Plaza de oposición

En lógica de términos (una rama de la lógica filosófica ), el cuadrado de oposición es un diagrama que representa las relaciones entre las cuatro proposiciones categóricas básicas . El origen del cuadrado se remonta al tratado de Aristóteles , Sobre la interpretación , y a su distinción entre dos oposiciones: contradicción y contrariedad . Sin embargo, Aristóteles no dibujó ningún diagrama; esto se hizo varios siglos después.

En la lógica tradicional , una proposición (del latín: propositio ) es una afirmación oral ( oratio enunciativa ), no el significado de una afirmación, como en la filosofía moderna del lenguaje y la lógica . Una proposición categórica es una proposición simple que contiene dos términos, sujeto ( S ) y predicado ( P ), en la que el predicado se afirma o se niega respecto del sujeto.

Toda proposición categórica puede reducirse a una de cuatro formas lógicas , denominadas A , E , I y O, basadas en el latín affirmo ( yo afirmo ), para las proposiciones afirmativas A e I , y neg o ( yo niego ), para las proposiciones negativas E y O. Estas son:

• La proposición A , la afirmativa universal ( universalis affirmativa ), cuya forma en latín es 'omne S est P ', generalmente traducida como 'cada S es una P '.
• La proposición E , la negación universal ( universalis negativa ), forma latina 'nullum S est P ', generalmente traducida como 'no hay S son P '.
• La proposición I , la afirmativa particular ( particularis afirmativa ), latina 'quoddam S est P ', habitualmente traducida como 'algunas S son P '.
• La proposición O , la negativa particular ( particularis negativa ), latina 'quoddam S nōn est P ', normalmente traducida como 'algunas S no son P '.

En forma tabular:

* La proposición A puede enunciarse como "Todo S es P ". Sin embargo, la proposición E, cuando se enuncia de forma correspondiente como "Todo S no es P ", resulta ambigua ^{[ 2 ]} porque puede ser una proposición E u O , lo que requiere un contexto para determinar su forma; la forma estándar "Ningún S es P " no es ambigua, por lo que se prefiere. La proposición O también adopta las formas "Algún S no es P " y "Cierto S no es P " (del latín "Quoddam S nōn est P ").

**${\displaystyle Sx}$en las formas modernas significa que una declaración${\displaystyle S}$se aplica a un objeto${\displaystyle x}$. Puede interpretarse simplemente como "${\displaystyle x}$es${\displaystyle S}$"en muchos casos."${\displaystyle Sx}$también se puede escribir como${\displaystyle S(x)}$.

Aristóteles afirma (en los capítulos seis y siete del Peri Hermēneias (Περὶ Ἑρμηνείας, en latín De Interpretatione , en español 'Sobre la interpretación')) que existen ciertas relaciones lógicas entre estos cuatro tipos de proposiciones. Dice que a cada afirmación le corresponde exactamente una negación, y que cada afirmación y su negación están «opuestas» de tal manera que siempre una de ellas debe ser verdadera y la otra falsa. Un par formado por una afirmación y su negación es, según él, una « contradicción».' (en latín medieval, contradictio ). Ejemplos de contradictorios son 'todo hombre es blanco' y 'no todo hombre es blanco' (también leído como 'algunos hombres no son blancos'), así como 'ningún hombre es blanco' y 'algún hombre es blanco'.

Las siguientes relaciones —contrario, subcontrario, subalternancia y superalternación— se cumplen bajo el supuesto lógico tradicional de que existen cosas que se expresan como S (o que satisfacen una proposición S en la lógica moderna). Si se elimina este supuesto, estas relaciones no se cumplen.

' Por el contrarioLas afirmaciones contrarias (medievales: contrariae ) son aquellas en las que ambas afirmaciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Ejemplos de esto son la afirmación universal «todo hombre es blanco» y la negación universal «ningún hombre es blanco». Estas no pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Sin embargo, no son contradictorias porque ambas pueden ser falsas. Por ejemplo, es falso que todo hombre sea blanco, puesto que algunos hombres no lo son. Sin embargo, también es falso que ningún hombre sea blanco, puesto que hay hombres blancos.

Dado que toda proposición tiene su opuesto contradictorio (su negación), y que una proposición contradictoria es verdadera cuando su opuesto es falso, se deduce que los opuestos de las contrarias (que los medievales llamaban subcontrarias ) pueden ser ambos verdaderos, pero no ambos falsos. Como las subcontrarias son negaciones de proposiciones universales, los lógicos medievales las denominaron proposiciones «particulares».

