Función de transferencia de contraste

Siguiendo la notación de Wade, ^{[ 1 ]} la expresión de la función de onda de salida se representa mediante:

${\displaystyle \tau (r,z)=\tau _{o}\exp[-i\pi \lambda \int dz'U(r,z')]}$

${\displaystyle \tau _ {o}=\tau (r,0)}$

${\displaystyle U(r,z)=2mV(r,z)/h^{2}}$

Donde la función de onda de salida τ es una función de ambos${\displaystyle r}$en el plano de la muestra, y${\displaystyle z}$perpendicular al plano de la muestra.${\displaystyle \tau _{o}}$representa la función de onda incidente en la parte superior de la muestra.${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda del haz de electrones, ^{[ 5 ]} que viene determinada por el voltaje de aceleración.${\displaystyle U}$es el potencial efectivo de la muestra, que depende de los potenciales atómicos dentro del cristal, representados por${\displaystyle V}$.

Dentro de la función de onda de salida, el desplazamiento de fase se representa mediante:

${\displaystyle \phi (r)=\pi \lambda \int dz'U(r,z')}$

Esta expresión puede simplificarse aún más teniendo en cuenta algunas suposiciones adicionales sobre la muestra. Si se considera que la muestra es muy delgada y un dispersor débil, de modo que el desfase sea << 1, entonces la función de onda puede aproximarse mediante una expansión polinómica lineal de Taylor . ^{[ 6 ]} Esta aproximación se denomina Aproximación de Objeto de Fase Débil.

La función de onda de salida se puede expresar entonces como:

${\displaystyle \tau (r,z)=\tau _ {o}[1+i\phi (r)]}$

El paso a través de la lente del objetivo conlleva una transformada de Fourier y un desplazamiento de fase. Por lo tanto, la función de onda en el plano focal posterior de la lente del objetivo se puede representar mediante:

${\displaystyle I(\theta )=\delta (\theta )+\Phi K(\theta )}$

${\displaystyle \theta }$= el ángulo de dispersión entre la onda electrónica transmitida y la onda electrónica dispersada

${\displaystyle \delta }$= una función delta que representa la onda electrónica transmitida no dispersada

${\displaystyle \Phi }$= la transformada de Fourier de la fase de la función de onda

${\displaystyle K(\theta )}$= el desfase producido por las aberraciones del microscopio, también conocido como función de transferencia de contraste:

${\displaystyle K(\theta )=\sin[(2\pi /\lambda )W(\theta )]}$${\displaystyle W(\theta )=-z\theta ^{2}/2+C_{s}\theta ^{4}/4}$

${\displaystyle \lambda }$= la longitud de onda relativista de la onda electrónica,${\displaystyle C_{s}}$= La aberración esférica de la lente objetivo

La función de transferencia de contraste también se puede expresar en términos de frecuencias espaciales o espacio recíproco. Con la relación${\estilo de texto \theta =\lambda k}$, la función de transferencia de contraste de fase se convierte en:

${\displaystyle K(k)=\sin[(2\pi )W(k)]}$${\displaystyle W(k)=-z\lambda k^{2}/2+C_{s}\lambda ^{3}k^{4}/4}$

${\displaystyle z}$= el desenfoque de la lente del objetivo (utilizando la convención de que el subenfoque es positivo y el sobreenfoque es negativo),${\displaystyle \lambda }$= la longitud de onda relativista de la onda electrónica,${\displaystyle C_{s}}$= La aberración esférica de la lente objetivo,${\displaystyle k}$= la frecuencia espacial (unidades de m ⁻¹ )

La aberración esférica es un efecto de desenfoque que surge cuando una lente no puede converger los rayos incidentes con ángulos de incidencia mayores hacia el punto focal, sino que los enfoca en un punto más cercano a la lente. Esto tendrá el efecto de extender un punto de imagen (que idealmente se proyecta como un solo punto en el plano de imagen gaussiano ) sobre un disco de tamaño finito en el plano de imagen. La medida de la aberración en un plano normal al eje óptico se denomina aberración transversal. Se puede demostrar que el tamaño (radio) del disco de aberración en este plano es proporcional al cubo del ángulo de incidencia (θ) bajo la aproximación de ángulo pequeño, y que la forma explícita en este caso es

${\displaystyle r_{s}=C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}$

dónde${\displaystyle C_{s}}$es la aberración esférica y${\displaystyle M}$es la magnificación, siendo ambas constantes de los ajustes de la lente. Se puede entonces observar que la diferencia en el ángulo de refracción entre un rayo ideal y uno que sufre de aberración esférica es

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {b}{R}}\right)-\arctan \left({\frac {b}{R+r_{s}}}\right)}$

dónde${\displaystyle b}$es la distancia desde la lente hasta el plano de la imagen gaussiana y${\displaystyle R}$es la distancia radial desde el eje óptico hasta el punto de la lente por donde pasó el rayo. Simplificando aún más esto (sin aplicar ninguna aproximación) se muestra que

${\displaystyle \alpha _{s}=\arctan \left({\frac {br_{s}}{R^{2}+Rr_{s}+b^{2}}}\right)}$

Ahora se pueden aplicar dos aproximaciones para continuar de manera directa. Se basan en la suposición de que ambos${\displaystyle r_{s}}$y${\displaystyle R}$son mucho más pequeños que${\displaystyle b}$, lo cual equivale a afirmar que estamos considerando ángulos de incidencia relativamente pequeños y, en consecuencia, también aberraciones esféricas muy pequeñas. Bajo tal suposición, los dos términos principales en el denominador son insignificantes y pueden aproximarse como si no contribuyeran. Mediante estas suposiciones también hemos afirmado implícitamente que la fracción misma puede considerarse pequeña, y esto resulta en la eliminación de la${\displaystyle \arctan()}$función mediante la aproximación de ángulo pequeño;

