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Articulo de referencia

Problema de convergencia

En la teoría analítica de fracciones continuas , el problema de convergencia consiste en determinar las condiciones sobre los numeradores parciales a i y los denominadores parci...

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En la teoría analítica de fracciones continuas , el problema de convergencia consiste en determinar las condiciones sobre los numeradores parciales a i y los denominadores parciales b i que sean suficientes para garantizar la convergencia de la fracción continua infinita.

incógnita=b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+⋱.{\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots }}}}}}}}.\,}

Este problema de convergencia es intrínsecamente más difícil que el problema correspondiente para series infinitas .

Resultados elementales

Cuando los elementos de una fracción continua infinita constan enteramente de números reales positivos , la fórmula del determinante se puede aplicar fácilmente para demostrar cuándo converge la fracción continua. Dado que los denominadores B n no pueden ser cero en este caso simple, el problema se reduce a demostrar que el producto de denominadores sucesivos B n B n +1 crece más rápidamente que el producto de los numeradores parciales a 1 a 2 a 3 ... a n +1 . El problema de convergencia es mucho más difícil cuando los elementos de la fracción continua son números complejos .

fracciones periódicas continuas

Una fracción continua periódica infinita es una fracción continua de la forma

incógnita=a1b1+a2b2+⋱⋱bk−1+akbk+a1b1+a2b2+⋱{\displaystyle x={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad b_{k-1}+{\cfrac {a_{k}}{b_{k}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\ddots }}}}}}}}}}}}\,}

donde k ≥ 1, la secuencia de numeradores parciales { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a k } no contiene valores iguales a cero, y los numeradores parciales { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a k } y los denominadores parciales { b 1 , b 2 , b 3 , ..., b k } se repiten una y otra vez, ad infinitum .

Aplicando la teoría de las transformaciones fraccionarias lineales a

s(w)=Ak−1w+AkBk−1w+Bk{\displaystyle s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}\,}

donde A k -1 , B k -1 , A k , y B k son los numeradores y denominadores de las k -1-ésimas y k -ésimas convergentes de la fracción continua periódica infinita x , se puede demostrar que x converge a uno de los puntos fijos de s ( w ) si es que converge. Específicamente, sean r 1 y r 2 las raíces de la ecuación cuadrática

Bk−1w2+(Bk−Ak−1)w−Ak=0.{\displaystyle B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0.\,}

Estas raíces son los puntos fijos de s ( w ). Si r 1 y r 2 son finitos, entonces la fracción continua periódica infinita x converge si y solo si

  1. Las dos raíces son iguales; o
  2. La k -1.ª convergente está más cerca de r 1 que de r 2 , y ninguna de las primeras k convergentes es igual a r 2 .

Si el denominador B k -1 es igual a cero, entonces un número infinito de denominadores B nk -1 también se anulan, y la fracción continua no converge a un valor finito. Y cuando las dos raíces r 1 y r 2 son equidistantes de la k -1-ésima convergente , o cuando r 1 está más cerca de la k -1-ésima convergente que r 2 , pero una de las primeras k convergentes es igual a r 2 , la fracción continua x diverge por oscilación. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

El caso especial cuando el período k = 1

Si el período de una fracción continua es 1; es decir, si

incógnita=K∞1ab,{\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a}{b}},\,}

donde b ≠ 0, podemos obtener un resultado muy fuerte. Primero, al aplicar una transformación de equivalencia vemos que x converge si y solo si

y=1+K∞1z1(z=ab2){\displaystyle y=1+{\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {z}{1}}\qquad \left(z={\frac {a}{b^{2}}}\right)\,}

converge. Entonces, aplicando el resultado más general obtenido anteriormente, se puede demostrar que

y=1+z1+z1+z1+⋱{\displaystyle y=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}\,}

converge para todo número complejo z excepto cuando z es un número real negativo y z < − ⁠ 1 / 4 ⁠ . Además, esta fracción continua y converge al valor particular de

y=12(1±4z+1){\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {4z+1}}\right)\,}

que tiene el mayor valor absoluto (excepto cuando z es real y z < − ⁠ 1 / 4 ⁠ , en cuyo caso los dos puntos fijos de la LFT que generan y tienen módulos iguales e y diverge por oscilación).

Al aplicar otra transformación de equivalencia, la condición que garantiza la convergencia de

incógnita=K∞11z=1z+1z+1z+⋱{\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}={\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\,}

También se puede determinar. Dado que una simple transformación de equivalencia muestra que

incógnita=z−11+z−21+z−21+⋱{\displaystyle x={\cfrac {z^{-1}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+\ddots }}}}}}\,}

siempre que z ≠ 0, el resultado anterior para la fracción continua y puede reformularse para x . La fracción continua periódica infinita

incógnita=K∞11z{\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}}

x converge si y solo si z² no es un número real que se encuentre en el intervalo −4 < z² ≤ 0 ; o , equivalentemente, x converge si y solo si z ≠ 0 y z no es un número puramente imaginario con parte imaginaria entre -2 y 2. (Sin incluir ninguno de los extremos).