Otra relación lógica implícita en esto, aunque Aristóteles no la menciona explícitamente, es la 'alternancia' ( alternatio ), que consiste en ' subalternancia' .' y ' superalternaciónLa subalternancia es una relación entre la proposición particular y la proposición universal de la misma cualidad (afirmativa o negativa) de tal manera que la particular está implicada por la universal, mientras que la superalternación es una relación entre ellas de tal manera que la falsedad de la universal (o equivalentemente la negación de la universal) está implicada por la falsedad de la particular (o equivalentemente la negación de la particular). ^{[ 3 ]} (La superalternación es la contrapositiva de la subalternancia). En estas relaciones, la particular es la subalterna de la universal, que es la superaltern de la particular. Por ejemplo, si «todo hombre es blanco» es verdadera, su contraria «ningún hombre es blanco» es falsa. Por lo tanto, la contradictoria «algún hombre es blanco» es verdadera. De manera similar, la universal «ningún hombre es blanco» implica la particular «no todos los hombres son blancos». ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En resumen:

• Las afirmaciones universales son contrarias: "todo hombre es justo" y "ningún hombre es justo" no pueden ser ciertas a la vez, aunque una puede ser verdadera y la otra falsa, y también ambas pueden ser falsas (si al menos un hombre es justo y al menos uno no lo es).
• Determinadas afirmaciones son subcontrarias. «Algún hombre es justo» y «algún hombre no es justo» no pueden ser falsas simultáneamente.
• La afirmación particular de una cualidad es la subalterna de la afirmación universal de esa misma cualidad, que a su vez es la superalterna de la afirmación particular, porque en la semántica aristotélica «todo A es B » implica «algún A es B » y «ningún A es B » implica «algún A no es B ». Cabe señalar que las interpretaciones formales modernas de las oraciones en inglés interpretan «todo A es B » como «para cualquier x , una afirmación de que x es A implica una afirmación de que x es B », lo cual no implica «algún x es A» . Sin embargo, esto es una cuestión de interpretación semántica y no significa, como a veces se afirma, que la lógica aristotélica sea «incorrecta».
• La afirmación universal ( A ) y la negación particular ( O ) son contradictorias. Si algún A no es B , entonces no todo A es B. Recíprocamente, aunque esto no es así en la semántica moderna, se pensaba que si todo A no es B , algún A no es B. Esta interpretación ha causado dificultades (véase más adelante). Mientras que el griego de Aristóteles no representa la negación particular como «algún A no es B» , sino como «no todo A es B », alguien en su comentario sobre el Peri Hermaneias , traduce la negación particular como «quoddam A nōn est B », literalmente «cierto A no es un B », y en todos los escritos medievales sobre lógica es costumbre representar la proposición particular de esta manera.

Estas relaciones se convirtieron en la base de un diagrama dibujado por Boecio y utilizado por los lógicos medievales para clasificar las relaciones lógicas. Las proposiciones se colocan en las cuatro esquinas de un cuadrado, y las relaciones se representan como líneas trazadas entre ellas, de ahí el nombre de «Cuadrado de Oposición». Por lo tanto, se pueden hacer los siguientes casos: ^{[ 6 ]}

1. Si A es verdadero, entonces E es falso, I es verdadero, O es falso;
2. Si E es verdadero, entonces A es falso, I es falso, O es verdadero;
3. Si I es verdadero, entonces E es falso, A y O son indeterminados;
4. Si O es verdadero, entonces A es falso, E e I son indeterminados;
5. Si A es falso, entonces O es verdadero, E e I son indeterminados;
6. Si E es falso, entonces I es verdadero, A y O son indeterminados;
7. Si I es falso, entonces A es falso, E es verdadero, O es verdadero;
8. Si O es falso, entonces A es verdadero, E es falso, I es verdadero.

Para memorizarlas, los medievales inventaron la siguiente rima latina: ^{[ 7 ]}

A adfirmat, negat E , sed universaliter ambae; I firmat, negat O , sed particulariter ambae.

Afirma que A y E no son ni ambas verdaderas ni ambas falsas en cada uno de los casos anteriores. Lo mismo se aplica a I y O. Mientras que las dos primeras son enunciados universales, el par I / O se refiere a enunciados particulares.

El Cuadrado de Oposiciones se utilizaba para las inferencias categóricas descritas por los lógicos medievales: conversión , obversión y contraposición . Cada uno de estos tres tipos de inferencia categórica se aplicaba a las cuatro formas lógicas: A , E , I y O.