${\displaystyle \alpha _{s}\approx \arctan \left({\frac {br_{s}}{b^{2}}}\right)\approx {\frac {br_{s}}{b^{2}}}={\frac {r_{s}}{b}}={\frac {C_{s}\cdot \theta ^{3}\cdot M}{b}}}$

Si se considera que la imagen está aproximadamente enfocada y el ángulo de incidencia${\displaystyle \theta }$se considera nuevamente pequeño, entonces

${\displaystyle {\frac {R}{f}}\approx \tan \left(\theta \right)\approx \theta ~~{\text{and}}~~M\approx {\frac {b}{f}}}$

lo que significa que una expresión aproximada para la diferencia en el ángulo de refracción entre un rayo ideal y uno que sufre de aberración esférica, viene dada por

${\displaystyle \alpha _{s}\approx {\frac {C_{s}\cdot R^{3}}{f^{4}}}}$

A diferencia de la aberración esférica, procederemos estimando la desviación de un rayo desenfocado del ideal mediante la aberración longitudinal; una medida de cuánto se desvía un rayo del punto focal a lo largo del eje óptico. Denotando esta distancia${\displaystyle \Delta b}$, es posible demostrar que la diferencia${\displaystyle \alpha _{f}}$en el ángulo de refracción entre rayos originados en un objeto enfocado y desenfocado, se puede relacionar con el ángulo de refracción como

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(\alpha _{f})=\Delta b\cdot \sin(\theta '-\alpha _{f})}$

dónde${\displaystyle R}$y${\displaystyle b}$se definen de la misma manera que se definieron para la aberración esférica. Suponiendo que${\displaystyle \alpha _{f}<<\theta '}$(o equivalentemente que${\displaystyle |b\cdot \sin(\alpha _{f})|<<|R|}$), podemos demostrar que

${\displaystyle \sin(\alpha _{f})\approx {\frac {\Delta b\sin(\theta ')}{\sqrt {R^{2}+b^{2}}}}={\frac {\Delta b\cdot R}{R^{2}+b^{2}}}}$

Dado que lo requeríamos${\displaystyle \alpha _{f}}$ser pequeño, y desde${\displaystyle \theta }$ser pequeño implica${\displaystyle R<<b}$, se nos da una aproximación de${\displaystyle \alpha _{f}}$como

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta b\cdot R}{b^{2}}}}$

A partir de la fórmula de lentes delgadas se puede demostrar que${\displaystyle \Delta b/b^{2}\approx \Delta f/f^{2}}$, lo que da como resultado una estimación final de la diferencia en el ángulo de refracción entre los rayos enfocados y desenfocados como

${\displaystyle \alpha _{f}\approx {\frac {\Delta f\cdot R}{f^{2}}}}$

El valor de desenfoque (${\textstyle z}$) se puede utilizar para contrarrestar la aberración esférica y permitir un mayor contraste de fase. Este análisis fue desarrollado por Scherzer y se denomina desenfoque de Scherzer. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle z_{s}=(C_{s}\lambda )^{1/2}}$

Las variables son las mismas que en la sección de tratamiento matemático, con${\displaystyle z_{s}}$establecer el desenfoque Scherzer específico,${\displaystyle C_{s}}$como la aberración esférica, y λ como la longitud de onda relativista para la onda del electrón.

La figura de la siguiente sección muestra la función CTF para un microscopio CM300 en el desenfoque Scherzer. En comparación con la función CTF mostrada anteriormente, se observa una ventana más amplia, también conocida como banda de paso, de frecuencias espaciales con alta transmitancia. Esto permite que una mayor cantidad de señal de fase llegue al plano de la imagen.

La función envolvente representa el efecto de aberraciones adicionales que amortiguan la función de transferencia de contraste y, a su vez, la fase. Los términos de la función envolvente tienden a suprimir las altas frecuencias espaciales. La forma exacta de las funciones envolventes puede variar según la fuente. Generalmente, se aplican multiplicando la función de transferencia de contraste por un término de envolvente Et que representa las aberraciones temporales y un término de envolvente Es que representa las aberraciones espaciales. Esto da como resultado una función de transferencia de contraste modificada o efectiva.

${\displaystyle K_{eff}(k)=E_{t}E_{s}(\sin[(2\pi /\lambda )W(k)]}$

Ejemplos de aberraciones temporales incluyen aberraciones cromáticas, dispersión de energía, dispersión focal, inestabilidades en la fuente de alto voltaje e inestabilidades en la corriente de la lente del objetivo. Un ejemplo de aberración espacial es la convergencia finita del haz incidente. ^{[ 8 ]}

Como se muestra en la figura, el término de envolvente más restrictivo será el que más atenúe la función de transferencia de contraste. En este ejemplo concreto, el término de envolvente temporal es el más restrictivo. Debido a que los términos de envolvente se atenúan con mayor intensidad a frecuencias espaciales más altas, llega un punto en el que ya no puede pasar ninguna señal de fase. Esto se conoce como el límite de información del microscopio y es una medida de la resolución.

Modelar la función de envolvente puede aportar información valiosa tanto para el diseño del instrumento TEM como para los parámetros de imagen. Al modelar las diferentes aberraciones mediante los términos de envolvente, es posible identificar cuáles limitan en mayor medida la señal de fase.

Se han desarrollado varios programas informáticos para modelar tanto la función de transferencia de contraste como la función de envolvente para microscopios específicos y parámetros de imagen específicos. ^{[ 9 ] [ 10 ]}