Conjunto de contorno

En matemáticas , los conjuntos de contorno generalizan y formalizan las nociones cotidianas de

todo superior a algo
todo lo superior o equivalente a algo
todo inferior a algo
todo lo inferior o equivalente a algo.

Definiciones formales

Dada una relación sobre pares de elementos de un conjunto $X$

\succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}

y un elemento $x$ de $X$

x\in X

El conjunto de contorno superior de $x$ es el conjunto de todos $y$ que están relacionados con $x$ :

\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}

El conjunto de contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos $y$ de tal manera que $x$ está relacionado con ellos:

\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}

El estricto conjunto de contorno superior de $x$ es el conjunto de todos $y$ que están relacionados con $x$ sin $x$ estar relacionado de esta manera con cualquiera de ellos:

\left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}

El estricto conjunto de contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos $y$ de tal manera que $x$ está relacionado con ellos sin que ninguno de ellos esté relacionado de esta manera con $x$ :

\left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}

Las expresiones formales de las dos últimas pueden simplificarse si hemos definido

\succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}

de modo que $a$ está relacionado con $b$ pero $b$ no está relacionado con $a$ , en cuyo caso el conjunto de contorno superior estricto de $x$ es

\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}

y el estricto conjunto de contorno inferior de $x$ es

\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}

Conjuntos de contorno de una función

En el caso de una función $f()$ considerado en términos de relación $\triangleright$ , la referencia a los conjuntos de contorno de la función es implícitamente a los conjuntos de contorno de la relación implícita

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]

Ejemplos

Aritmética

Consideremos un número real $x$ y la relación $\geq$ . Entonces

el conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de números que eran mayores o iguales a $x$ ,
el estricto conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de números que eran mayores que $x$ ,
el conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de números que eran menores o iguales a $x$ , y
el estricto conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de números que eran menores que $x$ .

Consideremos, de forma más general, la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]

Entonces

el conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $f(y)\geq f(x)$ ,
el estricto conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $f(y)>f(x)$ ,
el conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $f(x)\geq f(y)$ , y
el estricto conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $f(x)>f(y)$ .

Técnicamente sería posible definir conjuntos de contornos en términos de la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]

aunque tales definiciones tenderían a dificultar la comprensión inmediata.

En el caso de una función de valor real $f()$ (cuyos argumentos pueden o no ser números reales), la referencia a los conjuntos de contorno de la función es implícitamente a los conjuntos de contorno de la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]

Tenga en cuenta que los argumentos a $f()$ podrían ser vectores , y que la notación utilizada podría ser en su lugar

[(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]

Ciencias económicas

En economía , el conjunto $X$ podría interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles resultados , la relación $\succ$ como preferencia estricta y la relación $\succcurlyeq$ como preferencia débil . Entonces

el conjunto de contorno superior, o mejor conjunto , ^{[ 1 ]} de $x$ sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueran al menos tan deseados como $x$ ,
el estricto conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueron más deseados que $x$ ,
el conjunto de contorno inferior, o peor conjunto , ^{[ 1 ]} de $x$ sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que no eran más deseados que $x$ , y
el estricto conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de todos los bienes, servicios o resultados que fueron menos deseados que $x$ .

Dichas preferencias podrían ser capturadas por una función de utilidad. $u()$ , en cuyo caso

el conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $u(y)\geq u(x)$ ,
el estricto conjunto de contorno superior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $u(y)>u(x)$ ,
el conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $u(x)\geq u(y)$ , y
el estricto conjunto de contorno inferior de $x$ sería el conjunto de todos $y$ de tal manera que $u(x)>u(y)$ .

Complementariedad

Suponiendo que $\succcurlyeq$ es un ordenamiento total de $X$ , el complemento del conjunto de contornos superiores es el conjunto de contornos inferiores estrictos.

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}

y el complemento del conjunto de contornos superiores estrictos es el conjunto de contornos inferiores.

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}

X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}

Véase también

Referencias

1 2 Robert P. Gilles (1996). Intercambio económico y organización social: Los fundamentos edgeworthianos de la teoría del equilibrio general . Springer. pág. 35. ISBN 9780792342007.

Bibliografía

Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston y Jerry R. Green, Teoría microeconómica ( LCC HB172.M6247 1995 ), p43. ISBN 0-19-507340-1(tela) ISBN 0-19-510268-1(papel)

[:0-1] 1 2 Robert P. Gilles (1996). Intercambio económico y organización social: Los fundamentos edgeworthianos de la teoría del equilibrio general . Springer. pág. 35. ISBN 9780792342007.