Variantes de control

El método de control de las variables es una técnica de reducción de la varianza que se utiliza en los métodos de Monte Carlo . Aprovecha la información sobre los errores en las estimaciones de cantidades conocidas para reducir el error de una estimación de una cantidad desconocida. ^{[1] [2] [3]}

Sea , el parámetro de interés desconocido , y supongamos que tenemos una estadística tal que el valor esperado de m es μ: , es decir, m es un estimador insesgado para μ. Supongamos que calculamos otra estadística tal que sea un valor conocido. Entonces ${\estilo de visualización \mu}$ ${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \mathbb {E} \izquierda[m\derecha]=\mu }$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \mathbb {E} \izquierda[t\derecha]=\tau }$

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$

es también un estimador insesgado para cualquier elección del coeficiente . La varianza del estimador resultante es ${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle m^{\estrella}}$

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right).}$

Al diferenciar la expresión anterior con respecto a , se puede demostrar que al elegir el coeficiente óptimo ${\estilo de visualización c}$

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}(m,t\right)}{{\textrm {Var}}(t\right)}}}$

minimiza la varianza de . (Tenga en cuenta que este coeficiente es el mismo que el coeficiente obtenido a partir de una regresión lineal ). Con esta elección, ${\displaystyle m^{\estrella}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$

es el coeficiente de correlación de y . Cuanto mayor sea el valor de , mayor será la reducción de la varianza lograda. ${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \vert \rho_{m,t}\vert}$

En el caso de que , , y/o sean desconocidos, se pueden estimar a través de las réplicas de Monte Carlo. Esto es equivalente a resolver un determinado sistema de mínimos cuadrados ; por lo tanto, esta técnica también se conoce como muestreo de regresión . ${\displaystyle {\textrm {Cov}}\izquierda(m,t\derecha)}$${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$${\displaystyle \rho_{m,t}\;}$

Cuando la expectativa de la variable de control, , no se conoce analíticamente, aún es posible aumentar la precisión en la estimación (para un presupuesto de simulación fijo dado), siempre que se cumplan las dos condiciones: 1) evaluar es significativamente más barato que calcular ; 2) la magnitud del coeficiente de correlación es cercana a la unidad. ^[3]${\displaystyle \mathbb {E} \izquierda[t\derecha]=\tau }$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle |\rho_{m,t}|}$

Nos gustaría estimar

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$

utilizando la integración de Monte Carlo . Esta integral es el valor esperado de , donde ${\displaystyle f(U)}$

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$

y U sigue una distribución uniforme  [0, 1]. Utilizando una muestra de tamaño n, denotemos los puntos de la muestra como . Entonces la estimación está dada por ${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i}).}$

Ahora introducimos como variable de control un valor esperado conocido y combinamos los dos en una nueva estimación. ${\displaystyle g(U)=1+U}$${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$

Utilizando realizaciones y un coeficiente óptimo estimado obtenemos los siguientes resultados ${\estilo de visualización n=1500}$${\displaystyle c^{\star }\aproximadamente 0,4773}$

La varianza se redujo significativamente después de utilizar la técnica de variables de control. (El resultado exacto es .) ${\displaystyle I=\ln 2\aproximadamente 0,69314718}$

• Variantes antitéticas
• Muestreo de importancia

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulación 3.ª edición ISBN 978-0-12-598053-1 
• Averill M. Law y W. David Kelton (2000), Modelado y análisis de simulación , 3.ª edición. ISBN 0-07-116537-1 
• SP Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks (Técnicas de control para redes complejas ), Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9 . Borrador descargable (Sección 11.4: Variables de control y funciones de sombra)