Contradicción

Para un conjunto de premisas consistentes${\displaystyle \Sigma }$y una proposición${\displaystyle \varphi }$En la lógica clásica es cierto que${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$(es decir,${\displaystyle \Sigma }$pruebas${\displaystyle \varphi }$) si y solo si${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$(es decir,${\displaystyle \Sigma }$y${\displaystyle \neg \varphi }$conduce a una contradicción). Por lo tanto, una prueba de que${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$también demuestra que${\displaystyle \varphi }$es cierto bajo las premisas${\displaystyle \Sigma }$El uso de este hecho constituye la base de una técnica de demostración denominada demostración por contradicción , que los matemáticos utilizan ampliamente para establecer la validez de una amplia gama de teoremas. Esto se aplica únicamente en una lógica donde se cumple el principio del tercero excluido.${\displaystyle A\vee \neg A}$se acepta como un axioma.

La demostración por contradicción se realiza mejor cuando, bajo un conjunto de premisas consistentes Σ, la proposición φ es imposible de probar, o la contradicción es más fácil de probar. Un ejemplo común es la demostración de que √2 es irracional. Intentar probar esto directamente es extremadamente difícil, pero asumir que es racional crea una contradicción fácil de probar (véase "Demostración mediante recíprocos" en la sección " Raíz cuadrada de 2 "). Utilizar la demostración por contradicción en otras circunstancias podría ser ineficiente o incluso imposible.

Utilizando la lógica mínima , una lógica con axiomas similares a la lógica clásica pero sin ex falso quodlibet ni prueba por contradicción, podemos investigar la fuerza axiomática y las propiedades de varias reglas que tratan la contradicción al considerar teoremas de la lógica clásica que no son teoremas de la lógica mínima. ^{[ 6 ]} Cada una de estas extensiones conduce a una lógica intermedia :

1. La eliminación de la doble negación (DNE) es el principio más fuerte, axiomatizado${\displaystyle \neg \neg A\implies A}$y cuando se le añade a la lógica mínima se obtiene la lógica clásica.
2. Ex falso quodlibet (EFQ), axiomatizado${\displaystyle \bot \implies A}$, autoriza muchas consecuencias de las negaciones, pero normalmente no ayuda a inferir proposiciones que no implican absurdo a partir de proposiciones consistentes que sí lo implican. Cuando se agrega a la lógica mínima, EFQ produce lógica intuicionista . EFQ es equivalente a ex contradicción quodlibet , axiomatizado${\displaystyle A\land \neg A\implies B}$, por una lógica mínima.
3. La regla de Peirce (RP) es un axioma${\displaystyle ((A\implies B)\implies A)\implies A}$que captura la prueba por contradicción sin referirse explícitamente al absurdo. La lógica mínima + PR + EFQ produce la lógica clásica.
4. El axioma de Gödel-Dummett (GD)${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$, cuya interpretación más simple es que existe un orden lineal en los valores de verdad. La lógica mínima + GD produce la lógica de Gödel-Dummett . La regla de Peirce implica, pero no es implicada por GD sobre la lógica mínima.
5. Ley del tercero excluido (LEM), axiomatizada${\displaystyle A\vee \neg A}$, es la formulación más citada del principio de bivalencia , pero en ausencia de EFQ no produce lógica clásica completa. La lógica mínima + LEM + EFQ produce lógica clásica. PR implica pero no es implicado por LEM en lógica mínima. Si la fórmula B en la regla de Peirce se restringe al absurdo, dando el esquema axiomático${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$, el esquema es equivalente a LEM sobre lógica mínima.
6. La ley débil del tercero excluido (WLEM) se axiomatiza.${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$y produce un sistema donde la disyunción se comporta más como en la lógica clásica que en la lógica intuicionista, es decir, las propiedades de disyunción y existencia no se cumplen, pero donde el uso del razonamiento no intuicionista está marcado por ocurrencias de doble negación en la conclusión. LEM implica, pero no es implicado por WLEM en lógica mínima. WLEM es equivalente a la instancia de la ley de De Morgan que distribuye la negación sobre la conjunción:${\displaystyle \neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)}$.

En matemáticas, el símbolo utilizado para representar una contradicción dentro de una demostración varía. ^{[ 7 ]} Algunos símbolos que pueden usarse para representar una contradicción incluyen ↯, Opq,${\displaystyle \Rightarrow \Leftarrow }$, ⊥,${\displaystyle \leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!}$/ y ※; en cualquier simbología, una contradicción puede sustituir al valor de verdad " falso ", simbolizado, por ejemplo, por "0" (como es común en el álgebra booleana ). No es raro ver QED , o alguna de sus variantes, inmediatamente después de un símbolo de contradicción. De hecho, esto suele ocurrir en una demostración por contradicción para indicar que la suposición original se demostró falsa y, por lo tanto, que su negación debe ser verdadera.

En general, una prueba de consistencia requiere las dos cosas siguientes:

1. Un sistema axiomático
2. Una demostración de que no es cierto que tanto la fórmula p como su negación ~p puedan derivarse en el sistema.

Pero, independientemente del método empleado, todas las pruebas de consistencia parecen requerir la noción primitiva de contradicción. Además, parece que esta noción tendría que estar simultáneamente «fuera» del sistema formal en la definición de tautología.

