Teorema recíproco

En la teoría matemática de las formas automorfas , un teorema recíproco proporciona condiciones suficientes para que una serie de Dirichlet sea la transformada de Mellin de una forma modular . De forma más general, un teorema recíproco afirma que una representación de un grupo algebraico sobre los adeles es automorfa siempre que las funciones L de sus diversas torsiones se comporten correctamente.

Los primeros teoremas recíprocos fueron demostrados por Hamburger ( 1921 ), quien caracterizó la función zeta de Riemann mediante su ecuación funcional, y por Hecke (1936), quien demostró que si una serie de Dirichlet satisfacía una determinada ecuación funcional y algunas condiciones de crecimiento, entonces era la transformada de Mellin de una forma modular de nivel 1. Weil (1967) encontró una extensión a formas modulares de nivel superior, que fue descrita por Ogg (1969 , capítulo V) . La extensión de Weil establece que si no solo la serie de Dirichlet  

${\displaystyle L(s)=\sum {\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

pero también sus giros

${\displaystyle L_{\chi }(s)=\sum {\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}}$

Si mediante algunos caracteres de Dirichlet χ, se satisfacen ecuaciones funcionales adecuadas que relacionan los valores en s y 1 − s , entonces la serie de Dirichlet es esencialmente la transformada de Mellin de una forma modular de algún nivel.

JW Cogdell, H. Jacquet, II Piatetski-Shapiro y J. Shalika han extendido el teorema recíproco a formas automorfas en algunos grupos de dimensiones superiores, en particular GL _n y GL _m × GL _n , en una larga serie de artículos.

• Cogdell, James W.; Piatetski-Shapiro, II (1994), "Teoremas inversos para GL _n " , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 79 (79): 157– 214, doi : 10.1007/BF02698889 , ISSN 1618-1913 , MR 1307299  
• Cogdell, James W.; Piatetski-Shapiro, II (1999), "Teoremas inversos para GL _n . II", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 507 (507): 165– 188, doi : 10.1515/crll.1999.507.165 , ISSN 0075-4102 , SEÑOR 1670207  
• Cogdell, James W.; Piatetski-Shapiro, II (2002), "Teoremas inversos, funtorialidad y aplicaciones a la teoría de números" , en Li, Tatsien (ed.), Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vol. II (Pekín, 2002) , Pekín: Higher Ed. Press, pp. 119–128 , arXiv : math/0304230 , Bibcode : 2003math......4230C , ISBN  978-7-04-008690-4, MR 1957026 , archivado del original el 20/08/2011 , recuperado el 18/06/2011 
• Cogdell, James W. (2007), "Funciones L y teoremas inversos para GL _n " , en Sarnak, Peter; Shahidi, Freydoon (eds.), Formas automórficas y aplicaciones , IAS/Park City Math. Ser., vol.  12, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 97–177 , ISBN  978-0-8218-2873-1, MR 2331345 
• Hamburger, Hans (1921), "Über die Riemannsche Funktionalgleichung der ζ-Funktion", Mathematische Zeitschrift , 10 (3): 240– 254, doi : 10.1007/BF01211612 , ISSN 0025-5874 
• Hecke, Erich (1936), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung", Mathematische Annalen , 112 (1): 664– 699, doi : 10.1007/BF01565437 , ISSN 0025-5831 
• Ogg, Andrew (1969), Formas modulares y series de Dirichlet , WA Benjamin, Inc., Nueva York-Ámsterdam, MR 0256993 
• Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen , 168 : 149– 156, doi : 10.1007/BF01361551 , ISSN 0025-5831 , MR 0207658  

• Los trabajos de Cogdell sobre teoremas recíprocos