Contourlet

En el campo de las transformaciones geométricas de imágenes, existen numerosas transformaciones unidimensionales diseñadas para detectar o capturar la geometría de la información de la imagen, como la transformada de Fourier y la transformada wavelet . Sin embargo, la capacidad de procesamiento de las transformaciones unidimensionales para las estructuras geométricas intrínsecas, como la suavidad de las curvas, se limita a una sola dirección, por lo que se requieren representaciones más potentes en dimensiones superiores. La transformada contourlet, propuesta por Do y Vetterli en 2002, es un nuevo método de transformación bidimensional para la representación de imágenes. La transformada contourlet posee propiedades de multirresolución, localización, direccionalidad, muestreo crítico y anisotropía. Sus funciones básicas son multiescala y multidimensionales. Los contornos de las imágenes originales, que son las características dominantes en las imágenes naturales, pueden capturarse eficazmente con unos pocos coeficientes mediante la transformada contourlet.

La transformada contourlet se inspira en el sistema visual humano y en la transformada Curvelet , que permite capturar la suavidad del contorno de imágenes con diferentes formas alargadas y en diversas direcciones. ^{[ 1 ]} Sin embargo, resulta difícil muestrear la transformada Curvelet en una cuadrícula rectangular, ya que esta se desarrolló en el dominio continuo y las direcciones distintas de la horizontal y la vertical varían considerablemente en una cuadrícula rectangular. Por consiguiente, la transformada contourlet se propuso inicialmente como una transformada multirresolución direccional en el dominio discreto.

La transformada contourlet utiliza una estructura de doble banco de filtros para obtener contornos suaves en las imágenes. En este banco de filtros doble, primero se utiliza la pirámide laplaciana (LP) para capturar las discontinuidades puntuales, y luego se utiliza un banco de filtros direccionales (DFB) para transformar esas discontinuidades puntuales en estructuras lineales. ^{[ 2 ]}

La descomposición de pirámide laplaciana (LP) produce una única imagen de paso de banda en el procesamiento de señales multidimensionales , lo que evita la distorsión de frecuencia. El banco de filtros direccionales (DFB) solo es adecuado para altas frecuencias, ya que filtra las bajas frecuencias de las señales en sus subbandas direccionales. Por ello, se combina DFB con LP, que es una descomposición multiescala que elimina las bajas frecuencias. De esta forma, las señales de imagen pasan a través de las subbandas de LP para obtener señales de paso de banda y, posteriormente, pasan a través de DFB para capturar la información direccional de la imagen. Esta estructura de doble banco de filtros, que combina LP y DFB, también se denomina banco de filtros direccionales piramidales (PDFB), y esta transformada aproxima la imagen original mediante el uso de contornos básicos, por lo que también se conoce como transformada de contornos discretos. ^{[ 3 ]}

1. Si se utilizan filtros de reconstrucción perfecta tanto para la descomposición LP como para DFB, entonces la transformada de contourlet discreta puede reconstruir la imagen original a la perfección, lo que significa que proporciona un operador de marco.
2. Si se utilizan filtros ortogonales tanto para la descomposición LP como para DFB, entonces la transformada de contornos discretos proporciona un marco ajustado cuyos límites son iguales a 1.
3. El límite superior para la relación de redundancia de la transformada de contornos discretos es${\displaystyle 4/3}$.
4. Si el${\displaystyle j}$El nivel piramidal de LP se aplica a${\displaystyle l_{j}}$nivel DFB, las imágenes base de la transformada contourlet tienen el tamaño de${\displaystyle ancho}$≈${\displaystyle 2^{j}}$y${\displaystyle longitud}$≈${\displaystyle 2^{j+l_{j}-2}}$.
5. Cuando se utiliza FIR, la complejidad computacional de la transformada de contornos discretos es${\displaystyle O(N)}$para imágenes de N píxeles. ^{[ 3 ]}

La transformada contourlet posee varias características y cualidades útiles, pero también tiene sus defectos. Una de las variaciones más notables de la transformada contourlet fue desarrollada y propuesta por da Cunha, Zhou y Do en 2006. La transformada contourlet sin submuestreo (NSCT) se desarrolló principalmente porque la transformada contourlet no es invariante a la traslación. ^{[ 4 ]} La razón de esto radica en el sobremuestreo y el submuestreo presentes tanto en la pirámide laplaciana como en los bancos de filtros direccionales. El método utilizado en esta variación se inspiró en la transformada wavelet sin submuestreo o en la transformada wavelet estacionaria , que se calcularon con el algoritmo à trous. ^{[ 4 ]}

Aunque el contourlet y esta variante son relativamente nuevos, se han utilizado en muchas aplicaciones diferentes, incluyendo la eliminación de ruido en radares de apertura sintética, ^{[ 5 ]} la mejora de imágenes ^{[ 6 ]} y la clasificación de texturas. ^{[ 7 ]}

Para conservar las propiedades direccionales y multiescala de la transformada, la pirámide laplaciana se reemplazó por una estructura piramidal sin submuestreo para mantener la propiedad multiescala, y un banco de filtros direccionales sin submuestreo para la direccionalidad. La primera diferencia notable es que se eliminan el sobremuestreo y el submuestreo de ambos procesos. En su lugar, los filtros tanto de la pirámide laplaciana como de los bancos de filtros direccionales se sobremuestrean. Si bien esto mitiga el problema de la invariancia de desplazamiento, surge un nuevo problema con el aliasing y el banco de filtros direccionales. Al procesar los niveles más gruesos de la pirámide, existe la posibilidad de aliasing y pérdida de resolución. Sin embargo, este problema se evita mediante el sobremuestreo de los filtros del banco de filtros direccionales, como se hizo con los filtros del banco de filtros piramidal. ^{[ 4 ]}