Teorema de Worpitzky

Aplicando las desigualdades fundamentales a la fracción continua

incógnita=11+a21+a31+a41+⋱{\displaystyle x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+{\cfrac {a_{4}}{1+\ddots }}}}}}}}\,}

Se puede demostrar que las siguientes afirmaciones se cumplen si | a i | ≤ 1 / 4 para los numeradores parciales a i , i = 2 , 3, 4, ...

  • La fracción continua x converge a un valor finito y converge uniformemente si los numeradores parciales a i son variables complejas. [ 4 ]
  • El valor de x y de cada una de sus convergentes x i se encuentra en el dominio circular de radio 2/3 centrado en el punto z = 4/3; es decir, en la región definida por
Ω={z:|z−4/3|≤2/3}.{\displaystyle \Omega =\lbrace z:|z-4/3|\leq 2/3\rbrace .\,}[ 5 ]
  • El radio ⁠ 1 / 4 ⁠ es el radio más grande sobre el cual se puede demostrar que x converge sin excepción, y la región Ω es el espacio imagen más pequeño que contiene todos los valores posibles de la fracción continua x . [ 5 ]

Debido a que la demostración del teorema de Worpitzky emplea la fórmula de fracción continua de Euler para construir una serie infinita equivalente a la fracción continua x , y la serie así construida es absolutamente convergente , el test M de Weierstrass puede aplicarse a una versión modificada de x .

F(z)=11+do2z1+do3z1+do4z1+⋱{\displaystyle f(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {c_{2}z}{1+{\cfrac {c_{3}z}{1+{\cfrac {c_{4}z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}

y existe un número real positivo M tal que | c i | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), entonces la sucesión de convergentes { f i ( z )} converge uniformemente cuando

|z|<14METRO{\displaystyle |z|<{\frac {1}{4M}}\,}

y f ( z ) es analítica en ese disco abierto.

Criterio de Śleszyński-Pringsheim

A finales del siglo XIX, Śleszyński y posteriormente Pringsheim demostraron que una fracción continua, en la que los a y b pueden ser números complejos, convergerá a un valor finito si|bnorte|≥|anorte|+1{\displaystyle |b_{n}|\geq |a_{n}|+1}paranorte≥1.{\displaystyle n\geq 1.}[ 6 ]

Teorema de Van Vleck

Jones y Thron atribuyen el siguiente resultado a Van Vleck . Supongamos que todos los a i son iguales a 1, y todos los b i tienen argumentos con:

−π/2+ϵ<arg⁡(bi)<π/2−ϵ,i≥1,{\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1,}

donde épsilon es cualquier número positivo menor queπ/2{\displaystyle \pi /2}. En otras palabras, todos los b i están dentro de una cuña que tiene su vértice en el origen y tiene un ángulo de apertura deπ−2ϵ{\displaystyle \pi -2\epsilon }y es simétrica con respecto al eje real positivo. Entonces f i , la i-ésima convergente a la fracción continua, es finita y tiene un argumento:

−π/2+ϵ<arg⁡(Fi)<π/2−ϵ,i≥1.{\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1.}

Además, la sucesión de convergentes pares convergerá, al igual que la sucesión de convergentes impares. La fracción continua convergerá si y solo si la suma de todos los | b i | diverge. [ 7 ]

Notas

  1. ↑ 1886 Otto Stolz , Verlesungen über allgemeine Arithmetik , págs. 299-304
  2. ↑ 1900 Alfred Pringsheim , Sb. Múnich , vol. 30, "Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche"
  3. ↑ 1905 Oskar Perron , Sb. Múnich , vol. 35, "Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche"
  4. ↑ 1865 Julius Worpitzky, Jahresbericht Friedrichs-Gymnasium und Realschule , "Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche"
  5. 1 2 1942 JF Paydon y HS Wall, Duke Math. Journal , vol. 9, "La fracción continua como una secuencia de transformaciones lineales"
  6. ↑ Véase, por ejemplo, el Teorema 4.35 en la página 92 ​​de Jones y Thron (1980).
  7. ↑ Véase el teorema 4.29, en la página 88, de Jones y Thron (1980).

Referencias

  • Jones, William B.; Thron, WJ (1980), Fracciones continuas: Teoría analítica y aplicaciones. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones , vol.  11, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-13510-8
  • Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company , Nueva York, NY 1950.
  • HS Wall, Teoría analítica de las fracciones continuas , D. Van Nostrand Company, Inc. , 1948 ISBN 0-8284-0207-8