln⁡(1+r)≈r{\displaystyle \ln(1+r)\approx r}lo que produce la simplificación:

do≈PAGr1−mi−norter=PAGnortenorter1−mi−norter{\displaystyle c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}}

lo que sugiere definir variables auxiliares

Y≡norter=IT{\displaystyle Y\equiv nr=IT}do0≡PAGnorte.{\displaystyle c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.}

Aquído0{\displaystyle c_{0}}es el pago mensual requerido para un préstamo sin intereses pagado ennorte{\displaystyle n}cuotas. En términos de estas variables, la aproximación se puede escribirdo≈do0Y1−mi−Y{\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}.

Dejarincógnita=12Y{\textstyle X={\frac {1}{2}}Y}La expansióndo≈do0(1+incógnita+incógnita23){\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}es válido para mejor que el 1% proporcionadoincógnita≤1{\displaystyle X\leq 1}.

Ejemplo de pago de hipoteca

Para una hipoteca de 120.000 dólares con un plazo de 30 años y un tipo de interés del 4,5%, pagadero mensualmente, encontramos lo siguiente:

T=30{\displaystyle T=30}I=0,045{\displaystyle I=0.045}do0=$120,000360=$333,33{\displaystyle c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}

lo cual da

incógnita=12IT=0,675{\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT=.675}

de modo que

do≈do0(1+incógnita+13incógnita2)=$333,33(1+0,675+0,6752/3)=$608,96{\displaystyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}

El importe exacto del pago esdo=$608.02{\displaystyle c=\$608.02}Por lo tanto, la aproximación supone una sobreestimación de aproximadamente una sexta parte de un porcentaje.

Depósitos mensuales

Dado un depósito inicial y un depósito recurrente, el rendimiento total de una inversión se puede calcular mediante el interés compuesto generado por unidad de tiempo. Si se requiere, el interés sobre depósitos adicionales, tanto recurrentes como no recurrentes, también se puede definir dentro de la misma fórmula (véase más abajo). [ 12 ]

  • PAG{\displaystyle P}= depósito principal
  • r{\displaystyle r}= tasa de retorno (mensual)
  • METRO{\displaystyle M}= depósito mensual, y
  • t{\displaystyle t}= tiempo, en meses

El interés compuesto para cada depósito es: METRO′=METRO(1+r)t{\displaystyle M'=M(1+r)^{t}} Sumando todos los depósitos recurrentes durante el período total t, (i comienza en 0 si los depósitos comienzan con la inversión del capital; i comienza en 1 si los depósitos comienzan el mes siguiente): METRO′=∑i=0t−1METRO(1+r)t−i{\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}} Reconociendo la serie geométrica :METRO′=METRO∑i=0t−1(1+r)t1(1+r)i{\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}y aplicando la fórmula de forma cerrada (razón común:1/(1+r){\displaystyle 1/(1+r)}):

PAG′=METRO(1+r)t−1r+PAG(1+r)t{\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}

Si se producen dos o más tipos de depósitos (ya sean recurrentes o no recurrentes), el valor compuesto ganado se puede representar como

Valor=METRO(1+r)t−1r+PAG(1+r)t+k(1+r)t−incógnita−1r+do(1+r)t−y{\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}

donde C es cada suma global y k son depósitos recurrentes no mensuales, respectivamente, y x e y son las diferencias de tiempo entre un nuevo depósito y el período total t que se está modelando.

Una estimación práctica para el cálculo inverso de la tasa de rendimiento cuando no se conoce la fecha y el monto exactos de cada depósito recurrente, una fórmula que supone un depósito mensual recurrente uniforme durante el período, es: [ 13 ]r=(PAG′−PAG−∑METROPAG+∑METRO/2)1/t{\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}or=(PAG′−∑METRO/2PAG+∑METRO/2)1/t−1{\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Ley de Intereses, RSC, 1985, c. I-15, art. 6: Intereses sobre dineros garantizados por hipoteca sobre bienes inmuebles o prenda sobre bienes inmuebles" . Sitio web de leyes de justicia . Departamento de Justicia (Canadá) . 31 de diciembre de 2002. Archivado del original el 18 de septiembre de 2022. Consultado el 14 de agosto de 2024 .
  2. ↑ Lewis, CG (24 de diciembre de 2019). " El surgimiento del interés compuesto" . British Actuarial Journal . 24. doi : 10.1017/S1357321719000254 .
  3. ↑ Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Chambers, Ephraim , ed. (1728). "Interés". Cyclopædia, o un diccionario universal de artes y ciencias (1.ª ed.). James y John Knapton, et al.Dominio público   
  4. ^ Evans, Alan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La práctica della Mercatura . Cambridge, Massachusetts. págs. 301–2 . {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  5. ↑ Lewin, CG (1970). "Un libro temprano sobre interés compuesto: las preguntas aritméticas de Richard Witt". Journal of the Institute of Actuaries . 96 (1): 121– 132. doi : 10.1017/S002026810001636X .
  6. ↑ Lewin, CG (1981). "Interés compuesto en el siglo XVII". Journal of the Institute of Actuaries . 108 (3): 423– 442. doi : 10.1017/S0020268100040865 .
  7. ↑ Milanfar, Peyman (1996). "Un método popular persa para calcular el interés". Mathematics Magazine . 69 (5): 376. doi : 10.1080/0025570X.1996.11996479 .
  8. ↑ "Fórmula del interés compuesto" . qrc.depaul.edu . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
  9. ↑ Equipo de Investopedia (19 de noviembre de 2003). "Capitalización continua" . Investopedia . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
  10. ↑ JAMES CHEN (1 de agosto de 2024). "Interés compuesto: fórmulas y ejemplos" . Investopedia . Consultado el 26 de diciembre de 2024 .
  11. ↑ "Fórmula del interés compuesto - Explicación" . www.thecalculatorsite.com . Consultado el 5 de diciembre de 2018 .
  12. ↑ "Utilizando el interés compuesto para optimizar el margen de inversión" .
  13. ↑ http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "recomendado por The Four Pillars of Investing y The Motley Fool"