Las subcontrarias ( I y O ), que los lógicos medievales representaban en la forma «quoddam A est B » (algún A particular es B ) y «quoddam A non est B » (algún A particular no es B ), no pueden ser ambas falsas, puesto que sus proposiciones universales contradictorias (ningún A es B / todo A es B ) no pueden ser ambas verdaderas. Esto conduce a una dificultad identificada por primera vez por Pedro Abelardo (12 de febrero de 1079 - 21 de abril de 1142). «Algún A es B » parece implicar «algo es A », es decir, que existe algo que es A. Por ejemplo, «Algún hombre es blanco» parece implicar que al menos una cosa que existe es un hombre, a saber, el hombre que tiene que ser blanco, si «algún hombre es blanco» es verdadero. Pero «algún hombre no es blanco» también implica que existe algo como hombre, a saber, el hombre que no es blanco, si la proposición «algún hombre no es blanco» es verdadera. Pero la lógica aristotélica exige que, necesariamente, una de estas afirmaciones (más generalmente «algún A particular es B » y «algún A particular no es B ») sea verdadera; es decir, no pueden ser ambas falsas. Por lo tanto, dado que ambas afirmaciones implican la presencia de al menos una cosa que es un hombre, se deduce la presencia de un hombre o de hombres. Pero, como señala Abelardo en la Dialéctica , ¿acaso los hombres no pueden existir? ^{[ 8 ]}

Pues sin que exista absolutamente ningún hombre, ni la proposición «todo hombre es un hombre» es verdadera ni «algún hombre no es un hombre». ^{[ 9 ]}

Abelardo también señala que los subcontrarios que contienen términos de sujeto que no denotan nada, como "un hombre que es una piedra", son ambos falsos.

Si «todo hombre de piedra es una piedra» es cierto, también lo es su conversión por accidente («algunas piedras son hombres de piedra»). Pero ninguna piedra es un hombre de piedra, porque ni este hombre ni aquel, etc., son piedras. Pero también es falso por necesidad que «cierto hombre de piedra no es una piedra», puesto que es imposible suponer que sea cierto. ^{[ 10 ]}

Terence Parsons (1939-2022) sostiene que los filósofos antiguos no experimentaron el problema de la relevancia existencial, ya que solo las formas A (afirmativa universal) e I (afirmativa particular) tenían relevancia existencial. (Si una proposición incluye un término tal que la proposición es falsa si el término no tiene instancias, es decir, si no existe nada asociado a él, entonces se dice que la proposición tiene relevancia existencial con respecto a ese término).

Las afirmaciones tienen importancia existencial, y las negaciones no. Por lo tanto, los antiguos no percibieron la incoherencia del cuadrado tal como lo formuló Aristóteles, porque no había incoherencia que percibir. ^{[ 11 ]}

A continuación cita a un filósofo medieval, Guillermo de Ockham ( c. 1287 – 9/10 de abril de 1347),

En las proposiciones afirmativas, siempre se afirma que un término presupone algo. Por lo tanto, si no presupone nada, la proposición es falsa. Sin embargo, en las proposiciones negativas, la afirmación es que el término no presupone algo o que presupone algo que el predicado niega verdaderamente. Así, una proposición negativa tiene dos causas de verdad. ^{[ 12 ]}

Y señala el comentario de Boecio sobre la obra de Aristóteles como origen de la noción errónea de que la forma O tiene un significado existencial.

Pero cuando Boecio ( c. 480-524 ) comenta este texto, ilustra la doctrina de Aristóteles con el ahora famoso diagrama y utiliza la expresión «Algunos hombres no son justos». Así pues, esto debió parecerle un equivalente natural en latín. Nos resulta extraño en inglés, pero a él no le preocupaba. ^{[ 13 ]}

En el siglo XIX, George Boole (noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) defendió la necesidad de que ambos términos de las afirmaciones particulares ( I y O ) tuvieran un significado existencial , pero permitió que todos los términos de las afirmaciones universales ( A y E ) carecieran de él. Esta decisión facilitó el uso de los diagramas de Venn para la lógica de términos. El cuadrado de oposición, bajo este conjunto de supuestos booleanos, se conoce a menudo como el cuadrado de oposición moderno . En el cuadrado de oposición moderno, las afirmaciones A y O son contradictorias, al igual que E e I , pero todas las demás formas de oposición dejan de ser válidas; no existen contrarios, subcontrarios, subalternaciones ni superalteraciones. Por lo tanto, desde un punto de vista moderno, suele tener sentido hablar de «la» oposición de una afirmación, en lugar de insistir, como hacían los lógicos antiguos, en que una afirmación tiene varios opuestos diferentes, que se encuentran en distintos tipos de oposición con la afirmación.