El siguiente problema que plantea esta transformación es el diseño de los filtros para ambos bancos de filtros. Según los autores, buscaban ciertas propiedades en esta transformación, como una reconstrucción perfecta, una respuesta en frecuencia nítida , una implementación sencilla y filtros de fase lineal. ^{[ 4 ]} Estas características se implementaron eliminando primero el requisito de marco ajustado y luego utilizando un mapeo para diseñar los filtros, para finalmente implementar una estructura tipo escalera. Estos cambios dan como resultado una transformación que no solo es eficiente, sino que también ofrece un buen rendimiento en comparación con otras transformaciones similares, e incluso algunas más avanzadas, al eliminar el ruido y mejorar las imágenes.

Aunque la transformada wavelet no es óptima para capturar las singularidades 2D de las imágenes, puede reemplazar la descomposición LP en la estructura de doble banco de filtros para hacer de la transformada contourlet una transformada de imagen no redundante. ^{[ 8 ]} La transformada contourlet basada en wavelet es similar a la transformada contourlet original y también consta de dos etapas de banco de filtros. En la primera etapa, la transformada wavelet se utiliza para realizar la descomposición de subbandas en lugar de la pirámide laplaciana (LP) en la transformada contourlet. Y la segunda etapa de la transformada contourlet basada en wavelet sigue siendo un banco de filtros direccional (DFB) para proporcionar el enlace de puntos singulares. Una de las ventajas de la transformada contourlet basada en wavelet es que los paquetes contourlet basados ​​en wavelet son similares a los paquetes wavelet que permiten la descomposición de quad-tree de los canales de paso bajo y paso alto y luego aplicar el DFB en cada subbanda.

Basándose en el estudio de las estadísticas de los coeficientes contourlet de imágenes naturales, se propone el modelo HMT para la transformada contourlet. Las estadísticas muestran que los coeficientes contourlet son altamente no gaussianos, altamente dependientes de la interacción con sus ocho vecinos y altamente dependientes de la interdireccionalidad con sus primos. Por lo tanto, el modelo HMT, que captura la propiedad altamente no gaussiana, se utiliza para obtener la dependencia del vecindario a través de los vínculos entre los estados ocultos de los coeficientes. ^{[ 9 ]} Este modelo HMT de coeficientes de la transformada contourlet tiene mejores resultados que la transformada contourlet original y otras transformadas modeladas con HMT en la eliminación de ruido y la recuperación de texturas, ya que restaura mejor los bordes visualmente.

En 2006, Lu y Do propusieron una alternativa o variación de la transformada contourlet. Este nuevo método se concibió como una solución para corregir imágenes base no localizadas en frecuencia. ^{[ 10 ]} El problema con la transformada contourlet original era que, al usarla con filtros de banco de filtros imperfectos, se producía aliasing y la resolución en el dominio de la frecuencia se veía afectada. Dos factores contribuyen al aliasing: la periodicidad de los espectros de frecuencia 2D y un defecto inherente en el muestreo crítico de los bancos de filtros direccionales. ^{[ 10 ]} Este nuevo método mitiga estos problemas cambiando el método de descomposición multiescala. Como se mencionó anteriormente, la transformada contourlet original utilizaba la pirámide laplaciana para la descomposición multiescala. Este nuevo método, propuesto por Lu y Do, utiliza una pirámide multiescala que se puede ajustar aplicando filtros de paso bajo o paso alto para los diferentes niveles. ^{[ 10 ]} Este método corrige varios problemas, reduce la cantidad de términos cruzados y localiza las imágenes base en frecuencia, elimina el aliasing y, en algunos casos, ha demostrado ser más eficaz para la eliminación de ruido en las imágenes. Si bien corrige todos estos problemas, este método requiere más filtros que la transformada contourlet original y aún incluye operaciones de sobremuestreo y submuestreo, lo que significa que no es invariante a la traslación.

En estudios previos, la transformada contourlet ha demostrado ser eficaz en la reducción de ruido de imágenes, pero en este método los investigadores desarrollaron un método de mejora de imagen. Al mejorar imágenes, la preservación y la mejora de datos importantes son de suma importancia. La transformada contourlet cumple este criterio en cierta medida gracias a su capacidad para reducir el ruido y detectar bordes. ^{[ 3 ]} Esta transformada primero pasa la imagen a través de la descomposición multiescala mediante la pirámide laplaciana sin submuestreo. Después, se calcula la varianza del ruido para cada subbanda y, en relación con las estadísticas locales de la imagen, se clasifica como ruido, borde débil o borde fuerte. Los bordes fuertes se conservan, los bordes débiles se realzan y el ruido se descarta. Este método de mejora de imagen superó significativamente a la transformada wavelet sin submuestreo (NSWT) tanto cualitativa como cuantitativamente. ^{[ 6 ]} Aunque este método superó a la NSWT, aún persiste el problema de la complejidad del diseño de bancos de filtros adecuados y el ajuste fino de los filtros para aplicaciones específicas, lo que requerirá un estudio más profundo. ^{[ 6 ]}