Función de control-Lyapunov

En teoría de control , una función de control-Lyapunov (CLF) ^{[1] [2] [3] [4]} es una extensión de la idea de la función de Lyapunov a sistemas con entradas de control . La función de Lyapunov ordinaria se utiliza para probar si un sistema dinámico es (Lyapunov) estable o (más restrictivamente) asintóticamente estable . La estabilidad de Lyapunov significa que si el sistema comienza en un estado en algún dominio D , entonces el estado permanecerá en D para todo el tiempo. Para la estabilidad asintótica , también se requiere que el estado converja a . Una función de control-Lyapunov se utiliza para probar si un sistema es asintóticamente estabilizable , es decir, si para cualquier estado x existe un control tal que el sistema puede llevarse al estado cero asintóticamente aplicando el control u . ${\estilo de visualización V(x)}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u(x,t)}$

La teoría y aplicación de las funciones de control-Lyapunov fueron desarrolladas por Zvi Artstein y Eduardo D. Sontag en las décadas de 1980 y 1990.

Considere un sistema dinámico autónomo con entradas

donde es el vector de estado y es el vector de control. Supongamos que nuestro objetivo es llevar el sistema a un equilibrio desde cada estado inicial en algún dominio . Sin pérdida de generalidad, supongamos que el equilibrio está en (para un equilibrio , se puede trasladar al origen mediante un cambio de variables). ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle x_{*}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{*}=0}$$estilo de visualización x_{*}\neq 0}$

Definición. Una función de control-Lyapunov (CLF) es una función que es continuamente diferenciable , definida positiva (es decir, es positiva para todos excepto en donde es cero), y tal que para todos existe tal que ${\displaystyle V:D\to \mathbb {R}}$${\estilo de visualización V(x)}$${\displaystyle x\en D}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}(x\neq 0),}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x,u):=\langle \nabla V(x),f(x,u)\rangle <0,}$

donde denota el producto interno de . ${\displaystyle \langle u,v\rangle }$${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{n}}$

La última condición es la condición clave; en palabras, dice que para cada estado x podemos encontrar un control u que reducirá la "energía" V. Intuitivamente, si en cada estado siempre podemos encontrar una forma de reducir la energía, eventualmente deberíamos ser capaces de llevar la energía asintóticamente a cero, es decir, detener el sistema. Esto se hace riguroso mediante el teorema de Artstein .

Algunos resultados se aplican únicamente a sistemas de control afines, es decir, sistemas de control en la siguiente forma:

donde y para . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle i=1,\puntos ,m}$

Eduardo Sontag demostró que para un sistema de control dado, existe una CLF continua si y solo si el origen es estabilizable asintóticamente. ^{[5] Posteriormente,} Francis H. Clarke , Yuri Ledyaev, Eduardo Sontag y AI Subbotin demostraron que todo sistema controlable asintóticamente puede estabilizarse mediante una retroalimentación (generalmente discontinua). ^[6] Artstein demostró que el sistema dinámico ( 2 ) tiene una función de control-Lyapunov diferenciable si y solo si existe una retroalimentación estabilizadora regular u ( x ).

A menudo es difícil encontrar una función de control-Lyapunov para un sistema dado, pero si se encuentra una, entonces el problema de estabilización por retroalimentación se simplifica considerablemente. Para el sistema afín de control ( 2 ), la fórmula de Sontag (o fórmula universal de Sontag ) da la ley de retroalimentación directamente en términos de las derivadas de la CLF. ^{[4] : ​​Ec. 5.56} En el caso especial de un sistema de entrada única , la fórmula de Sontag se escribe como ${\displaystyle k:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\estilo de visualización (m=1)}$

${\displaystyle k(x)={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {L_{f}V(x)+{\sqrt {\left[L_{f}V(x)\right]^{2}+\left[L_{g}V(x)\right]^{4}}}}{L_{g}V(x)}}&{\text{ if }}L_{g}V(x)\neq 0\\0&{\text{ if }}L_{g}V(x)=0\end{cases}}}$

donde y son las derivadas de Lie de a lo largo y , respectivamente. ${\displaystyle L_{f}V(x):=\langle \nabla V(x),f(x)\rangle }$${\displaystyle L_{g}V(x):=\langle \nabla V(x),g(x)\rangle }$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Para el sistema no lineal general ( 1 ), la entrada se puede encontrar resolviendo un problema de programación no lineal estática${\displaystyle u}$

${\displaystyle u^{*}(x)={\underset {u}{\operatorname {arg\,min} }}\nabla V(x)\cdot f(x,u)}$

para cada estado x .