La obra Begriffsschrift de Gottlob Frege (8 de noviembre de 1848 - 26 de julio de 1925) también presenta un cuadrado de oposiciones, organizado de manera casi idéntica al cuadrado clásico, que muestra las contradictorias, subalternas y contrarias entre cuatro fórmulas construidas a partir de la cuantificación universal, la negación y la implicación.

El cuadrado semiótico de Algirdas Julien Greimas (9 de marzo de 1917 – 27 de febrero de 1992) se derivó de la obra de Aristóteles.

El cuadrado de oposición tradicional ahora se compara a menudo con cuadrados basados ​​en la negación interna y externa. ^{[ 14 ]}

El cuadrado de oposición se ha extendido a un hexágono lógico que incluye las relaciones de seis enunciados. Fue descubierto independientemente por Augustin Sesmat (7 de abril de 1885 - 12 de diciembre de 1957) y Robert Blanché (1898-1975). ^{[ 15 ]} Se ha demostrado que tanto el cuadrado como el hexágono, seguidos de un " cubo lógico ", pertenecen a una serie regular de objetos n-dimensionales llamados "bisímplexes lógicos de dimensión n ". El patrón también va más allá. ^{[ 16 ]}

El cuadrado lógico, también llamado cuadrado de oposición o cuadrado de Apuleyo , tiene su origen en las cuatro oraciones marcadas que se emplean en el razonamiento silogístico: «Todo hombre es malo», la afirmación universal; la negación de la afirmación universal «No todo hombre es malo» (o «Algunos hombres no son malos»); «Algunos hombres son malos», la afirmación particular; y, finalmente, la negación de la afirmación particular «Ningún hombre es malo». Robert Blanché publicó con Vrin su obra Structures intellectuelles en 1966, y desde entonces muchos estudiosos consideran que el cuadrado lógico o cuadrado de oposición, que representa cuatro valores, debería sustituirse por el hexágono lógico , que, al representar seis valores, es una figura más potente porque tiene el poder de explicar más aspectos de la lógica y el lenguaje natural.

En la lógica matemática moderna , las afirmaciones que contienen las palabras "todos", "algunos" y "ninguno" pueden expresarse en términos de la teoría de conjuntos si asumimos un dominio de discurso similar a un conjunto. Si el conjunto de todos los A se etiqueta como${\displaystyle s(A)}$y el conjunto de todos los B como${\displaystyle s(B)}$, entonces:

• "Todo A es B " (AaB) es equivalente a "${\displaystyle s(A)}$es un subconjunto de${\displaystyle s(B)}$", o${\displaystyle s(A)\subseteq s(B)}$.
• "No hay A es B " (AeB) es equivalente a "La intersección de${\displaystyle s(A)}$y${\displaystyle s(B)}$está vacío ", o${\displaystyle s(A)\cap s(B)=\emptyset }$.
• "Algún A es B " (AiB) es equivalente a "La intersección de${\displaystyle s(A)}$y${\displaystyle s(B)}$no está vacío", o${\displaystyle s(A)\cap s(B)\neq \emptyset }$.
• "Algún A no es B " (AoB) es equivalente a "${\displaystyle s(A)}$no es un subconjunto de${\displaystyle s(B)}$", o${\displaystyle s(A)\nsubseteq s(B)}$.

Por definición, el conjunto vacío${\displaystyle \emptyset }$es un subconjunto de todos los conjuntos. De este hecho se deduce que, según esta convención matemática, si no hay A , entonces las afirmaciones "Todo A es B " y "Ningún A es B " son siempre verdaderas, mientras que las afirmaciones "Algún A es B " y "Algún A no es B " son siempre falsas. Esto también implica que AaB no implica AiB, y algunos de los silogismos mencionados anteriormente no son válidos cuando no hay A (${\displaystyle s(A)=\emptyset }$).

• Silogística de Boole
• Lógica libre
• cubo Lambda
• Cubo lógico
• Hexágono lógico
• Cuadrado semiótico
• Triángulo de oposición

• Parsons, Terence. "El cuadrado tradicional de oposición" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
• Congreso Internacional sobre la Plaza de la Oposición
• Número especial de Logica Universalis Vol. 2 N. 1 (2008) sobre el cuadrado de oposición.
• Catlogic: Un script informático de código abierto escrito en Ruby para construir, investigar y calcular proposiciones categóricas y silogismos.
• Periermenias Aristotelis con enlaces a vídeo y al manuscrito digitalizado LJS 101 dela traducción latina de Boecio del De Interpretatione de Aristóteles , que contiene copias de los siglos IX/XI (algunas en color) del cuadrado de oposición de Aristóteles en las hojas 36r y 36v.