Cuando Emil Post , en su "Introducción a una teoría general de las proposiciones elementales" de 1921, extendió su demostración de la consistencia del cálculo proposicional (es decir, la lógica) más allá de la de Principia Mathematica (PM), observó que con respecto a un conjunto generalizado de postulados (es decir, axiomas), ya no podría invocar automáticamente la noción de "contradicción" — tal noción podría no estar contenida en los postulados:

El requisito primordial de un conjunto de postulados es que sea consistente. Dado que la noción ordinaria de consistencia implica la de contradicción, que a su vez implica la negación, y dado que esta función no aparece en general como una primitiva en [el conjunto generalizado de postulados], debe darse una nueva definición. ^{[ 8 ]}

La solución de Post al problema se describe en la demostración "Un ejemplo de una prueba absoluta exitosa de consistencia", ofrecida por Ernest Nagel y James R. Newman en su obra de 1958, *La prueba de Gödel *. Ellos también observaron un problema con respecto a la noción de "contradicción" y sus habituales "valores de verdad" de "verdad" y "falsedad". Observaron que:

La propiedad de ser una tautología se ha definido en términos de verdad y falsedad. Sin embargo, estas nociones implican obviamente una referencia a algo ajeno al cálculo de fórmulas. Por lo tanto, el procedimiento mencionado en el texto ofrece, en efecto, una interpretación del cálculo, al proporcionar un modelo para el sistema. Siendo así, los autores no han cumplido su promesa, a saber, « definir una propiedad de las fórmulas en términos de características puramente estructurales de las fórmulas mismas ». [En efecto]... las pruebas de consistencia que se basan en modelos y que argumentan a partir de la verdad de los axiomas para llegar a su consistencia, simplemente trasladan el problema. ^{[ 9 ]}

Dadas algunas "fórmulas primitivas" como las primitivas de PM S ₁ VS ₂ [OR inclusivo] y ~S (negación), uno se ve obligado a definir los axiomas en términos de estas nociones primitivas. De manera exhaustiva, Post demuestra en PM, y define (al igual que Nagel y Newman, véase más adelante) que la propiedad de tautología —aún por definir— es "heredada": si se parte de un conjunto de axiomas (postulados) tautólogos y un sistema de deducción que contiene sustitución y modus ponens , entonces un sistema consistente producirá solo fórmulas tautólogas.

En cuanto a la definición de tautólogo , Nagel y Newman crean dos clases mutuamente excluyentes y exhaustivas , K ₁ y K ₂ , en las que caen (el resultado de) los axiomas cuando sus variables (por ejemplo, S ₁ y S ₂ ) se asignan desde estas clases. Esto también se aplica a las fórmulas primitivas. Por ejemplo: "Una fórmula de la forma S ₁ VS ₂ se coloca en la clase K ₂ si tanto S ₁ como S ₂ están en K ₂ ; de lo contrario, se coloca en K ₁ ", y "Una fórmula de la forma ~S se coloca en K ₂ si S está en K ₁ ; de lo contrario, se coloca en K ₁ ". ^{[ 10 ]}

Por lo tanto, Nagel y Newman pueden definir ahora la noción de tautología : "una fórmula es una tautología si y solo si pertenece a la clase K ₁ , independientemente de en cuál de las dos clases se coloquen sus elementos". ^{[ 11 ]} De esta manera, se describe la propiedad de "ser tautólogo" sin referencia a un modelo o una interpretación.

Por ejemplo, dada una fórmula como ~S ₁ VS ₂ y una asignación de K ₁ a S ₁ y K ₂ a S _2, se puede evaluar la fórmula y ubicar su resultado en una u otra clase. La asignación de K ₁ a S ₁ ubica ~S ₁ en K ₂ , y ahora podemos ver que nuestra asignación hace que la fórmula caiga en la clase K _2. Por lo tanto, por definición, nuestra fórmula no es una tautología.

Post observó que, si el sistema fuera inconsistente, una deducción en él (es decir, la última fórmula en una secuencia de fórmulas derivadas de las tautologías) podría, en última instancia, producir S misma. Como una asignación a la variable S puede provenir de la clase K ₁ o K ₂ , la deducción viola la característica de herencia de la tautología (es decir, la derivación debe producir una evaluación de una fórmula que pertenecerá a la clase K ₁ ). A partir de esto, Post pudo derivar la siguiente definición de inconsistencia, sin utilizar la noción de contradicción :

Definición. Se dirá que un sistema es inconsistente si produce la afirmación de la variable no modificada p [S en los ejemplos de Newman y Nagel].

En otras palabras, la noción de "contradicción" puede omitirse al construir una prueba de consistencia; lo que la reemplaza es la noción de clases "mutuamente excluyentes y exhaustivas". Un sistema axiomático no necesita incluir la noción de "contradicción". ^{[ 12 ] : 177}

Se produce una contradicción pragmática cuando la propia formulación del argumento contradice las afirmaciones que plantea. En este caso, surge una inconsistencia porque el acto de enunciar, más que el contenido de lo que se dice, socava su conclusión. ^{[ 14 ]}

En el materialismo dialéctico : La contradicción —derivada del hegelianismo— generalmente se refiere a una oposición inherente a un mismo ámbito, una misma fuerza u objeto unificado. Esta contradicción, a diferencia del pensamiento metafísico, no es objetivamente imposible, ya que estas fuerzas contradictorias existen en la realidad objetiva, sin anularse mutuamente, sino definiendo su existencia. Según la teoría marxista , tal contradicción se puede encontrar, por ejemplo, en el hecho de que:

Las teorías hegelianas y marxistas estipulan que la naturaleza dialéctica de la historia conducirá a la superación , o síntesis , de sus contradicciones. Por lo tanto, Marx postuló que la historia, lógicamente, haría evolucionar el capitalismo hacia una sociedad socialista donde los medios de producción servirían por igual a la clase trabajadora y a la clase productora, resolviendo así la contradicción previa entre (a) y (b). ^{[ 15 ]}