A continuación se muestra un ejemplo característico de la aplicación de una función candidata de Lyapunov a un problema de control.

Consideremos el sistema no lineal, que es un sistema masa-resorte-amortiguador con endurecimiento del resorte y masa dependiente de la posición descrito por

${\displaystyle m(1+q^{2}){\ddot {q}}+b{\dot {q}}+K_{0}q+K_{1}q^{3}=u}$

Ahora, dado el estado deseado, , y el estado actual, , con error, , defina una función como ${\displaystyle q_{d}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle e=q_{d}-q}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={\dot {e}}+\alpha e}$

Un candidato de Control-Lyapunov es entonces

${\displaystyle r\mapsto V(r):={\frac {1}{2}}r^{2}}$

lo cual es positivo para todos . ${\displaystyle r\neq 0}$

Ahora, tomando la derivada temporal de${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\dot {V}}=r{\dot {r}}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=({\dot {e}}+\alpha e)({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})}$

El objetivo es conseguir que la derivada del tiempo sea

${\displaystyle {\dot {V}}=-\kappa V}$

que es globalmente exponencialmente estable si es globalmente positiva definida (lo cual es). ${\displaystyle V}$

Por lo tanto, queremos el corchete más a la derecha de , ${\displaystyle {\dot {V}}}$

${\displaystyle ({\ddot {e}}+\alpha {\dot {e}})=({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})}$

Para cumplir con el requisito

${\displaystyle ({\ddot {q}}_{d}-{\ddot {q}}+\alpha {\dot {e}})=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)}$

que al sustituir la dinámica, , da ${\displaystyle {\ddot {q}}}$

${\displaystyle \left({\ddot {q}}_{d}-{\frac {u-K_{0}q-K_{1}q^{3}-b{\dot {q}}}{m(1+q^{2})}}+\alpha {\dot {e}}\right)=-{\frac {\kappa }{2}}({\dot {e}}+\alpha e)}$

Resolviendo obtenemos la ley de control ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=m(1+q^{2})\left({\ddot {q}}_{d}+\alpha {\dot {e}}+{\frac {\kappa }{2}}r\right)+K_{0}q+K_{1}q^{3}+b{\dot {q}}}$

con y , ambos mayores que cero, como parámetros ajustables ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha }$

Esta ley de control garantizará la estabilidad exponencial global ya que al sustituir en la derivada temporal se obtiene, como se esperaba

${\displaystyle {\dot {V}}=-\kappa V}$

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden que tiene solución

${\displaystyle V=V(0)\exp(-\kappa t)}$

Y de ahí el error y la tasa de error, recordando que , decaen exponencialmente hasta cero. ${\displaystyle V={\frac {1}{2}}({\dot {e}}+\alpha e)^{2}}$

Si desea ajustar una respuesta particular a partir de esto, es necesario sustituir nuevamente en la solución que derivamos para y resolver para . Esto se deja como ejercicio para el lector, pero los primeros pasos para la solución son: ${\displaystyle V}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle r{\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r^{2}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {\kappa }{2}}r}$

${\displaystyle r=r(0)\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)}$

${\displaystyle {\dot {e}}+\alpha e=({\dot {e}}(0)+\alpha e(0))\exp \left(-{\frac {\kappa }{2}}t\right)}$

que luego puede resolverse utilizando cualquier método de ecuación diferencial lineal.

• Teorema de Artstein
• Optimización de Lyapunov
• Deriva más penalización