Cuerpo convexo

En matemáticas , un cuerpo convexo en${\displaystyle n}$- espacio euclidiano dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un conjunto convexo compacto con interior no vacío . Algunos autores no requieren un interior no vacío, sino simplemente que el conjunto sea no vacío.

Un cuerpo convexo${\displaystyle K}$Se dice que es simétrico si es centralmente simétrico con respecto al origen; es decir, un punto${\displaystyle x}$se encuentra en${\displaystyle K}$si y solo si su antípoda ,${\displaystyle -x}$también se encuentra en${\displaystyle K.}$Los cuerpos convexos simétricos están en correspondencia biunívoca con las bolas unitarias de normas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Algunos ejemplos comúnmente conocidos de cuerpos convexos son la bola euclidiana , el hipercubo y el politopo cruzado .

Escribir${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$para el conjunto de cuerpos convexos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$es un espacio métrico completo con métrica ^{[ 1 ]}$${\displaystyle d(K,L):=\inf\{\epsilon \geq 0:K\subset L+B^{n}(\epsilon ),L\subset K+B^{n}(\epsilon )\}.}$$

Además, el Teorema de Selección de Blaschke dice que toda secuencia d -acotada en${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$tiene una subsecuencia convergente. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle K}$es un cuerpo convexo acotado que contiene el origen${\displaystyle O}$en su interior, el cuerpo polar${\displaystyle K^{*}}$es${\displaystyle \{u:\langle u,v\rangle \leq 1,\forall v\in K\}}$El cuerpo polar tiene varias propiedades interesantes, entre ellas:${\displaystyle (K^{*})^{*}=K}$,${\displaystyle K^{*}}$está acotado, y si${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}}$entonces${\displaystyle K_{2}^{*}\subset K_{1}^{*}}$El cuerpo polar es un tipo de relación de dualidad .

• Lista de temas de convexidad
• Elipsoide de John : Elipsoide que contiene más estrechamente, o que está contenido en, un objeto convexo n-dimensional. 
• El teorema de Brunn-Minkowski tiene muchas implicaciones relevantes para la geometría de los cuerpos convexos.

• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos del análisis convexo . doi : 10.1007/978-3-642-56468-0 . ISBN 978-3-540-42205-1.
• Rockafellar, R. Tyrrell (12 de enero de 1997). Análisis convexo . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.
• Arya, Sunil; Monte, David M. (2023). "Límites óptimos sensibles al volumen para la aproximación de politopos" . 39º Simposio Internacional sobre Geometría Computacional (SoCG 2023) . 258 . Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik: 9:1–9:16. doi : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2023.9 .
• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .